Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 3

Algebra in Mathe © Henry Klingberg PIXELIO www.pixelio.de

Liegt in Mathe eine quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vor, das heißt auf diese Art: x² + px + q, dann kann man sofort ohne Probleme deren Lösung(en) ermitteln. Hierfür gibt es ja extra die pq-Formel:

x1,2 = {\frac{p}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}.

Schließlich kann man bei der Normalform den p-Wert und den q-Wert der quadratischen Gleichung sofort ablesen, so dass man daher im Nu mittels der pq-Formel deren Lösung(en) berechnen kann. Jetzt gilt es die Werte nur noch richtig einzusetzen. Hier muss man aber immer darauf Acht geben, dass speziell sowohl bei einem negativen p-Wert als auch negativen q-Wert die Vorzeichenregel richtig angewendet wird. Konkret heißt das, dass „–“ und „–“ „+“ ergeben, wenn entweder beim Einsetzen in die pq-Formel der p-Wert oder der q-Wert negativ sind.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet quadratische Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme mittels pq-Formel die Lösung(en) der quadratischen Gleichung. Überprüfe anhand der Probe die Ergebnisse.

a) x² + 8x + 16 = 49

b) x² – 8x + 16 = 0

c) x² – 6x + 9 = 36

d) x² – x + 0,25 = 1,44

e) y² + 16y + 64 = 7

f) x² – 1,8x + 0,81 = 0,25

g) z² – 3z + 2,25 = 5

h) z² – 5z + 6,25 = 8

i) x² + 5x + {\frac{25}{4} = {\frac{81}{4}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei folgenden quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge.

a) 50x² – 18 = 0

b) 50 – 18x² = 0

c) 4x² – 1 = 0

d) 4x² – x = 0

e) z² – 4z = 0

f) z² – 4 = 0

g) y² + 0,9y = 0

h) y² – 0,09 = 0

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge.

a) x² + (8 – x)² = (8 – 2x)²

b) (x – 1)² = 5(x² – 1)

c) (2x – 5)² – (x – 6)² = 80

d) (x – 5) (x – 6) + (x – 4) (x – 7) = 10

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.

a) (x + 4) (x – 4) = 84

b) (x + 7) (x – 5) = 45

c) (x – 9) (x + 2) = –5,6x

d) (x – 3) (x – 4) = 1,4x

e) (3x – 2) (2x – 3) = 5(x² – 6)

f) (8 – 3y) (5y + 2) = 4y(11 – 4y)

 

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme mittels der pq-Formel die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung. Mache anschließend die Probe.

Die pq-Formel lautet: x1,2 = {\frac{p}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}

a) x² + 8x + 16 = 49 | – 49 <=>

x² + 8x – 33 = 0

Bevor man hier die pq-Formel anwenden kann, muss man die Gleichung noch dahingehend auflösen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht. Bei der Anwendung der pq-Formel muss man Acht geben dass „–“ „–33“ = „+33“ wird.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Umformen von Gleichungen siehe auch unter Gleichungen den Unterpunkt 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an

x1,2 = {\frac{8}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{8}{2})^2+33}}

x1,2 = – 4 ± \sqrt{\ (4)^2+33}}

x1,2 = – 4 ± \sqrt{\ 16+33}}

x1,2 = – 4 ± \sqrt{\ 49}}

x1,2 = – 4 ± 7

x1 = – 4 + 7 = 3

x2 = – 4 – 7 = –11

L = {–11; 3}

Probe : (–11)² + 8(–11) + 16 = 49 <=> 121 – 88 + 16 = 49 <=> 49 = 49

(3)² + 8(3) + 16 = 49 <=> 9 + 24 + 16 = 49 <=> 49 = 49

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Ergebnisse.

b) x² – 8x + 16 = 0

Hier muss man aufpassen, dass „–“ „–8“ = „8“ ergibt.

x1,2 = {\frac{8}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{8}{2})^2-16}}

x1,2 = 4 ± \sqrt{\ (4)^2-16}}

x1,2 = 4 ± \sqrt{\ 16-16}}

x1,2 = 4 ± \sqrt{\ 0}}

x1,2 = 4 ± 0

x1,2 = 4

L = {4}

Probe: (4)² – 8(4) + 16 = 0

16 – 32 + 16 = 0

0 = 0

c) x² – 6x + 9 = 36 | – 36 <=>

x² – 6x – 27 = 0

Hier muss man Acht geben, dass „–“ „–6“ = „6“ ergibt und „–“ „–27“ = „27“.

