Liegt in Mathe eine quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vor, das heißt auf diese Art: x² + px + q, dann kann man sofort ohne Probleme deren Lösung(en) ermitteln. Hierfür gibt es ja extra die pq-Formel:
x1,2 =– [latexpage] ${\frac{p}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}$.
Schließlich kann man bei der Normalform den p-Wert und den q-Wert der quadratischen Gleichung sofort ablesen, so dass man daher im Nu mittels der pq-Formel deren Lösung(en) berechnen kann. Jetzt gilt es die Werte nur noch richtig einzusetzen. Hier muss man aber immer darauf Acht geben, dass speziell sowohl bei einem negativen p-Wert als auch negativen q-Wert die Vorzeichenregel richtig angewendet wird. Konkret heißt das, dass „–“ und „–“ „+“ ergeben, wenn entweder beim Einsetzen in die pq-Formel der p-Wert oder der q-Wert negativ sind.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet quadratische Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme mittels pq-Formel die Lösung(en) der quadratischen Gleichung. Überprüfe anhand der Probe die Ergebnisse.
a) x² + 8x + 16 = 49
b) x² – 8x + 16 = 0
c) x² – 6x + 9 = 36
d) x² – x + 0,25 = 1,44
e) y² + 16y + 64 = 7
f) x² – 1,8x + 0,81 = 0,25
g) z² – 3z + 2,25 = 5
h) z² – 5z + 6,25 = 8
i) x² + 5x + ${\frac{25}{4}$ = ${\frac{81}{4}$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei folgenden quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge.
a) 50x² – 18 = 0
b) 50 – 18x² = 0
c) 4x² – 1 = 0
d) 4x² – x = 0
e) z² – 4z = 0
f) z² – 4 = 0
g) y² + 0,9y = 0
h) y² – 0,09 = 0
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge.
a) x² + (8 – x)² = (8 – 2x)²
b) (x – 1)² = 5(x² – 1)
c) (2x – 5)² – (x – 6)² = 80
d) (x – 5) (x – 6) + (x – 4) (x – 7) = 10
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.
a) (x + 4) (x – 4) = 84
b) (x + 7) (x – 5) = 45
c) (x – 9) (x + 2) = –5,6x
d) (x – 3) (x – 4) = 1,4x
e) (3x – 2) (2x – 3) = 5(x² – 6)
f) (8 – 3y) (5y + 2) = 4y(11 – 4y)
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme mittels der pq-Formel die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung. Mache anschließend die Probe.
Die pq-Formel lautet: x1,2 =– [latexpage] ${\frac{p}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}$
a) x² + 8x + 16 = 49 | – 49 <=>
x² + 8x – 33 = 0
Bevor man hier die pq-Formel anwenden kann, muss man die Gleichung noch dahingehend auflösen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht. Bei der Anwendung der pq-Formel muss man Acht geben dass „–“ „–33“ = „+33“ wird.
x1,2 =– [latexpage] ${\frac{8}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{8}{2})^2+33}}$
x1,2 =– 4 ± [latexpage] $\sqrt{\ (4)^2+33}}$
x1,2 =– 4 ± [latexpage] $\sqrt{\ 16+33}}$
x1,2 =– 4 ± [latexpage] $\sqrt{\ 49}}$
x1,2 =– 4 ± 7
x1 = – 4 + 7 = 3
x2 = – 4 – 7 = –11
L = {–11; 3}
Probe : (–11)² + 8(–11) + 16 = 49 <=> 121 – 88 + 16 = 49 <=> 49 = 49
(3)² + 8(3) + 16 = 49 <=> 9 + 24 + 16 = 49 <=> 49 = 49
Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Ergebnisse.
b) x² – 8x + 16 = 0
Hier muss man aufpassen, dass „–“ „–8“ = „8“ ergibt.
