Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 1

Die berühmte Mathe-Gesetzmäßigkeit “Satz des Pythagoras“ © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Eine Gesetzmäßigkeit aus dem Mathematik-Unterricht vergessen viele Menschen ihr Leben lang nicht mehr – den „Satz des Pythagoras“. Der Grund hierfür ist aber bestimmt nicht in einem „mathematischen“ Trauma zu finden, den diese Mathe-Gesetzmäßigkeit bei den einstigen Schülern hervorrief. Denn der Satz des Pythagoras stellt für einen „nicht gerade auf den Kopf gefallenen“ Schüler kein allzu schwieriges Mathe-Stoffgebiet dar. Demzufolge sind irgendwelche psychosomatischen „Folgeschäden“ aufgrund dieser mathematischen Gesetzmäßigkeit auf jeden Fall ausgeschlossen. Vielmehr liegt der Nichtvergessenkönnen-Grund nämlich gerade in der großen Einfachheit und Unkompliziertheit des Satzes begründet. Schließlich muss man sich beim Satz des Pythagoras nur eine überaus einprägsame Gleichung merken – und zwar a² + b² = c².

Das bekannteste rechtwinklige Dreieck – das Geodreick © Rolf van Melis PIXELIO www.pixelio.de

Sehr einprägend ist diese Gleichung daher, da die ersten drei Buchstaben unseres Alphabets – und das der Reihe nach – darin vorkommen. Ebenso förderlich für die Langzeitgedächtnisspeicherung ist aber auch, dass beim „Pythagoras-Abc“ die drei Anfangsbuchstaben allesamt die Potenz 2 vorweisen und die Gleichung nur mit dem Pluszeichen aus einem weiteren sich merken müssenden Mathe-Zeichen besteht. Aus diesem Grund können auch ältere Menschen jeglichen Alters das „Pythagoras-Abc“ oft immer noch, ohne groß überlegen zu müssen, fehlerfrei wiedergeben – auch wenn sie vielleicht vergessen haben, wie man diesen Satz konkret anwendet.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet: der Satz des Pythagoras

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Winkel γ = 90° jeweils die noch fehlende Größe. Runde, falls nötig, auf zwei Nachkommastellen.

a)   a = 3 cm, b = 4 cm

b)   a = 5 cm, b = 7 cm

c)   a = 16 cm, b = 12 cm

d)   a = 6 cm, c = 10 cm

e)   c = 10 cm, b = 1 cm

f)   c = 13 cm, a = 4 cm

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind jeweils zwei Seiten und der rechte Winkel gegeben. Berechne jeweils die fehlende Seite. Runde, falls nötig, auf zwei Nachkommastellen.

a)   c = 9 cm, a = 14 cm, α = 90°

b)   c = 10 m, a = 6 m,  γ = 90°

c)   a = 11 dm, b = 14 dm, β = 90°

d)   c = 2,8 mm, b = 3,4 mm, α = 90°

e)   c = 83 cm, a = 2,5 dm, β = 90°

f)   b = 9,2 m, c = 4300 mm, β = 90°

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Infolge eines heftigen Sturmes ist ein 25 m hoher Baum in einer Höhe von 7,25 m abgeknickt. Berechne, wie weit die Spitze des Baumes vom Stamm entfernt liegt. Fertige hierfür eine Skizze an.

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet: der Satz des Pythagoras

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die fehlende Seitenlänge in dem rechtwinkligen Dreieck ABC. Der Winkel γ beträgt 90°.

a)   a = 3 cm, b = 4 cm

Da die Seitenlängen a und b gegeben sind, ist die Seitenlänge c gesucht. Aufgrund des rechtwinkligen Winkels γ ist c die Hypotenuse und a und b die beiden Katheten des Dreiecks. Demzufolge muss man hier folgende Gleichheitsauflösung vom Satz des Pythagoras verwenden:

c = \sqrt{\mathrm a^{2}+\mathrm b^{2}}                 <=>

c = \sqrt{(3~\mathrm c\mathrm m)^{2}+(4~\mathrm c\mathrm m)^{2}}    

c = \sqrt{9~\mathrm c\mathrm m^{2}+ 16~\mathrm c\mathrm m^{2}}       

c = \sqrt{25~\mathrm c\mathrm m^{2}}              

c = 5 cm

Die Seitenlänge c beträgt hier 5 cm.