x1,2 = {\frac{6}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{6}{2})^2+27}}

x1,2 = 3 ± \sqrt{\ (3)^2+27}}

x1,2 = 3 ± \sqrt{\ (9+27}}

x1,2 = 3 ± \sqrt{\ (9+27}}

x1,2 = 3 ± \sqrt{\ (36}}

x1,2 = 3 ± 6

x1 = 3 + 6 = 9

x2 = 3 – 6 = –3

L = {–3; 9}

Probe: (–3)² – 6(–3) + 9 = 36

9 + 18 + + 9 = 36

36 = 36

(9)² – 6(9) + 9 = 36

81 – 54 + 9 = 36

36 = 36

d) x² – x + 0,25 = 1,44 | – 1,44 <=>

x² – x – 1,19 = 0

Hier muss man wiederum Acht geben, dass „–“ „–1“ = „1“ ergibt und „–“ „–1,19“ = „1,19“

x1,2 = {\frac{1}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{1}{2})^2+1,19}}

x1,2 = {\frac{1}{2} ± \sqrt{\ {\frac{1}{4}+1,19}}

x1,2 = 0,5 ± \sqrt{\ 1,44}}

x1,2 = 0,5 ± 1,2

x1 = 0,5 + 1,2 = 1,7

x2 = 0,5 – 1,2 = –0,7

L = {–0,7; 1,7}

Probe: (–0,7)² – (–0,7) + 0,25 = 1,44

0,49 + 0,7 + 0,25 = 1,44

1,44 = 1,44

(1,7)² – (1,7) + 0,25 = 1,44

2,89 – 1,7 + 0,25 = 1,44

1,44 = 1,44

e) y² + 16y + 64 = 7 | – 7 <=>

y² + 16y + 57

y1,2 = – {\frac{16}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{16}{2})^2-57}}

y1,2 = – 8 ± \sqrt{\ (8)^2-57}}

y1,2 = – 8 ± \sqrt{\ 64-57}}

y1,2 = – 8 ± \sqrt{\ 7}}

y1 = – 8 + \sqrt{\ 7}} = –5,35 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

y2 = – 8 – \sqrt{\ 7}} = –10,65 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

L = {–10,65; –5,35} bzw. L = {–8 – \sqrt{\ 7}}; –8 + \sqrt{\ 7}}}

Probe: (–8 – \sqrt{\ 7}})² + 16(–8 – \sqrt{\ 7}}) + 64 = 7

–57 + 64 = 7

7 = 7

(–8 + \sqrt{\ 7}})² + 16(–8 + \sqrt{\ 7}}) + 64 = 7

–57 + 64 = 7

7 = 7

f) x² – 1,8x + 0,81 = 0,25 | – 0,25 <=>

x² – 1,8x + 0,56 = 0

Hier muss man darauf aufpassen, dass „–“ „– 1,8“ = „+1,8“ ergibt.

x1,2 = {\frac{1,8}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{1,8}{2})^2-0,56}}

x1,2 = 0,9 ± \sqrt{\ (0,9)^2-0,56}}

x1,2 = 0,9 ± \sqrt{\ 0,81-0,56}}

x1,2 = 0,9 ± \sqrt{\ 0,25}}

x1,2 = 0,9 ± 0,5

x1 = 0,9 + 0,5 = 1,4

x2 = 0,9 – 0,5 = 0,4

L = {0,4; 1,4}

Probe: (0,4)² – 1,8(0,4) + 0,81 = 0,25

0,16 – 0,72 + 0,81 = 0,25

0,25 = 0,25

(1,4)² – 1,8(1,4) + 0,81 = 0,25

1,96 – 2,52 + 0,81 = 0,25

0,25 = 0,25

g) z² – 3z + 2,25 = 5 | – 5 <=>

z² – 3z – 2,75 = 0

Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–3“ = „3“ ergibt und „–“ „– 2,75“ = „+2,75“.

z1,2 = {\frac{3}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{3}{2})^2+2,75}}

z1,2 = 1,5 ± \sqrt{\ (1,5)^2+2,75}}

z1,2 = 1,5 ± \sqrt{\ 2,25+2,75}}

z1,2 = 1,5 ± \sqrt{\ 5}}

z1 = 1,5 + \sqrt{\ 5}} = 3,74 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

z2 = 1,5 – \sqrt{\ 5}} = –0,74 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