x1,2 =[latexpage] ${\frac{8}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{8}{2})^2-16}}$
x1,2 =4 ± [latexpage] $\sqrt{\ (4)^2-16}}$
x1,2 =4 ± [latexpage] $\sqrt{\ 16-16}}$
x1,2 =4 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0}}$
x1,2 =4 ± 0
x1,2 =4
L = {4}
Probe: (4)² – 8(4) + 16 = 0
16 – 32 + 16 = 0
0 = 0
c) x² – 6x + 9 = 36 | – 36 <=>
x² – 6x – 27 = 0
Hier muss man Acht geben, dass „–“ „–6“ = „6“ ergibt und „–“ „–27“ = „27“.
x1,2 =[latexpage] ${\frac{6}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{6}{2})^2+27}}$
x1,2 =3 ± [latexpage] $\sqrt{\ (3)^2+27}}$
x1,2 =3 ± [latexpage] $\sqrt{\ (9+27}}$
x1,2 =3 ± [latexpage] $\sqrt{\ (9+27}}$
x1,2 =3 ± [latexpage] $\sqrt{\ (36}}$
x1,2 =3 ± 6
x1 = 3 + 6 = 9
x2 = 3 – 6 = –3
L = {–3; 9}
Probe: (–3)² – 6(–3) + 9 = 36
9 + 18 + + 9 = 36
36 = 36
(9)² – 6(9) + 9 = 36
81 – 54 + 9 = 36
36 = 36
d) x² – x + 0,25 = 1,44 | – 1,44 <=>
x² – x – 1,19 = 0
Hier muss man wiederum Acht geben, dass „–“ „–1“ = „1“ ergibt und „–“ „–1,19“ = „1,19“
x1,2 =[latexpage] ${\frac{1}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{1}{2})^2+1,19}}$
x1,2 =[latexpage] ${\frac{1}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ {\frac{1}{4}+1,19}}$
x1,2 =0,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 1,44}}$
x1,2 =0,5 ± 1,2
x1 = 0,5 + 1,2 = 1,7
x2 = 0,5 – 1,2 = –0,7
L = {–0,7; 1,7}
Probe: (–0,7)² – (–0,7) + 0,25 = 1,44
0,49 + 0,7 + 0,25 = 1,44
1,44 = 1,44
(1,7)² – (1,7) + 0,25 = 1,44
2,89 – 1,7 + 0,25 = 1,44
1,44 = 1,44
e) y² + 16y + 64 = 7 | – 7 <=>
y² + 16y + 57
y1,2 = – [latexpage] ${\frac{16}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{16}{2})^2-57}}$
y1,2 = – 8 ± [latexpage] $\sqrt{\ (8)^2-57}}$
y1,2 = – 8 ± [latexpage] $\sqrt{\ 64-57}}$
y1,2 = – 8 ± [latexpage] $\sqrt{\ 7}}$
y1 = – 8 + $\sqrt{\ 7}}$ = –5,35 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
y2 = – 8 – $\sqrt{\ 7}}$ = –10,65 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
L = {–10,65; –5,35} bzw. L = {–8 – $\sqrt{\ 7}}$; –8 + $\sqrt{\ 7}}$}
Probe: (–8 – $\sqrt{\ 7}}$)² + 16(–8 – $\sqrt{\ 7}}$) + 64 = 7
–57 + 64 = 7
7 = 7
(–8 + $\sqrt{\ 7}}$)² + 16(–8 + $\sqrt{\ 7}}$) + 64 = 7
–57 + 64 = 7
7 = 7
f) x² – 1,8x + 0,81 = 0,25 | – 0,25 <=>
x² – 1,8x + 0,56 = 0
Hier muss man darauf aufpassen, dass „–“ „– 1,8“ = „+1,8“ ergibt.
x1,2 =[latexpage] ${\frac{1,8}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{1,8}{2})^2-0,56}}$
x1,2 =0,9 ± [latexpage] $\sqrt{\ (0,9)^2-0,56}}$
x1,2 =0,9 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0,81-0,56}}$
x1,2 =0,9 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0,25}}$
x1,2 =0,9 ± 0,5
x1 = 0,9 + 0,5 = 1,4
x2 = 0,9 – 0,5 = 0,4
L = {0,4; 1,4}
Probe: (0,4)² – 1,8(0,4) + 0,81 = 0,25
0,16 – 0,72 + 0,81 = 0,25
0,25 = 0,25
(1,4)² – 1,8(1,4) + 0,81 = 0,25
1,96 – 2,52 + 0,81 = 0,25
0,25 = 0,25
g) z² – 3z + 2,25 = 5 | – 5 <=>
z² – 3z – 2,75 = 0
Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–3“ = „3“ ergibt und „–“ „– 2,75“ = „+2,75“.
