Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 4

Appetitliches Allerlei © zora120875 PIXELIO www.pixelio.de

Man nehme eine Minusklammer, eine oder mehrere Variable, verschiedene Zahlen und Rechenzeichen. Darauf kombiniere man alle „Zutaten“ auf logische Art und Weise und gebe seinem Konstrukt eine gewisse Bedenkzeit. Eventuell muss man anschließend nach einem wiederholten „Abschmecken“ das ein oder andere noch hinzugeben, damit auch wirklich das gewünschte Endresultat entsteht – ein voll und ganz überzeugendes „Term-Allerlei“. Mathematik kann so einfach sein, wenn man auf die richtige „Zubereitung“ achtet. Und dies gilt auch insbesondere für Terme. Hat man bei Termen wirklich alle möglichen Bestandteile einmal gut „geschluckt“ und gut „verdaut“, dann kann man auch ein noch so schwieriges „Term-Allerlei“ aufstellen. Wie ein erprobter Koch weiß man dann nämlich, welche „Zutaten“ für das jeweilige „Term-Allerlei“ vonnöten sind.

Allerlei witziges Gemüse © Michael Ottersbach PIXELIO www.pixelio.de

Aber auch in der Rolle des Gastes kann man dann sofort feststellen, ob das einem aufgetischte „termische“ Menü qualitativ ist und es einem mundet – oder nicht. Ist es nämlich nicht nach allen einzuhaltenden „Term-Allerlei“-Vorgaben konstruiert worden, weiß man sofort, warum es einen „geschmacklich“ ganz und gar nicht überzeugt. Ob der Koch noch schwierigere „algebraische“ Menüs zur vollsten Zufriedenheit seiner Gäste „zubereiten“ kann, darf dann ebenso zu Recht mehr als angezweifelt werden.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Term

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache folgende Term so weit wie möglich.

a)   y + y + y + y + y + y – y + y + y

b)   m + m – 2m + m + m +m – (–m) – m

c)   n + p + q + r + q + r + n + 3p + n + n – q

d)   de + de + fg + 3de + 4fg – 3de + 2fg –3fg + 2de

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bilde bei allen Termen so viele Summanden wie möglich.

a)   9y

b)   3a + 5b

c)   12d + 4e + 8g

d)   4x – 3y

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse bei allen Termen die Klammer auf.

a)   (5y) · 9

b)   12 · (3c) + 4d · (5)

c)   0,5 · (3x) + 8 · (3,2y)

d)   {\frac{2}{7}x · (3) + 6 · ({\frac{1}{7}y)

e)   (5x) · (7) + (–12) · (–3y)

f)   (12x) : 3 + 6y : (–2)

g)   (–18a) : (–3) + (–4) · (12b)

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache den Term, indem du das Produkt auflöst.

a)   3x · (5y)

b)   –9a · (12c)

c)   (–0,4e) · (–0,5f)

d)   5x · (-{\frac{2}{11})

e)   3a · 4b · 5c

f)   bc · 3cb

 

5. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache folgende Terme.

a)    12x · (4);

12 · (4x);

(–4x) · (–12)

 

b)    0,4 · (4y);

1,5y · (–1,2);

(–3,2)  · 5b

 

c)    ({\frac{5}{8}) · 32z;

({\frac{3}{7}) · ({\frac{5}{9})x;

3,7y · ({\frac{5}{11})

 

d)    a · a^2;

5y{^{2}} · 5y{^{4}};

3a{^{3}} · a{^{3}}

 

6. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle jeweils einen Term mit der Variable x auf, bei dem nach dem Einsetzen der Zahlen 0; 1; 2; 3; 4; … folgende Werte herauskommen.

a)   0; 1; 2; 3; 4; …

b)   3; 4; 5; 6; 7; …

c)   –2; –1; 0; 1, 2; …

d)   0; 3; 6; 9; 12; …

e)   2; 4; 6; 8; 10; …

f)   –1; 2; 5; 8; 11; …

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Term

1. Lösung der Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Fasse alle Terme so weit wie möglich zusammen.

a)   y + y + y + y + y + y – y + y + y

Da hier jeweils einzelne y mit der Potenz hoch 1 (y = y¹) stehen, darf man alle Einzelterme addieren bzw. gegebenenfalls subtrahieren. Daher kommt als Ergebnis von y + y + y + y + y + y – y + y + y heraus: 8y – y = 7y.

