Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu binomischen Formeln, Teil 3

Nadel und Faden © erysipel PIXELIO www.pixelio.de

Binomische Formel „meets“ Distributivgesetz „meets“ Minusklammer – die volle Ladung Algebra! Wenn man bei diesem „Algebra-Crossover“ stöhnt, dann ist das eher ein alarmierendes Zeichen. Dann sitzt nämlich fundamentales Mathematik-Handwerkszeug nicht so, wie es eigentlich sein sollte. Das kann man mit einem Schneider vergleichen, der seine Nähkunst nicht wirklich beherrscht, da er seine Nadel nicht richtig „im Griff“ hat. Deshalb pikst solch ein vermeintlicher Handwerker sich auch ständig. Einen ähnlichen Schmerz kann einem ein „Algebra-Crossover“ verursachen – wenn man die hier abzurufenden Regeln nicht verinnerlicht hat. Dann schmerzt nämlich ständig die schlechte Note, die man fortwährend in Mathe mit ziemlicher Sicherheit einfährt. Da sowohl kein Schneider äußerlich als auch kein Schüler innerlich gerne „blutet“, muss man das berufsbedingte bzw. fachbedingte Handwerkszeug tipptopp können. Irgendwelche schmerzhaften Wunden aufgrund der zu bewältigenden Mathe-Materie beim Schüler oder wegen des zu bewältigenden Stoff-Materials beim Schneider kommen sodann erst gar nicht auf.

Mathe-Stress © Bernd Kasper PIXELIO www.pixelio.de

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet binomische Formeln

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige, dass du die binomischen Formeln richtig gut kannst, indem du folgende Rechenoperationen mittels der binomischen Formeln löst.

a)      51²;   89²;   61 · 59

b)     103²;   97²;   103 · 97

c)      1,02²;   0,98²;   1,02 · 0,98

d)     203²;   196²;   203 · 196

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse zunächst alle Klammern auf, fasse darauf zusammen.

a)   (4x + 8)² – (4x + 8)²

b)   (7x + 3y)² + (7x – 3y)²

c)   (5x + 9)² – (9 – 5x)²

d)   (8a + 7)² – (8a – 7)²

e)   (7x – 6y)² – (7x + 6y)²

f)   (3x + 5y)² – (3x + 5y) (3x – 5y)

g)   (8r – 1)² + (2r – 1) (2r + 1)

h)   (7x² – y²) (7x² + y²) – (7x² + y²)²

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache so weit wie möglich!

a)   (7x + 7y) (7x – 7y) + (x + 4y)²

b)   (r + 3s)² + (r + s) (4r + s)

c)   (x + 1,5y)² + (3,5x + y)²

d)   – (3a + b) (a + b) + (4a + b)²

e)   – (0,2r – 0,4s)² + (0,5r + 0,3s)²

f)   (2a – b) (2a + b) – (a + 3b)²

g)   (6x – y)² + (8x + y)²

h)   (3x + y) (x – 3y) + (5x – y)²

i)   – (8a + b)² + (8a + b) (8a – b)

j)   ({\frac{x}{2} – 2y)² + (6x – {\frac{y}{3}

k)   (r – 6s)² – (r – s) (5r + s)

l)   ({\frac{7}{5}a – {\frac{5}{2}b)² – ({\frac{5}{2}a – {\frac{7}{5}b)²

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige, dass Klammerauflösung und Zusammenfassen von Termen kein Problem sind!

a)   (3a + 1) · a + (a + b)² – b (b – 1)

b)   – (7 – 2x) (5x – 2) – (7x – 1)² – 10x²

c)   (4x – y) (3x + 2y) + 6y² – (3x – 2y)²

d)   – {\frac{5}{36} – (x – {\frac{1}{3}) ({\frac{1}{2} + x) + (x + {\frac{1}{3}

 

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet binomische Formeln

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne mithilfe der binomischen Formeln.

a)      51²; hier muss man sehen, dass man die Potenz hin zur 1. Binomischen Formel umwandeln kann.

51² = (50 + 1)² = (50)² + 2 · 50 · 1 + (1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601

a)      89²; hier muss man erkennen, dass man die 2. Binomische Formel anwenden kann.

89² = (90 – 1)² = (90)² – 2 · 90 · 1 + (1)² = 8100 – 180 + 1 = 7921

a)     61 · 59; hier muss man erkennen, dass man das Produkt hin zur 3. Binomischen Formel umwandeln kann.

61 · 59 = (60 + 1) · (60 – 1) = 3600 – 1 = 3599

b)     103²; hier muss man sehen, dass man die Potenz hin zur 1. Binomischen Formel umwandeln kann.

103² = (100 + 3)² = (100)² + 2 · 100 · 3 + (3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609

b)     97²; hier muss man erkennen, dass man die Potenz hin zur 2. Binomischen Formen umwandeln kann.