z1,2 =[latexpage] ${\frac{3}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{3}{2})^2+2,75}}$
z1,2 =1,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ (1,5)^2+2,75}}$
z1,2 =1,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 2,25+2,75}}$
z1,2 =1,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 5}}$
z1 = 1,5 + $\sqrt{\ 5}}$ = 3,74 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
z2 = 1,5 – $\sqrt{\ 5}}$ = –0,74 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
L = {–0,74; 3,74} bzw. L = {1,5 – $\sqrt{\ 5}}$; 1,5 + $\sqrt{\ 5}}$}
Probe: (1,5 – $\sqrt{\ 5}}$)² – 3(1,5 – $\sqrt{\ 5}}$) + 2,25 = 5
2,75 + 2,25 = 5
5 = 5
(1,5 + $\sqrt{\ 5}}$)² – 3(1,5 + $\sqrt{\ 5}}$) + 2,25 = 5
2,75 + 2,25 = 5
5 = 5
h) z² – 5z + 6,25 = 8 | – 5 <=>
z² – 5z – 1,75
Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–5“ = „+5“ und „–“ „–1,75“ = „+1,75“ ergibt.
z1,2 =[latexpage] ${\frac{5}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{5}{2})^2+1,75}}$
z1,2 =2,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ (2,5)^2+1,75}}$
z1,2 =2,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 6,25+1,75}}$
z1,2 =2,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 8}}$
z1 = 2,5 + $\sqrt{\ 8}}$ = 5,33 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
z2 = 2,5 – $\sqrt{\ 8}}$ = –0,33 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
L = {–0,33; 5,33} bzw. L = {2,5 – $\sqrt{\ 8}}$; 2,5 + $\sqrt{\ 8}}$}
Probe: (2,5 – $\sqrt{\ 8}}$)² – 5(2,5 – $\sqrt{\ 8}}$) + 6,25 = 8
1,75 + 6,25 = 8
8 = 8
(2,5 + $\sqrt{\ 8}}$)² – 5(2,5 + $\sqrt{\ 8}}$) + 6,25 = 8
1,75 + 6,25 = 8
8 = 8
i) x² + 5x + ${\frac{25}{4}$ = ${\frac{81}{4}$ | – ${\frac{81}{4}$ <=>
x² + 5x – 14 = 0
Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–14“ = „+14“ ergibt.
x1,2 =– [latexpage] ${\frac{5}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{5}{2})^2+14}}$
x1,2 =– 2,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ (2,5)^2+14}}$
x1,2 =– 2,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 6,25+14}}$
x1,2 =– 2,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 20,25}}$
x1,2 =– 2,5 ± 4,5
x1 = –2,5 + 4,5 = 2
x2 = –2,5 – 4,5 = –7
L = {–7; 2}
Probe: (–7)² + 5(–7) + ${\frac{25}{4}$ = ${\frac{81}{4}$
49 – 35 + ${\frac{25}{4}$ = ${\frac{81}{4}$
${\frac{81}{4}$ = ${\frac{81}{4}$
(2)² + 5(2) + ${\frac{25}{4}$ = ${\frac{81}{4}$
4 + 10 + ${\frac{25}{4}$ = ${\frac{81}{4}$
${\frac{81}{4}$ = ${\frac{81}{4}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme bei den quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge.
a) 50x² – 18 = 0
Fehlt bei einer quadratischen Gleichung das lineare Glied/“bx“, so kann man immer deren Lösung(en) mittels einfachen Äquivalenzumformungen bestimmen.