 

b)   a = 5 cm, b = 7 cm

Bei Aufgabe b) gilt genau das Gleiche wie für Aufgabe a). Die beiden Seitenlänge a und b, die gleichzeitig die Katheten des Dreiecks sind, sind gegeben. Gesucht ist die Hypotenuse c. Folglich kann man wiederum dieselbe Gleichheitsauflösung vom Satz des Pythagoras heranziehen.

c = \sqrt{\mathrm a^{2}+\mathrm b^{2}}                          <=>  

c = \sqrt{(5~\mathrm c\mathrm m)^{2}+ (7~\mathrm c\mathrm m)^{2}}     

c = \sqrt{25~\mathrm c\mathrm m^{2}+ 49~\mathrm c\mathrm m^{2}}        

c = \sqrt{74~\mathrm c\mathrm m^{2}}            

c = 8,6 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Die Seitenlänge c beträgt hier 8,6 cm. 

 

c)   a = 16 cm, b = 12 cm

Bei Aufgabe c) ist erneut die Hypotenuse c gesucht und die beiden Katheten mit den Seitenlängen a und b gegeben. Folglich kann man hier erneut dieselbe Gleichheitsauflösung vom Satz des Pythagoras verwenden.

c = \sqrt{\mathrm a^{2}+\mathrm b^{2}}               <=> 

c = \sqrt{(16~\mathrm c\mathrm m)^{2}+ (12~\mathrm c\mathrm m)^{2}}  

c = \sqrt{256~\mathrm c\mathrm m^{2}+ 144~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

c = \sqrt{400~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

c = 20 cm

Die Seitenlänge c ist hier 20 cm.

 

d)   a = 6 cm, c = 10 cm

Bei diesem Dreieck ist nun die Seitenlänge c gegeben, was gleichzeitig die Hypotenuse ist, und die Seitenlänge a, was eine der beiden Katheten ist. Folglich ist mit der Seitenlänge b die zweite Kathete gesucht und man muss folgende Gleichheitsauflösung vom Satz des Pythagoras heranziehen.

b = \sqrt{\mathrm c^{2}-\mathrm a^{2}}                    <=>  

b = \sqrt{(10~\mathrm c\mathrm m)^{2}-(6~\mathrm c\mathrm m)^{2}} 

b = \sqrt{100~\mathrm c\mathrm m^{2}-36~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = \sqrt{64~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = 8 cm

Die Seitenlänge b beträgt hier 8 cm.

 

e)   c = 10 cm, b = 1 cm

Bei dieser Aufgabe ist nun mit der Seitenlänge c die Hypotenuse gegeben und mit der Seitenlänge b eine Kathete. Gesucht ist mit der Seitenlänge a die andere Kathete. Demzufolge kann man folgende Gleichheitsauflösung vom Satz des Pythagoras verwenden.

a  = \sqrt{\mathrm c^{2}-\mathrm b^{2}}                   <=>  

a  = \sqrt{(10~\mathrm c\mathrm m)^{2}-(1~\mathrm c\mathrm m)^{2}}   

a  =\sqrt{100~\mathrm c\mathrm m^{2}-1~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

a  = \sqrt{99~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

a = 9,95 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Die Seitenlänge a ist hier 9,95 cm.

 

f)   c = 13 cm, a = 4 cm

Hier gilt wiederum das Gleiche wie bei Aufgabe d). Denn mit der Seitenlänge c ist die Hypotenuse gegeben und mit der Seitenlänge a eine Kathete. Gesucht ist daher mit der Seitenlänge b die andere Kathete. Folglich kann man wiederum diese Gleichheitsauflösung vom Satz des Pythagoras heranziehen.

b  = \sqrt{\mathrm c^{2}-\mathrm a^{2}}                    <=>   

b = \sqrt{(13~\mathrm c\mathrm m)^{2}-(4~\mathrm c\mathrm m)^{2}}  

b =\sqrt{169~\mathrm c\mathrm m^{2}-16~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = \sqrt{153~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = 12,37 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Die Seitenlänge b ist hier 12,37 cm.