 

b)   m + m – 2m + m + m +m – (–m) – m

Hier gilt das Gleiche wie gerade eben, da alle Einzelterme die Potenz hoch 1 haben (m = m¹). Aufpassen muss man hier nur noch, dass man die Minusklammer richtig auflöst. Daher ergibt sich aus m + m – 2m + m + m + m – (–m) – m als vereinfachter Endterm: 6m –3m = 3m.

 

c)   n + p + q + r + q + r + n + 3p + n + n – q

Am besten ordnet man hier zuerst den Term: n + n + n + n  + p + 3p + q  + q  – q + r + r. Dann kann man die gleichartigen Einzelterme zusammenfassen: 4n + 4p + q + 2r. Das ist dann auch der Endterm.

 

d)   de + de + fg + 3de + 4fg – 3de + 2fg –3fg + 2de

Hier sollte man ebenso zunächst nach gleichartrigen Einzeltermen hin ordnen: de + de + 3de – 3de + 2de + 4fg  + 2fg –3fg  fg. Dann kann man problemlos den Term vereinfachen: 4de + 4fg. Das ist schließlich das Endergebnis.

 

2. Lösung der Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zerlege jeden Term in möglichst viele Summanden.

a)   9y kann man in 9 Summanden zerlegen: y + y + y + y + y + y + y + y + y.

 

b)   3a + 5b kann in 8 Summanden zerlegt werden: a + a + a + b + b + b + b + b.

 

c)   12d + 4e + 8g kann in 24 Summanden umgewandelt werden: d + d + d + d + d + d + d + d + d + d + d + d + e + e + e + e + g + g + g + g + g + g + g + g.

 

d)   4x – 3y den ersten Term kann man in 4 Summanden zerlegen und den zweiten in eine algebraische Summe: x + x + x + x + (–y – y – y).

 

3. Lösung der Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Klammern bei den Termen korrekt auf.

a)   (5y) · 9 = 5y · 9 = 45y

 

b)   12 · (3c) + 4d · (5) = 12 · 3c + 4d · 5;

12 · 3c + 4d · 5 = 36c + 20d

 

c)   0,5 · (3x) + 8 · (3,2y) = 0,5 · 3x + 8 · 3,2y;

0,5 · 3x + 8 · 3,2y = 1,5x + 25,6y

 

d)   {\frac{2}{7}x · (3) + 6 · ({\frac{1}{7}y) = {\frac{2}{7}x · 3 + 6 · {\frac{1}{7}y;

{\frac{2}{7}x · 3 + 6 · {\frac{1}{7}y = {\frac{6}{7}y + {\frac{6}{7}y

 

e)   (5x) · (7) + (–12) · (–3y) = 5x · 7 + (–12) · (–3y);

5x · 7 + (–12) · (–3y) = 35x + 36y.

Bei dem zweiten Produkt gilt die Vorzeichenregel: „–“ · „–“ = „+“.

 

f)   (12x) : 3 + 6y : (–2) = 12x : 3 + 6y : (–2);

12x : 3 + 6y : (–2) = 4x – 3y.

Bei dem zweiten Quotienten gilt die Vorzeichenregel: „+“ : „–“ = „–“.

 

g)   (–18a) : (–3) + (–4) · (12b) = 6a – 48b.

Bei dem ersten Term muss die Vorzeichenregel „–“ : „–“ = „+“ beachtet werden, beim zweiten Term die Vorzeichenregel „–“ · „+“ = „–“.

Einfach witzig, witzig, witzig: das Hase-gegen-Schildkröte-Wettrennen aus dem Hause Disney als Lehrbeispiel zu „Hochmut kommt vor dem Fall“.

 

4. Lösung der Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das Produkt bei den Termen auf.

a)   3x · (5y) = 3x · 5y;

3x · 5y = 15xy

 

b)   –9a · (12c) = –9a · 12c;

–9a · 12c = –108ac

 

c)   (–0,4e) · (–0,5f) = 0,4e · 0,5f;

0,4e · 0,5f = 0,2ef

 

d)   5x · (-{\frac{2}{11}) = –{\frac{10}{11}x

 

e)   3a · 4b · 5c = 60abc

 

f)   bc · 3cb = bc · 3bc;

bc · 3bc = 3b²c²

Hier kann bei dem letzen Term zunächst das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz anwenden. Dann kann man den Term vereinfachen. Hierbei muss man beachten, dass bei gleichen Variablen innerhalb eines Produkts die Hochzahlen addiert werden.