97² = (100 – 3)² = (100)² – 2 · 100 · 3 + (3)² = 10000 – 600 + 9 = 9409

b)     103 · 97; hier muss man erkennen, dass das Produkt hin zur 3. Binomischen Formel verändert werden kann.

103 · 97 = (100 + 3) · (100 – 3) = 10000 – 9 = 9991

c)      1,02²; hier muss man wiederum erkennen, dass man die Potenz hin zur 1. Binomischen Formel hin umwandeln kann.

1,02² = (1 + 0,02)² = (1)² + 2 · 1 · 0,02 + (0,02)² = 1 + 0,04 + 0,0004 = 1,0404

c)      0,98²; hier muss man sehen, dass sich die Potenz hin zur 2. Binomischen Formel umwandeln lässt.

0,98² = (1 – 0,02)² = (1)² – 2 · 1 · 0,02 + (0,02)² = 1 – 0,04 + 0,0004 = 0,9604

c)      1,02 · 0,98; hier muss man erkennen, dass das Produkt in die 3. Binomische Formel verändern werden kann.

1,02 · 0,98 = (1 + 0,02) · (1 – 0,02) = 1 – 0.0004 = 0,9996

d)      203²; hier muss man sehen, dass man die Potenz hin zur 1. Binomischen Formel hin umwandeln kann.

203² = (200 + 3)² = (200)² + 2 · 200 · 3 + (3)² = 40000 + 1200 + 9 = 41209

d)      196²; hier muss man wiederum erkennen, dass man die Potenz zur 2. Binomischen Formel umwandeln kann.

196² = (200 – 4)² = (200)² – 2 · 200 · 4 + (4)² = 40000 – 1600 + 16 = 38416

203 · 196; hier muss man erkennen, dass man das Produkt in keine (!) binomische Formel umwandeln kann, sondern nur in ein anderes Produkt, das man über das Distributivgesetz/Verteilungsgesetz auflösen muss!

203 · 196 = (200 + 3) · (200 – 4) = 200 · 200 + 200 · (–4) + 3 · 200 + 3 · (– 4) = 40000 – 800 + 600 – 12 = 39788

Einmal ein Biker, immer ein Biker © K. Brockmann PIXELIO www.pixelio.de

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige, wie gut du beim Auflösen von Klammern bist!

a)   (4x + 8)² – (4x + 8)²

Bevor man hier mit dem Auflösen der Klammern beginnt, sollte man sich vor Augen führen, dass es sich bei der ersten Klammer um die 1. Binomische Formel handelt und bei der zweiten Klammer ebenso, hier aber noch zusätzlich eine Minusklammer vorliegt! Da innerhalb der zweiten Klammer der identische Term vorliegt, eliminieren sich alle Einzelterme!

a)   (4x + 8)² – (4x + 8)² = (4x)² + 2 · 4x · 8 + (8)² – [(4x)² + 2 · 4x · 8 + (8)²] = 16x² + 64x + 64 – (16x² + 64x + 64) = 16x² + 64x + 64 – 16x² – 64x – 64 = 0

b)   (7x + 3y)² + (7x – 3y)²

Hier sollte man sich vorab im Klaren sein, dass bei der ersten Klammer die 1. Binomische Formel vorliegt und bei der zweiten Klammer die 2. Binomische Formel.

b)   (7x + 3y)² + (7y – 3y)² = (7x)² + 2 · 7x · 3y + (3y)² + (7x)² – 2 · 7x · 3y + (3y)² = 49x² + 42xy + 9y² + 49x² – 42xy + 9y² = 98x² + 18y²

c)   (5x + 9)² – (9 – 5x)²

Hier liegt bei der ersten Klammer wiederum die 1. Binomische Formel vor und bei der zweiten die 2. Binomische Formel, wobei hierbei auch noch eine Minusklammer vorliegt.

c)   (5x + 9)² – (9 – 5x)² = (5x)² + 2 · 5x · 9 + (9)² – [(9)² – 2 · 9 · 5x + (5x)²] = 25x² + 90x + 81 – (81 – 90x + 25x²) = 25x² + 90x + 81 – 81 + 90x – 25x² = 180x

d)   (8a + 7)² – (8a – 7)²

Bei der ersten Klammer liegt wiederum die 1. Binomische Formel vor, bei der zweiten Klammer die 2. Binomische Formel, bei der noch eine Minusklammer miteinfließt.

d)   (8a + 7)² – (8a – 7)² = (8a)² + 2 · 8a · 7 + (7)² – [(8a)² – 2 · 8a · 7 + (7)²] = 64a² + 112a + 49 – (64a² – 112a + 49) = 64a² + 112a + 49 – 64a² + 112a – 49 = 224a

e)   (7x – 6y)² – (7x + 6y)²

Hier sollte man sehen, dass es sich bei der ersten Klammer um die 2. Binomische Formel handelt und bei der zweiten Klammer um die 1. Binomische Formel, wobei hier noch eine Minusklammer berücksichtigt werden muss.