Ein geometrischer “Körper“ mit witzigen Wiedererkennungsmermalen © knipseline PIXELIO www.pixelio.de

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die jeweils fehlende Seite innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks.

a)   c = 9 cm, a = 14 cm, α = 90°

Da hier α = 90° beträgt, muss die Seitenlänge a die Hypotenuse sein. Die Seitenlänge c ist demzufolge eine der beiden Katheten. Die Seitenlänge b ist die gesuchte andere Kathete. Deshalb kann man hier folgende Gleichungsauflösung vom Satz des Pythagoras heranziehen.

b = \sqrt{\mathrm a^{2}-\mathrm c^{2}}              <=>  

b = \sqrt{(14~\mathrm c\mathrm m)^{2}-(9~\mathrm c\mathrm m)^{2}} 

b = \sqrt{196~\mathrm c\mathrm m^{2}-81~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = \sqrt{115~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = 10,72 cm (auf zwei Nachkommastellen gerundet)

Die gesuchte Seitenlänge b ist hier 10,72 cm.

 

b)   c = 10 m, a = 6 m,  γ = 90°

Hier ist nun  γ = 90° und demzufolge die Seitenlänge c die Hypotenuse. Folglich ist die Seitenlänge a eine Kathete und die gesuchte Seitenlänge b die andere Kathete. Daher muss man hier diese Gleichheitsauflösung vom Satz des Pythagoras heranziehen.

b = \sqrt{\mathrm c^{2}-\mathrm a^{2}}             <=>

b = \sqrt{(10~\mathrm c\mathrm m)^{2}-(6~\mathrm c\mathrm m)^{2}} 

b = \sqrt{100~\mathrm c\mathrm m^{2}-36~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = \sqrt{64~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = 8 cm.

Hier ist die gesuchte Seitenlänge b genau 8 cm.

 

c)   a = 11 dm, b = 14 dm, β = 90°

Da hier β = 90° ist, ist die Seitenlänge b die Hypotenuse. Die Seitenlänge a folglich die eine Kathete und die gesuchte Seitenlänge c die andere. Daher kann man hier folgende Gleichungsauflösung vom Satz des Pythagoras verwenden.

c = \sqrt{\mathrm b^{2}-\mathrm a^{2}}           <=>  

c = \sqrt{(14~\mathrm d\mathrm m)^{2}-(11~\mathrm d\mathrm m)^{2}} 

c = \sqrt{196~\mathrm d\mathrm m^{2}-121~\mathrm d\mathrm m^{2}}  

c = \sqrt{75~\mathrm d\mathrm m^{2}}  

c = 8,66 dm (auf zwei Nachkommastellen gerundet)

Die gesuchte Seitenlänge c beträgt hier 8,66 dm.

 

 

d)   c = 2,8 mm, b = 3,4 mm, α = 90°

Hier ist α = 90° und demzufolge die gesuchte Seitenlänge a die Hypotenuse. Die gegebenen Seitenlängen c und b sind daher die beiden Katheten. Folglich kann man diese Gleichungsauflösung vom Satz des Pythagoras verwenden.

a = \sqrt{\mathrm c^{2}+\mathrm b^{2}}                   <=> 

a = \sqrt{(2,8~\mathrm m\mathrm m)^{2}+(3,4~\mathrm m\mathrm m)^{2}}  

a = \sqrt{7,84~\mathrm m\mathrm m^{2}+11,56~\mathrm m\mathrm m^{2}}  

a = \sqrt{19,4~\mathrm m\mathrm m^{2}}

a = 4,4 mm (auf zwei Nachkommastellen gerundet)

Die Seitenlänge a beträgt hier 4,4 mm.

 

e)   c = 83 cm, a = 2,5 dm, β = 90°

Da hier β = 90° ist, ist folglich die gesuchte Seitenlänge b die Hypotenuse. Genauso wie in Aufgabe d) sind mit den beiden Seitenlängen c und a die beiden Katheten gegeben. Jedoch muss man bei dieser Aufgabe noch die Längeneinheiten anpassen. Entweder man rechnet die Seitenlänge c in dm um (83 cm = 8,3 dm (geteilt durch 10)) oder die Seitenlänge a in cm (2,5 dm = 25 cm (mal 10).

