Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 3

Die richtige Lösung garantiert ein Smiley © Thomas Siepmann PIXELIO www.pixelio.de

„Die Probe aufs Exempel machen“, diese Redensart/dieses Sprichwort passt auch bestens zu Gleichungen. Bei jeder Gleichung kann man nämlich mittels des über Äquivalenzumformungen (oder Nicht-Äquivalenzumformungen) ausfindig gemachten Ergebnisses überprüfen – ob dieses auch wirklich das richtige ist! Hierzu muss man nur einfach stets „die Probe aufs Exempel machen“. Aber wie geht das nun genau bei jeder einzelnen Gleichung? Ganz einfach. Indem man jede ermittelte Lösung in die Ursprungsgleichung einsetzt. Die Ursprungsgleichung ist hierbei immer die Gleichung, an der noch keine Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden. „Für mich ist das nicht ganz logisch, da doch eine Lösung eine Lösung ist – und deshalb eigentlich nicht falsch sein kann“, könnte hier jetzt ein „mitdenkender“ Schüler entgegenhalten. Der Mathematik-Lehrer kann zwar den Einwand seines Schülers nachvollziehen, aber trotzdem nichts gegen die Mathe-Tatsache machen, dass nicht jede ermittelte Lösung einer Gleichung auch eine wirkliche Lösung einer Gleichung ist – was demzufolge ebenso der Schüler „schlucken“ muss.

Yeah! Alle Mathe-Aufgaben richtig gelöst © Thommy Weiss PIXELIO www.pixelio.de

So viel sei aber doch verraten: Die „Scheinlösungen“ hängen oftmals davon ab, dass nicht wirklich immer eine Äquivalenzumformung vorliegt, bis ein klares Ergebnis ermittelt werden kann. Bei linearen Gleichungen tritt das „Scheinlösungen“-Problem aber noch nicht auf – vorausgesetzt man entwickelt nicht einen „eigenen“ Lösungsweg. Dennoch macht es bereits bei linearen Gleichungen Sinn „die Probe aufs Exempel zu machen“. Schließlich können auch hier einem schon „unbeabsichtigt“ Fehler bei den gemachten Äquivalenzumformungen passieren. Macht man hier nun „die Probe aufs Exempel“, so kann man eindeutig erkennen, dass die vermeintliche Lösung dann doch nicht die richtige ist. Anschließend kann man durch Überprüfen der einzelnen Lösungsschritte augenscheinlich sehen, wo sich ärgerlicherweise ein Algebra-Fehler eingeschlichen hat.

„Scheinlösungen“ treten bei Gleichungen aber nicht nur auf, wenn zur Lösung einer Aufgabe keine durchgehenden Äquivalenzumformungen durchgeführt werden, sondern auch bei einem eingeschränkten Definitionsbereich. Ist nämlich ein ermitteltes Ergebnis nicht innerhalb des Definitionsbereiches liegend, so handelt es sich hier ebenfalls um eine „Scheinlösung“.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Gleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende zur Lösung der Gleichung Äquivalenzumformungen an. Mache anschließend die Probe, ob das ermittelte Ergebnis richtig ist.

a)   4x + 2 = 18

b)   9x + 7 = 88

c)   –15 + 12x = 33

d)   4u – 32 = 0

e)   3y + 8 + 7y + 2 = 100

f)    4t – 3 – 8t + 4 = 41

g) –5 + 12x + 3x + 12 = 112

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Steffen sagt, die Lösung der Gleichung ist 1, Michaela sagt, dass die Lösung aber 2 sei. Wer hat recht? Löse zunächst die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen und mache anschließend die Probe.

Um diese Gleichung handelt es sich: 5x + 3 + 7x – 12 + 2x – 12x + 13 = 8

 

Lösung zum Mathe-Stoffgebiet Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen, anschließend nehme die „Probe“ vor.

a)   4x + 2 = 18   | – 2

      4x = 16  | : 4

       x = 4

L = {4}

 

Probe:   4 · 4 + 2 = 18

         16 + 2 = 18      

        18 = 18

 

b)   9x + 7 = 88  | – 7

     9x = 81  | : 9

       x = 9

L = {9}

 

Probe:   9 · 9 + 7 = 88

         81 + 7 = 88

               88 = 88

Wie die Probe zeigt, ist das über Äquivalenzumformungen ermittelte Ergebnis bei den Aufgaben a) und b) korrekt.

 

c)   –15 + 12x = 33  |  + 15

         12x = 48         |  : 12

     x = 4

L = {4}

 

Probe:   –15 + 12 · 4 = 33     

    –15 + 48 = 33

              33 = 33

 

d)     4u – 32 = 0    | + 32

 4u = 32   | : 4

   u = 8

L = {8}

 

Probe:   4 · 8  – 32 = 0

   32 – 32 = 0

     0 = 0

Auch hier bestätigt die Probe jeweils, dass die mittels Äquivalenzumformungen ermittelten Lösungen der Aufgaben c) und d) richtig sind.

 

e)   3y + 8 + 7y + 2 = 100

  10y + 10 = 100   | – 10   

    10y = 90    | : 10    

        y = 9

L = {9}

 

Probe:   3 · 9 + 8 + 7 · 9 + 2 = 100

     27 + 8 + 63 + 2 = 100

 100 = 100

 

f)   4t – 3 – 8t + 4 = 41

 –4t + 1 = 41  | – 1

       –4t = 40  | : (–4)

   t = –10

L = {–10}

 

Probe:    4 · (–10) – 3 – 8 · (–10) + 4 = 41

 –40 – 3 + 80  + 4 = 41

  41 = 41

Bei den Aufgaben e) und f) beweist die Probe ebenfalls, dass die vorher mittels Äquivalenzumformungen ermittelten Ergebnisse korrekt sind.

 

g)    –5 + 12x + 3x + 12 = 112                      

   7 + 15x = 112     | – 7             

              15x = 105       | : 15            

           x = 7

L = {7}

 

Probe:     –5 + 12 · 7 + 3 · 7 + 12 = 112      

  –5 + 84 + 21 + 12 = 112

   112 = 112

Ebenso zeigt sich bei der Aufgabe g) anhand der durchgeführten Probe, dass die mittels Äquivalenzumformungen ermittelte Lösung richtig ist.

Ein bei jedem Wetter Top-goodfeel-Song von der Top-Band Juli – zu Gast bei Ernie und Bert.

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wer hat mit seiner Behauptung recht? Steffen oder Michaela?
5x + 3 + 7x – 12 + 2x – 12x + 13 = 8

     2x + 4 = 8   | 4

    2x = 4   |  : 2

      x = 2

L = {2}

 

Probe:   5 · 2 + 3 + 7 · 2 – 12 + 2 · 2 – 12 · 2 + 13 = 8

 10 + 3 + 14 – 12 + 4 – 24 + 13 = 8

   8 = 8

Die ermittelte Lösung und die daraufhin gemachte Probe zeigen eindeutig auf, dass Michaela mit ihrer Aussage recht hat. Denn die Lösung der Aufgabe ist unstrittig 2.

 

Diesen Artikel des Mathematik Nachhilfe Blogs kann man hier als PDF downloaden: Mathe-Nachhilfe: Gleichungen, Teil 3.

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