 

5. Lösung der Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache jeden Term so weit wie möglich.

a)    12x · (4) = 48x;

12 · (4x) = 48x;

(–4x) · (– 12) = 48x

Bei allen Produkten müssen einfach beide Faktoren miteinander multipliziert werden; beim letzten Produkt-Term muss man noch die Vorzeichen-Regel beachten, das heißt, dass „–“ · „–“ = „+“ wird.

 

b)    0,4 · (4y) = 1,6y;

1,5y · (–1,2) = –1,8y;

(–3,2) · 5b = –16b

Produkt-Terme, die aus Dezimalzahlen bestehen, werden genauso aufgelöst wie in Aufgabe a); bei den beiden letzten Produkt-Termen muss die Vorzeichenregel eingehalten werden, das heißt, dass „+“ · „–“ = „–“ wird und ebenso „–“ · „+“ = „–“.

 

c)    ({\frac{5}{8}) · 32z = {\frac{160}{8}z;

{\frac{160}{8}z = 20z

 

({\frac{3}{7}) · ({\frac{5}{9})x = -{\frac{15}{63}x;

-{\frac{15}{63}x = -{\frac{5}{21}x

 

3,7y · ({\frac{5}{11}) = {\frac{37}{10}y · {\frac{5}{11};

{\frac{37}{10}y · {\frac{5}{11} = {\frac{185}{110}y;

{\frac{185}{110}y = {\frac{37}{22}y;

{\frac{37}{22}y = 1 {\frac{15}{22}y

Bei einem Produktterm, dessen Faktoren sich aus Dezimalzahlen und Brüchen zusammensetzen, rechnet man am besten zuerst die Dezimalzahl in einen Bruch um. Dann kann man beide Brüche problemlos miteinander multiplizieren, darauf kürzen und zum Schluss noch in einen gemischten Bruch umwandeln.

 

d)   a · a{^{2}} = a{^{1}} · a{^{2}};

a{^{1}} · a{^{2}} = a{^{1~+~2}};

a{^{1~+~2}} = a{^{3}}

 

 5y{^{2}} · 5y{^{4}} = 25y{^{2~+~4}};

25y{^{2~+~4}} = 25y{^{6}};

–3a{^{3}} · a{^{3}} = –3a{^{3~+~3}};

–3a{^{3~+~3}} = –3a{^{6}} 

Bei Produkttermen, die die gleiche Variable haben, werden die Exponenten jeweils addiert.

 

6. Lösung der Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Welcher Term steckt hinter der angegebenen Reihe?

a)   0; 1; 2; 3; 4; …

Wie man sieht, entspricht die Reihe genau der Zahlen, die in eine Variable eingesetzt werden sollen. Daher lautet der gesuchte Term hier einfach: x.

 

b)   3; 4; 5; 6; 7; …

Wie man hier sieht, haben wir eine Reihe, die wie die vorherige nur um „1″ jeweils zunimmt. Aber im Gegensatz zu der Reihe bei der Aufgabe a) verändern sich die in die Variable eingesetzten Zahlen um jeweils „+3″. Deshalb ergibt sich hier als gesuchter Term: x + 3.

 

c)   –2; –1; 0; 1, 2; …

Bei dieser Reihe sieht man ebenso sofort, dass diese jeweils wiederum um „1″ zunimmt. Aber im Vergleich zu der Reihe in Aufgabe a) nehmen die in die Variable eingesetzten Zahlen jeweils um „–2″ ab. Folglich ergibt sich dieser Term: x – 2.

 

d)   0; 3; 6; 9; 12; …

Hier sieht man sofort, dass die Reihe um jeweils „3″ zunimmt. Ebenso zeigt sich, dass die in die Variable eingesetzten Zahlen sich nur um den Faktor „3″ verändern. Daher ergibt sich als Term für diese Reihe: 3x.

 

e)   2; 4; 6; 8; 10; …

Bei dieser Reihe kann man sofort sehen, dass diese stets um „2″ zunimmt. Die in die Variablen eingesetzten Werte ändern sich zudem um „+2″. Hieraus ergibt sich folgender Term: 2x + 2.

 

f)   –1; 2; 5; 8; 11; …

Hier sieht man wiederum sofort, dass die Reihe um „3″ zunimmt. Die Variablen, die in den Term eingesetzt werden sollen, ändern sich außerdem um „–1″. Folglich ist der Term dieser Reihe: 3x – 1.

 

Diesen Artikel des Mathematik Nachhilfe Blogs kann man hier als PDF downloaden: Mathematik-Nachhilfe: Stoffgebiet Term, Teil 4.

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