L = {–0,74; 3,74} bzw. L = {1,5 – \sqrt{\ 5}}; 1,5 + \sqrt{\ 5}}}

Probe: (1,5 – \sqrt{\ 5}})² – 3(1,5 – \sqrt{\ 5}}) + 2,25 = 5

2,75 + 2,25 = 5

5 = 5

(1,5 + \sqrt{\ 5}})² – 3(1,5 + \sqrt{\ 5}}) + 2,25 = 5

2,75 + 2,25 = 5

5 = 5

h) z² – 5z + 6,25 = 8 | – 5 <=>

z² – 5z – 1,75

Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–5“ = „+5“ und „–“ „–1,75“ = „+1,75“ ergibt.

z1,2 = {\frac{5}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{5}{2})^2+1,75}}

z1,2 = 2,5 ± \sqrt{\ (2,5)^2+1,75}}

z1,2 = 2,5 ± \sqrt{\ 6,25+1,75}}

z1,2 = 2,5 ± \sqrt{\ 8}}

z1 = 2,5 + \sqrt{\ 8}} = 5,33 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

z2 = 2,5 – \sqrt{\ 8}} = –0,33 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

L = {–0,33; 5,33} bzw. L = {2,5 – \sqrt{\ 8}}; 2,5 + \sqrt{\ 8}}}

Probe: (2,5 – \sqrt{\ 8}})² – 5(2,5 – \sqrt{\ 8}}) + 6,25 = 8

1,75 + 6,25 = 8

8 = 8

(2,5 + \sqrt{\ 8}})² – 5(2,5 + \sqrt{\ 8}}) + 6,25 = 8

1,75 + 6,25 = 8

8 = 8

i) x² + 5x + {\frac{25}{4} = {\frac{81}{4} | – {\frac{81}{4} <=>

x² + 5x – 14 = 0

Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–14“ = „+14“ ergibt.

x1,2 = {\frac{5}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{5}{2})^2+14}}

x1,2 = – 2,5 ± \sqrt{\ (2,5)^2+14}}

x1,2 = – 2,5 ± \sqrt{\ 6,25+14}}

x1,2 = – 2,5 ± \sqrt{\ 20,25}}

x1,2 = – 2,5 ± 4,5

x1 = –2,5 + 4,5 = 2

x2 = –2,5 – 4,5 = –7

L = {–7; 2}

Probe: (–7)² + 5(–7) + {\frac{25}{4} = {\frac{81}{4}

49 – 35 + {\frac{25}{4} = {\frac{81}{4}

{\frac{81}{4} = {\frac{81}{4}

(2)² + 5(2) + {\frac{25}{4} = {\frac{81}{4}

4 + 10 + {\frac{25}{4} = {\frac{81}{4}

{\frac{81}{4} = {\frac{81}{4}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme bei den quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge.

a) 50x² – 18 = 0

Fehlt bei einer quadratischen Gleichung das lineare Glied/“bx“, so kann man immer deren Lösung(en) mittels einfachen Äquivalenzumformungen bestimmen.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter Gleichungen/Quadratische Gleichungen den Punkt 2. Das rechnerische Lösungen von quadratischen Gleichungen an.

50x² – 18 = 0 | + 18 <=>

50x² = 18 | : 50 <=>

x² = 0,36 | \sqrt{\ }} <=>

x1,2 = ± \sqrt{\ 0,36}} <=>

x1,2 = ± 0,6 <=>

L = {–0,6; 0,6}

b) 50 – 18x² = 0 | + 18x² <=>

50 = 18x² | : 18 <=>

x² = {\frac{50}{18} | \sqrt{\ }} <=>

x1,2 = ± \sqrt{\ {\frac{50}{18}}} <=>

x1,2 = ± {\frac{5}{3}

L = {–{\frac{5}{3}; {\frac{5}{3}}

c) 4x² – 1 = 0 | + 1 <=>

4x² = 1 | : 4 <=>

x² = 0,25 | \sqrt{\ }} <=>

x1,2 = ± \sqrt{\ 0,25}} <=>

x1,2 = ± 0,5

L = {–0,5; 0,5}

d) 4x² – x = 0

Fehlt bei einer quadratischen Gleichung das absolute Glied/“c“, so kann man die Lösungen der quadratischen Gleichung immer mittels ausklammern/faktorisieren bestimmen.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Sieht hierzu auch unter Gleichungen das Unterstoffgebiet Quadratische Gleichungen und dort den Unterpunkt 2. Das rechnerische Lösungen von quadratischen Gleichungen an.

