Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Teil 2

 

Kugel auf Rouletterad © Herbert Käfer PIXELIO www.pixelio.de

Jede Person, die leidenschaftlich Roulette spielt und auf IHRE Zahl hofft, hat offenbar niemals etwas von einem Monsieur Laplace gehört. Der berühmte französische Mathematiker Pierre-Simon Laplace beschäftigte sich nämlich bereits im 18. Jahrhundert intensiv mit auf Wahrscheinlichkeit basierenden Phänomenen. Hierbei stellte er bei verschiedenen Zufallsexperimenten fest: Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer von Versuch zu Versuch bei allen eintretenden Ereignissen gleich. Diese einfache und zugleich geniale Feststellung trägt bis heute den Namen des berühmten Mathematikers, da es sich hierbei um die sogenannte Laplace-Regel handelt. Und das ist auch der Grund, warum leidenschaftliche Roulette-Spieler stets vergeblich auf IHRE Zahl warten – und immer mehr an Geld verzocken. Schließlich bleibt bei jedem Roulette-Wurf die Wahrscheinlichkeit gleich (da hier auch die Laplace-Regel gilt) – und diese ist stets zu Ungunsten des Spielenden.

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Wahrscheinlichkeitsrechnung

 

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wie ist die Wahrscheinlichkeit bei Polyedern als Spielwürfeln?

In einem Spielwarengeschäft kann man als Spielwürfel viele verschiedene reguläre Polyeder kaufen. Welche Wahrscheinlichkeiten treten bei den einzelnen Ergebnissen der Polyeder jeweils auf.

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die Wahrscheinlichkeit bei einem Skat-Blatt.

Ein Skat-Blatt besteht aus 32 Karten mit jeweils vier verschiedenen Farben (Kreuz, Pik, Herz, Karo) und 8 verschiedenen Werten ( 7, 8, 9, 10, Bube, Dame König, Ass). Hieraus wird eine Karte zufällig gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, für ein bestimmtes Ereignis eintritt?

Die Karte, die gezogen wurde, ist:

a) eine Kreuz-Karte

 

b) hat eine Zahl

 

c) ist eine rote Karte

 

d) ist ein schwarzer Bube

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib jeweils die Ergebnismenge und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bei gezogenen Kugeln an.

In einem Behältnis befinden sich 50 Kugeln, die alle gleichgroß sind. Hieraus wird eine Kugel zufällig gezogen. Die Kugeln selbst sind nummeriert, und zwar mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, …, 50.

Sechs verschiedene Ereignisse (E1, E2, E3, …, E6) sollen nun betrachtet werden und hierzu jeweils die Ergebnismenge angegeben werden und das Eintreten deren Wahrscheinlichkeit.

 

E1: Die gezogene Kugel hat als Nummer eine ungerade Zahl.

 

E2: Die gezogene Kugel hat als Nummer eine Primzahl.

 

E3: Die gezogene Kugel hat eine Nummer, die durch 9 teilbar ist.

 

E4: Die gezogene Kugel hat als Nummer eine zweistellige Zahl.

 

E5: Die gezogene Kugel hat eine Nummer, die durch 5 teilbar ist.

 

E6: Die gezogene Kugel hat eine Nummer, die kleiner als 32 ist.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Wahrscheinlichkeit zu in Deutschland lebenden Altersgruppen an.

In Deutschland leben 17,5 Millionen Menschen, die unter 21 Jahr alt sind und 40,3 Millionen Menschen, die unter 40 Jahren alt sind. 40,5 Millionen an Bundesbürgern sind 40 Jahre oder älter als 40 Jahre. Mindestens 19,4 Millionen an Menschen sind hiervon 60 Jahre alt. Von allen Menschen wird zufällig eine Person ausgewählt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mindestens 21 Jahre alt ist und unter 60 Jahren ist?

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Wahrscheinlichkeitsrechnung

 

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Wahrscheinlichkeit liegt bei Polyedern als Spielwürfel vor?

Viele verschiedene Polyeder werden in einem Spielwarengeschäft als Würfel angeboten. Wie hoch ist deren jeweilige Wahrscheinlichkeit?

