Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Ungleichungen, Teil 2

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Die Negation von etwas kann es doch nicht geben! Oder doch? Frosch und Nicht-Frosch. Zwerg und Nicht-Zwerg. Husten und Nicht-Husten. Bei Substantiven trifft das bei dem Negationspartikel „nicht“ sowohl als auch zu. Häh? Denn entweder es gibt das eine oder es gibt das eine nicht. Formallogisch gibt es aber beides. Lust und Unlust. Selbständigkeit und Unselbständigkeit. Echtheit und Unechtheit. Bei der Vorsilbe „un“, die das Gegenteil von etwas zum Ausdruck bringt, ist das ebenso der Fall. Beide Partikel bringen etwas zum Ausdruck, das das Gegenteil von etwas Bestimmten ist und deshalb das ursprünglich Gemeinte negiert. Daher ist eine Ungleichung definitiv keine Gleichung!!! Sie ist nämlich eine Nicht-Gleichung bzw. eine Un-Gleichung. Dennoch gibt es in Mathematik zweifelsohne Ungleichungen. Formallogisch wäre daher nun ein für allemal geklärt, dass eine Ungleichung genauso wie alles andere, was ein Negationspartikel als Wortbestandteil hat, zwar das Gegenteil von etwas ist, aber dennoch existiert. Ein Nicht-Mathe-Thema wäre hier auch ein für allemal geklärt. 🙂

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Ungleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Ungleichung auf.

a) x + 50 > 3

b) x – 8,5 > 1,2

c) 8x > 4,8

d) 40x > –10

e) 7x < 2

f) 0,4x < 0

g) {\frac{1}{8}}x > 1,25

h) {\frac{3}{4}}x < –1

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Ungleichung auf und gebe die Lösungsmenge an.

a) 25x + 41 > 159

b) 22x + 1 < –3,4

c) 13x – 7 < 84

d) 16x – 1,7 > 4,7

e) 28x + 3 – 19x > 8,6

f) –12 + {\frac{1}{3}}x + 8 < 11

g) 2,3 + 1,4x < 9,3

h) {\frac{1}{8}}x – 0,2 > 7,45

i) {\frac{7}{6}} > {\frac{2}{3}} + 0,9x – {\frac{1}{2}}

j) 0 < 0,6 + {\frac{2}{5}} + {\frac{1}{3}}x

k) 1 > –x + {\frac{3}{4}} + {\frac{3}{4}}x

l) {\frac{4}{5}} + 8x – {\frac{3}{4}} < –1,95

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle eine Ungleichung auf, für die Zahlen, die alle die Aussage erfüllen.

a) Wenn man von 50 eine Zahl subtrahiert, so erhält man mehr als 12.

b) Wenn man zu 15 eine Zahl addiert, so erhält man mehr als 35.

c) Wenn man zu 19 eine Zahl addiert, so erhält man weniger als 4.

d) Wenn man eine Zahl verdoppelt, so erhält man mehr als 34.

e) Wenn man von 8,6 die Hälfte von einer Zahl subtrahiert, erhält man weniger als 1,4.

f) Wenn man eine der Zahlen durch 3 dividiert, erhält man weniger als –5.

g) Wenn man vom 3-fachen einer Zahl 15 subtrahiert, erhält man eine negative Zahl.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge folgender Ungleichungen.

a) 9x + 0,6 – 12x > –3,8 + 5x – 5,2 – 20x

b) 15r + 4 – 0,7 > –9r – 0,2 + 17r

c) –7,4x + 2,9 + 1,8x > –5,7 – 7,4x + 2,9 + 1,8x – 1,9x

d) {\frac{3}{4}} + {\frac{1}{2}}x – {\frac{3}{5}} + {\frac{1}{3}}x – {\frac{3}{20}} + {\frac{1}{6}} < 0

 

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Ungleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Ungleichung nach der Variablen hin auf.