4x² – x = 0 <=>

x · (4x – 1) = 0

x1 = 0

4x – 1 = 0 | + 1 <=>

4x = 1 | : 4 <=>

x2 = 0,25

L = {0; 0,25}

e) z² – 4z = 0 <=>

z · (z – 4) = 0

z1 = 0

z – 4 = 0 | + 4 <=>

z = 4

z2 = 4

L = {0; 4}

f) z² – 4 = 0 | + 4 <=>

z² = 4 | \sqrt{\ }} <=>

z1,2 = ± \sqrt{\ 4}} <=>

z1,2 = ± 2

L = {–2; 2}

g) y² + 0,9y = 0 <=>

y · (y + 0,9) = 0

y1 = 0

y + 0,9 = 0 | – 0,9 <=>

y = –0,9

y2 = –0,9

L = {–0,9; 0}

h) y² – 0,09 = 0 | + 0,09 <=>

y² = 0,09 | \sqrt{\ }} <=>

y = ± 0,3

L = {–0,3; 0,3}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge.

a) x² + (8 – x)² = (8 – 2x)² <=>

x² + (8)² + 2 · 8 · (–x) + (–x)² = (8)² + 2 · 8 · (–2x) + (–2x)² <=>

x² + 64 – 16x + x² = 64 – 32x + 4x²

2x² + 64 – 16x = 64 – 32x + 4x² | – 64 <=>

2x² – 16x = – 32x + 4x² | – 2x² <=>

–16x = – 32x + 2x² | + 16x <=>

0 = –16x + 2x² | : 2 <=>

0 = –8x + x² <=>

x · (–8 + x) = 0

x1 = 0

–8 + x = 0 | + 8 <=>

x = 8

x2 = 8

L = {0; 8}

b) (x – 1)² = 5(x² – 1) <=>

(x)² + 2 · x · (–1) + (–1)² = 5x² + 5 · (–1)

x² –2x + 1 = 5x² – 5 | – x² <=>

–2x + 1 = 4x² – 5 | – 1 <=>

–2x = 4x² – 6 | + 2x <=>

0 = 4x² + 2x – 6 | : (4) <=>

0 = x² + 0,5x – 1,5

x1,2 = – {\frac{0,5}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{0,5}{2})^2+1,5}}

x1,2 = –0,25 ± \sqrt{\ (0,25)^2+1,5}}

x1,2 = –0,25 ± \sqrt{\ 0,0625+1,5}}

x1,2 = –0,25 ± \sqrt{\ 1,5625}}

x1,2 = –0,25 ± 1,25

x1 = –0,25 + 1,25 = 1

x2 = –0,25 – 1,25 = –1,5

L = {–1,5; 1}

c) (2x – 5)² – (x – 6)² = 80 <=>

(2x)² + 2 · 2x · (–5) + (–5)² – [(x)² + 2 · x · (–6) + (–6)²] = 80 <=>

4x² – 20x + 25 – (x² – 12x + 36) = 80 <=>

4x² – 20x + 25 – x² + 12x – 36 = 80 <=>

3x² – 8x – 11 = 80 | – 80 <=>

3x² – 8x – 91 | : 3 <=>

x² – {\frac{8}{3}{\frac{91}{3}

x1,2 = {\frac{4}{3} ± \sqrt{\ ({\frac{4}{3})^2+\ {\frac{91}{3}}}

x1,2 = {\frac{4}{3} ± \sqrt{\ {\frac{16}{9}+\ {\frac{91}{3}}}

x1,2 = {\frac{4}{3} ± \sqrt{\ {\frac{289}{9}}}

x1,2 = {\frac{4}{3} ± {\frac{17}{3}

x1 = {\frac{4}{3} + {\frac{17}{3} = 7

x2 = {\frac{4}{3}{\frac{17}{3} = –{\frac{13}{3}

L = {–{\frac{13}{3}; 7}

d) (x – 5) (x – 6) + (x – 4) (x – 7) = 10 <=>

x · x + x · (–6) + (–5) · x + (–5) · (–6) + x · x + x · (–7) + (–4) · x + (–4) · (–7) = 10 <=>

x² – 6x – 5x + 30 + x² – 7x – 4x + 28 = 10 <=>

2x² – 22x + 58 = 10 | – 10 <=>

2x² – 22x + 48 = 0 | : 2 <=>

x² – 11x + 24 = 0

x1,2 = {\frac{11}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{11}{2})^2-24}}

x1,2 = 5,5 ± \sqrt{\ 30,25-24}}

x1,2 = 5,5 ± \sqrt{\ 6,25}}

x1,2 = 5,5 ± 2,5

x1 = 5,5 + 2,5 = 8

x2 = 5,5 – 2,5 = 3

L = {3; 8}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.

