Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 1

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Hat man verstanden, wie man lineare Gleichungen korrekt löst, dann wird man auch mit ziemlicher Sicherheit schwierigere Gleichungen in Mathe „knacken“ können. Das Entscheidende beim schrittweisen Lösen von Gleichungen beherrscht man dann nämlich schon – die sogenannten Äquivalenzumformungen. Das sind bei einer Gleichung Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge der Ursprungsgleichung/Ausgangsgleichung nicht ändert (Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch zu dem Stoffgebiet Gleichungen den Unterpunkt 3 „Äquivalenzumformungen bei Gleichungen“ an). Löst man derart eine lineare Gleichung auf, so weiß man dann auch das eindeutige Ergebnis zu „interpretieren“, sprich, welche Art von Lösung genau vorliegt. Und das wird einem ebenso bei allen weiteren Gleichungen äußerst hilfreich sein! Schließlich muss man in höheren Klassenstufen oftmals verschiedene Gleichungen gleichsetzen – was ein notwendiges Bestimmungsmerkmal von Schnittpunkten bei unterschiedlichen Funktionen ist! Daher wird man sich in Mathe bis zum Abitur mit Gleichungen „herumschlagen“ müssen, da sich speziell in der Oberstufe bei der Analysis alles um Funktionen dreht.

Eine Linie auf dem Fußballplatz und ein “Punkt“ auf der Linie © Mariliese PIXELIO www.pixelio.de

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Lineare Gleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme jeweils zu folgenden linearen Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge.

a)   –15x = 80 –5x

b)   4x = 35 + 3x

c)   4x = 8x – 28

d)   5y = 40 + 9y

e)   15z + 1 = 7z

f)   x = –0,05 + 5x

g)   –2z + 4 + 8z = 88

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Lösungsmenge liegt bei den Gleichungen jeweils vor?

a)     3x = x + 7

b)     4x = 2x + 2x

c)     3x + x = 4x

d)     9x + 2 = 9x – 2

e)     8x – x = 7x

f)     0 · x = 12

g)    4x + 1 = 6x

h)    2 – x = 5 – x

i)     0 · x = 0

j)     7x – 7x = 12 – 12

k)    9 + 3x = 3x + 9

l)     3 + {\frac{x}{5} = {\frac{1}{5}x + 3

m)   {\frac{x}{2} + {\frac{1}{2}x = 1

 

Lösungen zu dem Mathematik-Stoffgebiet: lineare Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Lösungsmenge liegt jeweils vor? Bestimme diese mittels Äquivalenzumformungen.

a)    –15x = 80 –5x          | + 5x    <=>

–10x = 80                 | : (–10) <=>

     x  = –8

      L = {–8}

 

b)        4x = 35 + 3x         |  – 3x   <=>

     x = 35

     L = {35}

 

c)        4x = 8x – 28         |  – 8x    <=>

  4x = –28              |  : (–4)   <=>

      x = 7

      L = {7}

 

d)        5y = 40 + 9y        – 9y     <=>

 –4y = 40                 : (–4)   <=>

     y = –10

     L = {–10}

 

e)     15z + 1 = 7z          – 15z    <=>

     1 = –8z              |  : (–8)     <=>

     z = {\frac{1}{8}

     L = { {\frac{1}{8}}

 

f)          x = –0,05 + 5x    – 5x     <=>

–4x  = –0,05            : (–4)    <=>

     x = 0,0125

     L = {0,0125}

 

g)     –2z + 4 + 8z = 88                 <=>

           6z + 4 = 88   – 4      <=>

   6z = 84                 |     : 6    <=>

     z = 14

     L = {14}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme jeweils die Lösungsmenge der Gleichung.

a)        3x = x + 7             |  – x      <=>

    2x = 7                   |  : 2       <=>

      x = 3,5

     L = {3,5}

 

b)     4x = 2x + 2x                         <=>

 4x = 4x                     |  – 4x   <=>

   0 = 0

Dadurch, dass sich hier das x bzw. die Variable eliminiert und die Gleichung ein „wahres“ Ergebnis liefert, ist die Lösungsmenge unendlich groß, d. h. unendlich viele Zahlen erfüllen die Gleichung.

   L = {\mathbb Q}  oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

 

c)     3x + x = 4x                            <=>

    4x   = 4x             – 4x      <=>

       0 = 0

L = {\mathbb Q}  oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Bei der Aufgabe c) kommt es zu dem gleichen Ergebnis wir bei Aufgabe b). Demzufolge erfüllen alle Zahlen die Gleichung.

 

d)     9x + 2 = 9x – 2         |   9x   <=>

         2 = –2               + 2    <=>

         4 = 0

Da bei dieser Gleichung sich zum einen die Variable eliminiert und zum anderen die Gleichung niemals „wahr“ werden wird, findet man keine Zahl, die die Gleichung erfüllt.

         L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

e)     8x – x = 7x                            <=>

       7x = 7x                 |   7x   <=>

0 = 0

L = {\mathbb Q}  oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Jede Zahl erfüllt hier wiederum die Gleichung.

 

f)     0 · x = 12                                <=>

     0 = 12

     L = { } bzw. L = {\varnothing}

Keine Zahl erfüllt die Gleichung.

 

g)    4x + 1 = 6x                 |   4x   <=>

1 = 2x                 |      : 2  <=>

x = {\frac{1}{2}

L = {{\frac{1}{2}}

 

h)    2 – x = 5 – x               |    + x   <=>

      2 = 5                    |      2 <=>

      0 = 3

      L = { } bzw. L = {\varnothing}

Zu dieser Gleichung findet man keine Zahl, die die Gleichung erfüllt.

 

i)       0 · x = 0

      0 = 0

Jede Zahl erfüllt die Gleichung.

 

j)     7x – 7x = 12 – 12                     <=>

 0 = 0

L = {\mathbb Q}  oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Hier erfüllt wiederum jede Zahl die Gleichung.

 

k)    9 + 3x = 3x + 9           |      3x <=>

9 = 9                   |        <=>

0 = 0

L = {\mathbb Q}  oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Jede Zahl erfüllt hier erneut die Gleichung.

 

l)     3 + {\frac{x}{5} = {\frac{1}{5}x + 3      |        {\frac{1}{5}x     <=>

3 = 3            |        3      <=>

0 = 0

L = {\mathbb Q}  oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe)

Ebenso hier erfüllt jede Zahl die Gleichung.

 

m)   {\frac{x}{2} + {\frac{1}{2}x = 1          <=>

x = 1

L = {1}

Vorsicht Blindgänger (zwei und mehrbeinige) © Boris Laaser PIXELIO www.pixelio.de

 

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