a) x + 50 > 3 Ι – 50 <=>

x > –47

b) x – 8,5 > 1,2 Ι + 8,5 <=>

x > 9,7

c) 8x > 4,8 Ι : 8 <=>

x > 0,6

d) 40x > –10 Ι : 10 <=>

x > –0,25

e) 7x < 2 Ι : 7 <=>

x < {\frac{2}{7}}

f) 0,4 x < 0 Ι : 0,4 <=>

x < 0

g) {\frac{1}{8}}x > 1,25 Ι : {\frac{1}{8}} <=>

x > 10

h) {\frac{3}{4}}x < –1 Ι : {\frac{3}{4}} <=>

x < -1{\frac{1}{3}}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Lösungsmenge der Ungleichung an.

a) 25x + 41 > 159 Ι – 50 <=>

25x > 109 Ι : 25 <=>

x > 4,36

L = {x | x > 4,36}

b) 22x + 1 < –3,4 Ι – 1 <=>

22x < –4,4 Ι : 22 <=>

x < 2,2

L = {x | x < 2,2}

c) 13x – 7 < 84 Ι + 7 <=>

13x < 91 Ι : 13 <=>

x < 7

L = {x | x < 7}

d) 16x – 1,7 > 4,7 Ι + 1,7 <=>

16x > 6,4 Ι : 16 <=>

x > 0,4

L = {x | x > 0,4}

e) 28x + 3 – 19x > 8,6 <=>

9x + 3 > 8,6 Ι – 3 <=>

9x > 5,6 Ι : 9 <=>

x > {\frac{28}{45}}

L = {x | x > {\frac{28}{45}}}

f) –12 + {\frac{1}{3}}x + 8 < 11 <=>

–4 + {\frac{1}{3}}x < 11 Ι + 4 <=>

{\frac{1}{3}}x < 11 Ι : {\frac{1}{3}} <=>

x < 33

L = {x | x < 33}

g) 2,3 + 1,4x < 9,3 Ι – 2,3 <=>

1,4x < 7 Ι : 1,4 <=>

x < 5

L = {x | x < 5}

h) {\frac{1}{8}}x – 0,2 > 7,45 Ι + 0,2 <=>

{\frac{1}{8}}x > 7,65 Ι : {\frac{1}{8}} <=>

x > 61,2

L = {x | x > 61,2}

i) {\frac{7}{6}} > {\frac{2}{3}} + 0,9x – {\frac{1}{2}} <=>

{\frac{7}{6}} > {\frac{1}{6}} + 0,9x Ι – {\frac{1}{6}} <=>

1 > 0,9x Ι : 0,9 <=>

1{\frac{1}{9}} > x

L = {x | x < 1{\frac{1}{9}}}

j) 0 < 0,6 + {\frac{2}{5}} + {\frac{1}{3}}x <=>

0 < 1 + {\frac{1}{3}}x Ι – 1 <=>

–1 < {\frac{1}{3}}x Ι : {\frac{1}{3}} <=>

–3 < x

L = {x | x > –3}

k) 1 > –x + {\frac{3}{4}} + {\frac{3}{4}}x <=>

1 > –{\frac{1}{4}}x + {\frac{3}{4}} Ι – {\frac{3}{4}} <=>

{\frac{1}{4}} > –{\frac{1}{4}}x Ι : (–{\frac{31}{4}}) <=>

1 < x

L = {x | x > 1}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei einer Division oder Multiplikation innerhalb einer Ungleichung dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Siehe hierzu auch unter Gleichungen/Ungleichungen 3. Das Umdrehen des Ungleichheitszeichens bei Ungleichungen.

l) {\frac{4}{5}} + 8x – {\frac{3}{4}} < –1,95 <=>

{\frac{1}{20}} + 8x < –1,95 Ι – {\frac{1}{20}} <=>

8x < –2 Ι : 8 <=>

x < –0,25

L = {x | x < –0,25}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle für die Aussage eine Ungleichung auf.

a) Wenn man von 50 eine Zahl subtrahiert, so erhält man mehr als 12.