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Umrechnen von Größen die entsprechenden Ausführungen ergänzend an.

 

Danach kann man wiederum diese Gleichungsauflösung vom Satz des Pythagoras heranziehen.

b = \sqrt{\mathrm c^{2}+\mathrm a^{2}}          <=>  

b = \sqrt{(83~\mathrm c\mathrm m)^{2}+(25~\mathrm c\mathrm m)^{2}}  

b = \sqrt{6889~\mathrm c\mathrm m^{2}+625~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = \sqrt{7514~\mathrm c\mathrm m^{2}}  

b = 86,68 cm (auf zwei Nachkommastellen gerundet)

Die Seitenlänge b ist hier 86,68 cm lang.

 

f)   b = 9,2 m, c = 4300 mm, β = 90°

Da bei dieser Aufgabe β = 90° beträgt, ist die Seitenlänge b die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die gegebene Seitenlänge c ist eine der beiden Katheten. Gesucht ist die Seitenlänge a und somit die andere Kathete des Dreiecks. Bevor man diese berechnen kann, muss man wiederum die Einheiten der zwei gegebenen Seitenlängen anpassen. 9,2 m entsprechen hier 9200 mm (9,2 m mal 10 = 92 dm, mal 10 = 920 cm, mal 10 = 9200 mm) oder 4300 mm sind gleich 4,3 m (4300 mm geteilt durch 10 = 430 cm, geteilt durch 10 = 43 dm, geteilt durch 10 = 4,3 m).

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Umrechnen von Größen die dortigen Ausführungen ergänzend an.

 

Im Anschluss kann man folgende Gleichungsauflösung vom Satz des Pythagoras heranziehen.

a = \sqrt{\mathrm b^{2}-\mathrm c^{2}}                             <=>

a = \sqrt{(9,2~\mathrm m)^{2}-(4,3~\mathrm m)^{2}} 

a = \sqrt{84,64~\mathrm m^{2}-18,49~\mathrm m^{2}}  

a = \sqrt{66,15~\mathrm m^{2}}   

a = 8,13 m (auf zwei Nachkommastellen gerundet)

Die Seitenlänge a beträgt hier 8,13 m.

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne bei einem umgeknickten Baum, die Entfernung der Baumspitze hin zum Stamm.

Folgende Skizze verdeutlicht den Lösungsweg.

Skizze zur Mathe-Aufgabe “Abgeknickter Baum“

Auf der Skizze wurde zunächst der Baum mit seiner ursprünglichen Länge l = 25 m aufgezeichnet, darauf die Höhe h = 7,25 m, wo der Baum abgeknickt ist. Das letzte Bild, ein rechtwinkliges Dreieck, zeigt den abgeknickten Baum. Hierbei ist die Hypotenuse des Dreiecks die ursprüngliche Länge des Baumes minus die Höhe, wo der Baum abgeknickt ist, und daher l – h. Die eine Kathete des Dreiecks ist die Höhe, wo der Baum abgeknickt ist, und demzufolge h. Gesucht ist die Entfernung von der Baumspitze hin zum Stamm und somit die andere Kathete des Dreiecks, die hier mit s bezeichnet wurde. Folglich kann man hier folgende Gleichungsauflösung vom Satz des Pythagoras verwenden.

s = \sqrt{(\mathrm l-\mathrm h)^{2}-(\mathrm h)^{2}}                      <=>

s = \sqrt{(25~\mathrm m-7,25~\mathrm m)^{2}-(7,25~\mathrm m)^{2}}  

s = \sqrt{(17,75~\mathrm m)^{2}-(7,25~\mathrm m)^{2}}  

s =\sqrt{315,0625~\mathrm m^{2}-52,5625~\mathrm m^{2}} 

s = \sqrt{262,5~\mathrm m^{2}  

s = 16,2 m (auf zwei Nachkommastellen gerundet)

Die Entfernung der Baumspitze vom Stamm beträgt 16,2 m.

 

Hier gibt es den Artikel des Mathematik Nachhilfe Blogs zum Download als PDF: Mathe-Nachhilfe: Satz des Pythagoras, Teil 1.

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