Mathematik-Nachhilfe: das Shakehands/Anstoß-Problem

 

Shakehands © Alexander Klaus PIXELIO www.pixelio.de

Jedes Jahr stehen Familienfeierlichkeiten an. Das ist zweifelsohne sehr schön. Im trauten Kreis der Familie verbringt man schließlich am liebsten seine Zeit, da es viel zu Plaudern und Essen gibt und jede Menge anderweitige Gemeinschaftsaktivitäten gemacht werden. Daher ist die Freude allseits groß, wenn ein Familientreffen im Gange ist. Doch gerade hierbei Anwesende Mathematik– und Rätsel-Begeisterte können oftmals noch nicht gleich die entspannte Familienrunde genießen, da ihnen das Händeschütteln aller Familienmitglieder wiederum Kopfzerbrechen bereitet. Wie bei jedem Familientreffen lässt es nämlich den hier dabei seienden Jung- und Alt-Mathematikern und Jung- und Alt-Rätselfreunden erneut keine Ruhe, nicht genau zu wissen, wie hoch die genaue Anzahl der Familien-Shakehands dieses Mal ist. Deshalb ist auch immer ein vielfaches Getuschel zu hören, da die Mathematik-Begeisterten die Meinung vertreten, dass es für die genaue Shakehands-Anzahl  eine Mathe-Formel gäbe, die Rätsel-Freunde hingegen jedoch der Auffassung sind, dass das Handschüttel-Problem ein immerwährendes Rätsel sei, das deshalb stets nur über ein genaues Abzählverfahren gelöst werden könne.

Anstoßen aufs neue Jahr © Rike PIXELIO www.pixelio.de

Alljährlich klingt das alte Jahr durch das größte jährliche Spektakel aus: Silvester. Das ist auch gut so. Das neue, bevorstehende Jahr sollte schließlich auch gebührend begrüßt werden. Trotz des ausgelassenen Feierns sind hierbei daran teilnehmende Mathematik- und Rätselbegeisterte stets etwas geistig abwesend, da beim Übergang von Silvester hin zu Neujahr das gleiche Shakehands-Phänomen wie bei Familienfeierlichkeiten auftritt – nur in einem „anderen Gewand“. Denn anstatt jeder jedem die Hand gibt, stößt jeder mit jedem an. Auch ändert sich natürlich der verbale Austausch, da anstelle eines: „Hallo, wie geht’s?“ oder „Hallo, schön dich mal wieder zu sehen!“, ein „Prosit Neujahr!“ oder ein „Alles Gute fürs neue Jahr“ tritt. Die veränderten verbalen Äußerungen stellen hierbei für die anwesenden Mathematik- und Rätsel-Begeisterten aber keine zu analysierende Problematik dar!

Gibt es nun aber wirklich für das Shakehands/Anstoß-Problem eine Berechnungsmethode, die auf einer Mathe-Formel fußt, oder lässt sich das jedes Mal aufs Neue nur mittels eines komplizierten Abzählverfahrens feststellen, das auf vorheriger Aufzeichnung aller Shakehands und Anstöße basiert?

Auf folgendem Blatt sind bei 1, 2, 3 und 4 Personen alle Shakehands- und Anstoßmöglichkeiten mittels Striche aufgezeichnet worden:

1 bis 4 Personen sowie die Shakehands und Anstoßkonstellationen

 

Hierbei lässt sich leicht ablesen, dass bei

  • 1 Person       = 0
  • 2 Personen   = 1
  • 3 Personen   = 3
  • 4 Personen   = 6     Shakehands/Anstöße gemacht werden.

Bei 5 Personen ergeben sich folgende Shakehands/Anstoß-Konstellationen:

5 Personen sowie die Shakehands und Anstoßkonstellationen

Wie man sieht, verkompliziert sich nun die Darstellung schon um einiges, trotzdem kann man noch ablesen, dass bei

  • 5 Personen   = 10    Shakehands/Anstöße gemacht werden.

Schon recht kompliziert stellt sich das Aufzeichnen aller Shakehands/Anstoß-Möglichkeiten bei 6 Personen dar:

Dennoch lässt sich noch ablesen, dass bei

  • 6 Personen   = 15    Shakehands/Anstöße gemacht werden.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Alle weiteren Shakehands/Anstöße ab 7 Personen und mehr kann man nur noch äußerst schwer zeichnerisch darstellen. Ein Wirrwarr an Strichen ist auf jeden Fall unvermeidbar.

Bei der Anzahl der anwachsenden Shakehands und Anstöße bei mehr an Personen fällt auf, dass dies offenbar streng monoton steigend ist. Darüber hinaus liegt definitiv kein linearer Anstieg vor, da die Shakehands/Anstoß-Konstellationen nicht proportional zunehmen.

Da man einer bestimmten Anzahl an Personen je genau eine bestimmte Anzahl an Shakehands/Anstöße zuordnen kann, liegt auf jeden Fall eine eindeutige Zuordnung vor. Hierbei hängen die Anzahl der Anstöße/Shakehands jeweils von der Anzahl der Personen ab. Daher kann man sagen, dass der x-Wert die Anzahl der Personen beinhaltet und der y-Wert die Anzahl der Anstöße/Shakehands. Diese eindeutige Zuordnung aus x- und y-Werten lässt sich nun in folgendem Koordinatensystem veranschaulichen:

Anhand der graphischen Darstellung der Shakehands/Anstöße in Abhängigkeit der Personen fällt zweierlei auf: Es gibt zwei Werte, die auf der x-Achse liegen, und die anderen Werte steigen in Anführungszeichen einseitig parabelförmig an.