50 – x > 12

Wenn man die Ungleichung auflöst, kommen folgende Zahlen infrage:

50 – x > 12 Ι – 50 <=>

– x > –38 Ι (–1) <=>

x < 38

L = {x | x < 38}

b) Wenn man zu 15 eine Zahl addiert, so erhält man mehr als 35.

15 + x > 35

Alle Zahlen die hier in Frage kommen sind:

15 + x > 35 Ι – 15 <=>

x > 20

L = {x | x > 20}

c) Wenn man zu 19 eine Zahl addiert, so erhält man weniger als 4.

19 + x < 4

Hier kommen all diejenigen Zahlen für die Ungleichung infrage:

19 + x < 4 Ι – 19 <=>

x < – 15

L = {x | x < –15}

d) Wenn man eine Zahl verdoppelt, so erhält man mehr als 34.

2 · x > 34

Nach Auflösen der Ungleichung ergeben sich hierfür folgende Zahlen.

2 · x > 34 Ι : 2 <=>

x > 17

L = {x | x > 17}

e) Wenn man von 8,6 die Hälfte von einer Zahl subtrahiert, erhält man weniger als 1,4.

8,6 – {\frac{x}{2}} < 1,4

Alle Zahlen, die hierfür infrage kommen, erhält man wiederum nach Auflösung der Ungleichung.

8,6 – {\frac{x}{2}} < 1,4 Ι – 8,6 <=>

{\frac{x}{2}} < –7,2 Ι · 2 <=>

–x < –14,4 Ι · (–1) <=>

x > 14,4

L = {x | x > 14,4}

f) Wenn man eine der Zahlen durch 3 dividiert, erhält man weniger als –5.

{\frac{x}{3}} < –5

Nach Auflösung der Ungleichung kommen hierfür folgende Zahlen infrage.

{\frac{x}{3}} < –5 Ι · (3) <=>

x < –15

L = {x | x < –15}

g) Wenn man vom 3-fachen einer Zahl 15 subtrahiert, erhält man eine negative Zahl.

3x – 15 < 0

Folgende Zahlen erfüllen diese Ungleichung:

3x – 15 < 0 Ι + 15 <=>

3x < 15 Ι : 3 <=>

x < 5

L = {x | x < 5}

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichung.

a) 9x + 0,6 – 12x > –3,8 + 5x – 5,2 – 20x <=>

–3x + 0,6 > –9 – 15x Ι + 15x <=>

12x + 0,6 > –9 Ι – 0,6 <=>

12x > –9,6 Ι : 12 <=>

x > –0,8

L = {x | x > –0,8}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Zusammenfassen von Termen siehe auch unter Gleichungen/Terme 4. Zusammen von gleichartigen Einzeltermen bei einem Term an.

b) 15r + 4 – 0,7 > –9r – 0,2 + 17r <=>

14,3r + 4 > 8r – 0,2 Ι – 8r <=>

6,3r + 4 > –0,2 Ι – 4 <=>

6,3r > –4,2 Ι : 6,3 <=>

r > –{\frac{2}{3}}

L = {r | r > –{\frac{2}{3}}}

c) –7,4x + 2,9 + 1,8x > –5,7 – 7,4x + 2,9 + 1,8x – 1,9x <=>

–5,6x + 2,9 > –2,8 –7,5x Ι + 7,5x <=>

1,9x + 2,9 > –2,8 Ι – 2,9 <=>

1,9x > –5,7 Ι : 1,9 <=>

x > –3

L = {x | x > –3}

d) {\frac{3}{4}} + {\frac{1}{2}}x – {\frac{3}{5}} + {\frac{1}{3}}x – {\frac{3}{20}} + {\frac{1}{6}} < 0 <=>

{\frac{1}{6}} + {\frac{5}{6}}x < 0 Ι –{\frac{1}{6}} <=>

{\frac{5}{6}}x < –{\frac{1}{6}} Ι :{\frac{5}{6}} <=>

x < < –{\frac{1}{5}}

L = {x | x < –{\frac{1}{5}} }

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