Bei einem normalen Würfel, der ja auch ein Polyeder ist und den man als einen Hexaeder bezeichne, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 6 Zahlen auftritt: P(E) = {\frac{1}{6} = 0,1667 (gerundet auf drei Nachkommastellen) = 16,7 %. Daraus kann man ableiten, dass bei n-Flächen eines Polyeders folgende Wahrscheinlichkeiten auftreten:

 

P(E) = {\frac{1}{n}

Bei einem Tetraeder ergibt sich daher die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Augenzahl:

P(E) = {\frac{1}{4} = 0,25 = 25 %.

 

Bei einem Hexaeder liegt folgende Wahrscheinlichkeit vor:

P(E) = {\frac{1}{6} = 0,1667 (gerundet auf drei Nachkommastellen) = 16,7 %

 

Bei einem Oktaeder:

P(E) = {\frac{1}{8} = 0,125 = 12,5 %

 

Bei einem Dodekaeder ergeben sich diese Wahrscheinlichkeiten:

P(E) = {\frac{1}{12} = 0,83 (gerundet auf zwei Nachkommastellen) = 8,3%

 

Bei einem Ikosaeder liegt diese Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Augenzahl vor:

P(E) = {\frac{1}{20} = 0,05 = 5 %

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Wahrscheinlichkeiten liegen bei einem Skat-Blatt vor?

Ein normales Skat-Blatt weist 32 Karten auf. Hierbei gibt es die vier verschiedenen Farben Karo, Herz, Pik und Kreuz sowie acht verschiedene Werte, von 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König bis Ass.

Aus den 32 Karten wird eine Karte zufällig gezogen.Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten folgender Ereignisse?

 

a) eine Kreuz-Karte wird gezogen

Es gibt 8 Kreuz-Karten, Kreuz 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König und Ass. Daher ist die Wahrscheinlichkeit eine Kreuz-Karte zu ziehen:

P(Kreuz-Karte) = {\frac{8}{32} = 0,25 = 25 %

 

b) eine Karte mit Zahl wird gezogen

Es gibt folgende Zahlkarten: 7, 8, 9 10 und diese jeweils 4-fach. Daher gibt es 16 Zahlkarten. Das Ass ist übrigens keine Zahlkarte und auch keine Bildkarte! Die Wahrscheinlichkeit eine Zahlkarte zu ziehen ist deshalb:

P(Zahl-Karte) = {\frac{16}{32} = 0,5 = 50 %

 

c) dass eine rote Karte gezogen wird

Als rote Karten gibt es Karo und Herz und die jeweils achtmal, also gibt es 16 rote Karten. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Karte gezogen wird, beträgt daher:

P(rote Karte) = {\frac{16}{32} = 0,5 = 50 %

 

d) dass ein schwarzer Bube gezogen wird

Es gibt den Pik- und den Kreuz-Buben als Karten, die die Farbe Schwarz vorweisen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen Buben zu ziehen, Folgende:

P(schwarzer Bube) = {\frac{2}{32} = 0,0625 = 6,25 %

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Ergebnismenge und die Wahrscheinlichkeit bei einer Menge von Kugeln.

Ein Behältnis weist 50 verschiedene gleich große Kugeln auf, die von den Zahlen 1 bis 50 durchnummeriert sind.

Aus dieser Anzahl von Kugeln sollen nun sechs verschiedene Ergebnisse, E1, …, E6, genauer unter die Lupe genommen werden und hierbei deren Ergebnismenge und Wahrscheinlichkeit wiedergegeben werden.

 

E1: Es wird eine Kugel mit ungerader Zahl gezogen.

Die Ergebnismenge ist hierbei: S = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37; 39; 41; 43; 45; 47; 49}

Da es 25 verschieden Ergebnisse geben kann die zu dem Ereignis passen, ist die Wahrscheinlichkeit hierzu: P(ungerade Zahl): {\frac{25}{50} = 0,5 = 50 %.

 

E2: Es wird eine Kugel mit einer Primzahl gezogen.

Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Die 1 ist hierbei keine Primzahl, da sie eine Sonderstellung unter allen Zahlen einnimmt.

Die Ergebnismenge ist hierbei: S = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47}

Da es 15 Ergebnisse geben kann, die das Ereignis erfüllen, ist die Wahrscheinlichkeit: P(Primzahl): {\frac{15}{50} = 3,333 (auf 3 Nachkommastellen gerundet) = 33,33 %.