Wenn es tatsächlich eine Mathe-Formel für das Shakehands/Anstoß-Problem geben sollte, dann müssten natürlich für jede Anzahl an Personen genau die richtige Anzahl an Shakehands/Anstößen berechnet werden können.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Als Mathematik-Interessierter sollte man aufgrund des jetzigen Shakehands/Anstöße-Wissen in der Lage sein, sich einer möglichen Mathe-Formel anzunähern.

 

Keep Smiling im Tierreich © Andreas Depping PIXELIO www.pixelio.de

Entscheidend für das schrittweise Aufstellen einer Variablen-Kombination, sprich einer TermAufstellung, ist deren logische Verknüpfung. Hierbei hilft aber, dass man ja weiß, dass 2-mal 0 Shakehands/Anstöße gemacht werden.

In der Sprache der Mathematik gesprochen, muss also der Term in der einfachsten Form ein Rechenzeichen vorweisen, mit der der komplette Term 2-mal 0 werden kann. Das ist in der Mathematik nur mit einem Multiplikationszeichen möglich. Denn wenn ein Faktor eines Produkts 0 ist, so ist auch der andere Faktor 0 und umgekehrt. Klar ist zudem auch, dass die Einzelterme aus der gleichen Variable bestehen müssen, da ja eine eindeutige Zuordnung vorliegt, in der jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet wird. Demzufolge können wir bereits diesen Term aufstellen.

x · (x – 1)

Der erste Teilterm „x“ ergibt sich aus dem Wissen, dass bei 0 Personen 0 Shakehands/Anstöße vorliegen, der andere Teilterm „x – 1″ aus dem Sachverhalt, dass bei 1 Person es ebenso 0 Shakehands/Anstöße gibt. Setzt man nun 0 oder 1 in den Term ein, so ist das Ergebnis aufgrund der Multiplikations-Verbindung der Einzelterme jeweils 0 – und schon einmal zwei x/y-Werte mittels Mathe-Formel richtig wiedergegeben. Überprüft man jetzt die anderen Werte, indem man diese in den aufgestellten Term einsetzt, so ergeben sich folgende Wertpaare:

  • 0 Personen = 0     Shakehands/Anstöße
  • 1 Person     = 0     Shakehands/Anstöße
  • 2 Personen = 2     Shakehands/Anstöße
  • 3 Personen = 6     Shakehands/Anstöße
  • 4 Personen = 12   Shakehands/Anstöße
  • 5 Personen = 20   Shakehands/Anstöße
  • 6 Personen = 30   Shakehands/Anstöße

Hier muss einem Mathematik-Interessierten unbedingt wieder etwas auffallen – was aber auch nicht sonderlich schwer ist. Es fällt nämlich auf, dass als x/y-Werte ab 2 Personen aufwärts genau das doppelte Ergebnis an Shakehands/Anstößen liefern, wie es eigentlich in der Realität der Fall wäre. Daher fehlt nur noch eine Kleinigkeit, um den Term in die richtige Mathe-Form zu bringen und das Shakehands/Anstoß-Problem zu lösen. Denn man muss nur noch den bereits aufgestellten Term mit der Zahl 2 dividieren. Demzufolge ergibt sich schließlich dieser Term:

  \frac{x\ {\cdot}\ (x-1)}{2}

Beim Einsetzen der x-Werte liefert jener Term folgende y-Werte:

  • 0 Personen = 0     Shakehands/Anstöße
  • 1 Person     = 0     Shakehands/Anstöße
  • 2 Personen = 1     Shakehands/Anstöße
  • 3 Personen = 3     Shakehands/Anstöße
  • 4 Personen = 6     Shakehands/Anstöße
  • 5 Personen = 10   Shakehands/Anstöße
  • 6 Personen = 15   Shakehands/Anstöße

Alle Werte-Paare stimmen demzufolge mit den anderen mittels Abzählverfahren ermittelten überein – und somit hatten die Mathematik-Interessierten von Anfang an recht. Aber jetzt sind sowohl die Mathe- als auch Rätsel-Freunde voll happy, da sie ohne Weiteres die genaue Anzahl alle Shakehands bei der nächsten Familienfeierlichkeit mit 105  (\frac{105\ {\cdot}\ (105-1)}{2} = 5460 Shakehands) Gästen berechnen können sowie alle Anstöße beim nächsten Neujahrsprosit mit aller Voraussicht nach 235 (\frac{235\ {\cdot}\ (235-1)}{2} = 27495 Anstöße) Feierfreudigen.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Der aufgestellte Term ist übrigens erst vollkommen korrekt, wenn der Definitionsbereich mit angegeben wird.

 

Demzufolge lautet der korrekte Term:

\frac{x\ {\cdot}\ (x-1)}{2}   und D = N+

Dieser spezielle Term kann man auch zu einer Funktion machen. Jene besondere Funktion nennt man dann in der Mathematik eine Folge. Hierbei ändert sich auch die Schreibweise:

a\frac{n\ {\cdot}\ (n-1)}{2}, D = N(a ist der y-Wert und n der x-Wert).

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