a) (x + 4) (x – 4) = 84 <=>

x · x + 4 · (–4) = 84 <=>

x² – 16 = 84 | + 16 <=>

x² = 100 | \sqrt{\ }} <=>

x1,2 = ± \sqrt{\ 100}} <=>

x1,2 = ± 10 <=>

L = {–10; 10}

b) (x + 7) (x – 5) = 45 <=>

x · x + x · (–5) + 7 · x + 7 · (–5) = 45 <=>

x² – 5x + 7x – 35 = 45 <=>

x² + 2x – 35 = 45 | – 45 <=>

x² + 2x – 80 = 0

x1,2 = – {\frac{2}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{2}{2})^2+80}}

x1,2 = –1 ± \sqrt{\ 1+80}}

x1,2 = –1 ± \sqrt{\ 81}}

x1,2 = –1 ± 9

x1 = –1 + 9 = 8

x2 = –1 – 9 = –10

L = {–10; 8}

c) (x – 9) (x + 2) = –5,6x <=>

x · x + x · 2 + (–9) · x + (–9) · 2 = –5,6x <=>

x² + 2x – 9x – 18 = –5,6x <=>

x² – 7x – 18 = –5,6x | + 5,6x <=>

x² – 1,4x – 18 = 0

x1,2 = {\frac{1,4}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{1,4}{2})^2+18}}

x1,2 = 0,7 ± \sqrt{\ 0,49+18}}

x1,2 = 0,7 ± \sqrt{\ 18,49}}

x1 = 0,7 + 4,3 = 5

x2 = 0,7 – 4,3 = –3,6

L = {–3,6; 5}

d) (x – 3) (x – 4) = 1,4x <=>

x · x + x · (–4) + (–3) · x + (–3) · (–4) = 1,4x <=>

x² – 4x – 3x + 12 = 1,4x <=>

x² – 7x +12 = 1,4x | – 1,4x <=>

x² – 8,4x +12 = 0

x1,2 = {\frac{8,4}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{8,4}{2})^2-12}}

x1,2 = 4,2 ± \sqrt{\ 17,64-12}}

x1,2 = 4,2 ± \sqrt{\ 5,64}}

x1 = 4,2 + \sqrt{\ 5,64}}

x2 = 4,2 – \sqrt{\ 5,64}}

L = {4,2 – \sqrt{\ 5,64}}; 4,2 + \sqrt{\ 5,64}}}

e) (3x – 2) (2x – 3) = 5(x² – 6) <=>

3x · 2x + 3x · (–3) + (–2) · 2x + (–2) · (–3) = 5 · x² + 5 · (–6) <=>

6x² – 9x – 4x + 6 = 5x² – 30 <=>

6x² –13x + 6 = 5x² – 30 | – 5x² <=>

x² –13x + 6 = –30 | + 30 <=>

x² –13x + 36 = 0

x1,2 = {\frac{13}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{13}{2})^2-36}}

x1,2 = 6,5 ± \sqrt{\ 42,25-36}}

x1,2 = 6,5 ± \sqrt{\ 6,25}}

x1,2 = 6,5 ± 2,5

x1 = 6,5 + 2,5 = 9

x2 = 6,5 – 2,5 = 4

L = {4; 9}

f) (8 – 3y) (5y + 2) = 4y(11 – 4y) <=>

8 · 5y + 8 · 2 + (–3y) · 5y + (–3y) · 2 = 4y · 11 + 4y · (–4y) <=>

40y + 16 – 15y² – 6y = 44y – 16y² <=>

34y + 16 – 15y² = 44y – 16y² | + 16y² <=>

34y + 16 + y² = 44y | – 44y <=>

–10y + 16 + y² = 0

y1,2 = {\frac{10}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{10}{2})^2-16}}

y1,2 = 5 ± \sqrt{\ 25-16}}

y1,2 = 5 ± \sqrt{\ 9}}

y1,2 = 5 ± 3

y1 = 5 + 3 = 8

y2 = 5 – 3 = 2

L = {2; 8}

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