 

E3: Es wird eine Kugel gezogen, die durch 9 teilbar ist.

Die Ergebnismenge ist hierbei: S = {9; 18; 27; 36; 45}

Da es 5 Ergebnisse gibt, die zum Ereignis passen, ist die Wahrscheinlichkeit: P(durch 9 teilbar): {\frac{5}{50} = 0,1 = 10 %.

 

E4: Es wird eine Kugel gezogen, die ein zweistellige Zahl vorweist.

Die Ergebnismenge ist hierbei: S = {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50}

Da es 41 Ergebnisse gibt, die das Ereignis erfüllen, ist die Wahrscheinlichkeit: P(zweiziffrige Zahl): {\frac{41}{50} = 0,82 = 82 %.

 

E5: Es wird eine Kugel gezogen, die durch 5 teilbar ist.

Die Ergebnismenge ist hierbei: S = {5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50}

Da es 10 Ergebnisse gibt, die das Ereignis erfüllen, ist die Wahrscheinlichkeit: P(durch 5 teilbar): {\frac{10}{50} = 0,2 = 20 %

 

E6: Es wird eine Kugel gezogen, deren Nummer kleiner 32 ist.

Die Ergebnismenge ist hierbei: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31}

Da es 31 Ergebnisse gibt, die zum Ereignis passen, ist die Wahrscheinlichkeit: P(Zahl kleiner 32): {\frac{31}{50} = 0,62 = 62 %

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Wahrscheinlichkeit zu verschiedenen Altersgruppen an, und das bei uns lebende Menschen.

In Deutschland gibt es 17,5 Millionen an Menschen, die jünger als 21 Jahre alt sind und 40,3 Millionen an Menschen, die jünger als 40 Jahre alt sind. 40,5 Millionen der Deutschen sind 40 Jahr und älter. 19,4 Millionen an Bundesbürgern sind hiervon mindestens 60 Jahre alt.

Welche Wahrscheinlichkeit existiert, dass eine Person mindestens 21 Jahre alt ist und unter 60 Jahren alt ist?

{P(E)=\frac{Anzahl~der~zu~E~geh\"orenden~ Ergebnisse}{Anzahl~aller~m\"oglichen~Ergebnisse}

Als Erstes sollte man die Gesamtmenge an Menschen berechnen, da diese ja für die Wahrscheinlichkeitsberechnung ebenso vonnöten ist. Diese beträgt: 40,3 Millionen + 40,5 Millionen = 80,8 Millionen. Nun sind noch die Anzahl an Menschen gesucht, die mindestens 21 Jahre alt sind und nicht älter als 60. Mindestens 21 Jahre alt sind: 40,3 Millionen – 17,5 Millionen = 22,8 Millionen. Unter 60 und über 40 sind: 40,5 Millionen – 19,4 Millionen = 21,1 Millionen. Personen zwischen 21 und 60 = 22,8 Millionen + 21,1 Millionen = 43,9 Millionen.

P(21 < Alte der Bundesbürger < 60) = {\frac{43,9 Millionen}{80,8 Millionen} = 0,5433 (gerundet auf 4 Nachkommastellen) = 54,33 %

2 Antworten auf „Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Teil 2“

    1. Hallo,

      vielen Dank für Deinen netten Kommentar auf meinem Mathematik Nachhilfe Blog!
      Es ist immer schön zu hören, dass auch die vielen Mathe-Aufgaben bei anderen Personen einen Anklang finden. Schließlich steckt dahinter auch eine nicht zu unterschätzende Arbeit. Aber das gehört auch zu diesem Blog unvermeidlich dazu.
      Zum einen ist ja die Zielsetzung meines Mathe Nachhilfe Blogs, ständig neue Mathematik-Aufgaben hier zu veröffentlichen und zum anderen, diese noch so einfach wie möglich zu erklären. Denn das eigentliche Ziel meinerseits ist: Bei Schülerinnen und Schülern hierdurch bei bestimmten nicht verstandenen Mathe-Stoffgebieten einen Aha-Effekt auszulösen. Und nach dem Verstehen des Mathematik-Stoffes ist dann hoffentlich wieder mehr Freude an dem Fach entfacht worden!

      Viele Grüße in die Schweiz,
      Ralf

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