e)   (7x – 6y)² – (7x + 6y)² = (7x)² – 2 · 7x · 6y + (6y)² – [((7x)² + 2 · 7x · 6y + (6y)²] = 49x² – 84xy + 36y² – (49x² + 84xy + 36y²) = 49x² – 84xy + 36y² – 49x² – 84xy – 36y² = –168xy

f)   (3x + 5y)² – (3x + 5y) (3x – 5y)

Beim Auflösen der Klammern ist es hier wichtig, vorab zu sehen, dass bei der ersten Klammer die 1. Binomische Formel vorliegt und bei den anderen beiden die 3. Binomische Formel. Darüber hinaus muss berücksichtigt werden, dass bei der 3. Binomischen Formel noch eine Minusklammer miteinfließt.

f)   (3x + 5y)² – (3x + 5y) (3x – 5y) = (3x)² + 2 · 3x · 5y + (5y)² – [(3x)² – (5y)²] = 9x² + 30xy + 25y² – (9x² – 25y²) = 9x² + 30xy + 25y² – 9x² + 25y² = 30xy + 50y²

g)   (8r – 1)² + (2r – 1) (2r + 1)

Hier sollte man vorab erkennen, dass bei der ersten Klammer die 2. Binomische Formel vorliegt und bei den beiden anderen die 3. Binomische Formel.

g)   (8r – 1)² + (2r – 1) (2r + 1) = (8r)² – 2 · 8r · 1 + (1)² + (2r)² – (1)² = 64r² – 16r + 1 + 4r² – 1 = 68r² – 16r

h)   (7x² – y²) (7x² + y²) – (7x² + y²)²

Hier gilt es zu erkennen, dass bei den ersten beiden Klammern die 3. Binomische Formel vorliegt und bei der letzten die 1. Binomische Formel, wobei bei dieser noch eine Minusklammer miteinfließt.

h)   (7x² – y²) (7x² + y²) – (7x² + y²)² = (7x²)² – (y²)² – [(7x²)² + 2 · 7x² · y² + (y²)²] = 49x4– y4– (49x4 + 14x²y² + y4) = 49x4– y449x4 14x²y² y4 = –2y4 14x²y²

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Fasse den Term zusammen!

a)   (7x + 7y) (7x – 7y) + (x + 4y)² = (7x)² – (7y)² + (x)² + 2 · x · 4y + (4y)² = 49x² – 49y² + x² + 8xy + 16y² = 50x² + 8xy – 33y²

Weiter kann der Term nicht vereinfacht werden.

b)   (r + 3s)² + (r + s) (4r + s) = (r)² + 2 · r · 3s + (3s)² + r · 4r + r · s + s · 4r + s · s = r² + 6rs + 9s² + 4r² + rs + 4rs + s² = 5r² + 11rs + 10s²

Das ist schließlich der Endterm.

c)   (x + 1,5y)² + (3,5x + y)² = (x)² + 2 · x · 1,5y + (1,5y)² + (3,5x)² + 2 · 3,5x · y + (y)² = x² + 3xy + 2,25y² + 12,25x² + 7xy + y² = 13,25x² + 10xy + 3,25y²

Weiter lässt sich der Term nicht zusammenfassen.

d)   – (3a + b) (a + b) + (4a + b)² = – (3a · a + 3a · b + b · a + b · b) + (4a)² + 2 · 4a · b + (b)² =  – (3a² + 3ab + ab + b²) + 16a² + 8ab + b² = –3a² – 4ab – b² + 16a² + 8ab + b² = 13a² + 4ab

Das ist der Endterm.

e)   – (0,2r – 0,4s)² + (0,5r + 0,3s)² = – [(0,2r)² – 2 · 0,2r · 0,4s + (0,4s)²] + (0,5r)² + 2 · 0,5r · 0,3s + (0,3s)² = – (0,04r² – 0,16rs + 0,16s²) + 0,25r² + 0,3rs + 0,09s² = – 0,04r² + 0,16rs – 0,16s² + 0,25r² + 0,3rs + 0,09s² = 0,21r² + 0,46rs – 0,07s²

Weiter kann der Term nicht zusammengefasst werden.

f)   (2a – b) (2a + b) – (a + 3b)² = (4a)² – (b)² – [(a)² + 2 · a · 3b + (3b)²] = 16a² – b² – (a² + 6ab + 9b²) = 16a² – b² – a² – 6ab – 9b² = 15a² – 6ab – 10b²

Das ist der Endterm.

g)   (6x – y)² + (8x + y)² = (6x)² – 2 · 6x · y + (y)² + (8x)² + 2 · 8x · y + (y)² = 36x² – 12xy + y² + 64x² + 16xy + y² = 100x² + 4xy + 2y²

Weiter lässt sich der Term nicht zusammenfassen.

h)   (3x + y) (x – 3y) + (5x – y)² = 3x · x + 3x · (–3y) + y · x + y · (–3y) + (5x)² – 2 · 5x · y + (y)² = 3x² – 9xy + xy – 3y² + 25x² – 10xy + y² = 28x² – 18xy – 2y²

Weiter kann der Term nicht zusammengefasst werden.

i)   – (8a + b)² + (8a + b) (8a – b) = – [(8a)² + 2 · 8a · b + (b)²] + (8a)² – (b)² = – (64a² + 16ab + b²) + 64a² – b² = –64a² – 16ab – b² + 64a² – b² = –16ab – 2b²

Das ist der Endterm.

j)   ({\frac{x}{2} – 2y)² + (6x – {\frac{y}{3})² = ({\frac{x}{2})² – 2 · {\frac{x}{2} · 2y + (2y)² + (6x)²  – 2 · 6x · {\frac{y}{3} + ({\frac{y}{3})² = 0,25x² – 2xy + 4y² + 36x² – 4xy + {\frac{1}{9}y² = 36,25x² – 6xy + 4{\frac{1}{9}

Weiter kann der Term nicht zusammengefasst werden.

k)   (r – 6s)² – (r – s) (5r + s) = (r)² – 2 · r · 6s + (6s)² – [r · 5r + r · s + (–s) · (5r) + (–s) · (s)] = r² – 12rs + 36s² – (5r² + rs – 5rs – s²) = r² – 12rs + 36s² – 5r² + 4rs + s² = –4r² – 8rs + 37s²

Weiter lässt sich der Term nicht zusammenfassen.

l)   ({\frac{7}{5}a – {\frac{5}{2}b)² – ({\frac{5}{2}a – {\frac{7}{5}b)² = ({\frac{7}{5}a)² – 2 · {\frac{7}{5}a · {\frac{5}{2}b + ({\frac{5}{2}b)² – [({\frac{5}{2}a)² – 2 · {\frac{5}{2}a · {\frac{7}{5}b + ({\frac{7}{5}b)²] = 1,96a² – 7ab + 6,25b² – (6,25a² – 7ab + 1,96b²) = 1,96a² – 7ab + 6,25b² – 6,25a² + 7ab – 1,96b² =  –4,29a² + 4,29b²

Das ist der Endterm.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige dein Algebra-Können beim Auflösen von Klammern und Zusammenfassen von Termen.

a)   (3a + 1) · a + (a + b)² – b (b – 1) = 3a · a + 1 · a + (a)² + 2 · a · b + (b)² + (–b) · b + (–b) · (–1) = 3a² + a + a² + 2ab + b² – b² + b = 4a² + a + 2ab + b

Weiter kann der Term nicht zusammengefasst werden.

b)   – (7 – 2x) (5x – 2) – (7x – 1)² – 10x² = – [7 · 5x + 7 · (–2) + (–2x) · (5x) + (–2x)  · (–2)]  – [(7x)² – 2 · 7x · 1 + (–1)²  – 10x² = – (35x – 14 – 10x² + 4x) – (49x²  – 14x + 1) – 10x² = – 39x + 14 + 10x² – 49x² + 14x – 1 – 10x² = –39x² – 25x + 13

Das ist der Endterm.

c)   (4x – y) (3x + 2y) + 6y² – (3x – 2y)² = (4x) · (3x) + (4x) · (2y) + (–y) · (3x) + (–y) · (2y) + 6y² – [(3x)² – 2 · 3x · 2y + (2y)²] = 12x² + 8xy – 3xy – 2y² + 6y² – (9x² – 12xy + 4y²) = 12x² + 8xy – 3xy – 2y² + 6y² – 9x² + 12xy – 4y² = 3x² + 17xy

Weiter kann der Term nicht vereinfacht werden.

d)   – {\frac{5}{36} – (x – {\frac{1}{3}) ({\frac{1}{2} + x) + (x + {\frac{1}{3})² = – {\frac{5}{36} – [x · {\frac{1}{2} + x · x + (–{\frac{1}{3}) · {\frac{1}{2} + (–{\frac{1}{3}) · x] + (x)² + 2 · x · {\frac{1}{3} + ({\frac{1}{3})² = – {\frac{5}{36} – ({\frac{1}{2}x + x² – {\frac{1}{6}{\frac{1}{3}x) + x² + {\frac{2}{3}x + {\frac{1}{9} = – {\frac{5}{36}{\frac{1}{2}x – x² + {\frac{1}{6} + {\frac{1}{3}x + x² + {\frac{2}{3}x + {\frac{1}{9} = {\frac{1}{2}x + {\frac{5}{36}

Das ist der Endterm.

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