50x² – 18 = 0 | + 18 <=>
50x² = 18 | : 50 <=>
x² = 0,36 | $\sqrt{\ }}$ <=>
x1,2 =± $\sqrt{\ 0,36}}$ <=>
x1,2 =± 0,6 <=>
L = {–0,6; 0,6}
b) 50 – 18x² = 0 | + 18x² <=>
50 = 18x² | : 18 <=>
x² = ${\frac{50}{18}$ | $\sqrt{\ }}$ <=>
x1,2 =± $\sqrt{\ {\frac{50}{18}}}$ <=>
x1,2 = ± ${\frac{5}{3}$
L = {–${\frac{5}{3}$; ${\frac{5}{3}$}
c) 4x² – 1 = 0 | + 1 <=>
4x² = 1 | : 4 <=>
x² = 0,25 | $\sqrt{\ }}$ <=>
x1,2 = ± $\sqrt{\ 0,25}}$ <=>
x1,2 = ± 0,5
L = {–0,5; 0,5}
d) 4x² – x = 0
Fehlt bei einer quadratischen Gleichung das absolute Glied/“c“, so kann man die Lösungen der quadratischen Gleichung immer mittels ausklammern/faktorisieren bestimmen.
4x² – x = 0 <=>
x · (4x – 1) = 0
x1 = 0
4x – 1 = 0 | + 1 <=>
4x = 1 | : 4 <=>
x2 = 0,25
L = {0; 0,25}
e) z² – 4z = 0 <=>
z · (z – 4) = 0
z1 = 0
z – 4 = 0 | + 4 <=>
z = 4
z2 = 4
L = {0; 4}
f) z² – 4 = 0 | + 4 <=>
z² = 4 | $\sqrt{\ }}$ <=>
z1,2 = ± $\sqrt{\ 4}}$ <=>
z1,2 = ± 2
L = {–2; 2}
g) y² + 0,9y = 0 <=>
y · (y + 0,9) = 0
y1 = 0
y + 0,9 = 0 | – 0,9 <=>
y = –0,9
y2 = –0,9
L = {–0,9; 0}
h) y² – 0,09 = 0 | + 0,09 <=>
y² = 0,09 | $\sqrt{\ }}$ <=>
y = ± 0,3
L = {–0,3; 0,3}
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge.
a) x² + (8 – x)² = (8 – 2x)² <=>
x² + (8)² + 2 · 8 · (–x) + (–x)² = (8)² + 2 · 8 · (–2x) + (–2x)² <=>
x² + 64 – 16x + x² = 64 – 32x + 4x²
2x² + 64 – 16x = 64 – 32x + 4x² | – 64 <=>
2x² – 16x = – 32x + 4x² | – 2x² <=>
–16x = – 32x + 2x² | + 16x <=>
0 = –16x + 2x² | : 2 <=>
0 = –8x + x² <=>
x · (–8 + x) = 0
x1 = 0
–8 + x = 0 | + 8 <=>
x = 8
x2 = 8
L = {0; 8}
b) (x – 1)² = 5(x² – 1) <=>
(x)² + 2 · x · (–1) + (–1)² = 5x² + 5 · (–1)
x² –2x + 1 = 5x² – 5 | – x² <=>
–2x + 1 = 4x² – 5 | – 1 <=>
–2x = 4x² – 6 | + 2x <=>
0 = 4x² + 2x – 6 | : (4) <=>
0 = x² + 0,5x – 1,5
x1,2 = – [latexpage] ${\frac{0,5}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{0,5}{2})^2+1,5}}$
x1,2 = –0,25 ± [latexpage] $\sqrt{\ (0,25)^2+1,5}}$
x1,2 = –0,25 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0,0625+1,5}}$
x1,2 = –0,25 ± [latexpage] $\sqrt{\ 1,5625}}$
x1,2 = –0,25 ± 1,25
x1 = –0,25 + 1,25 = 1
x2 = –0,25 – 1,25 = –1,5
L = {–1,5; 1}
c) (2x – 5)² – (x – 6)² = 80 <=>
(2x)² + 2 · 2x · (–5) + (–5)² – [(x)² + 2 · x · (–6) + (–6)²] = 80 <=>
4x² – 20x + 25 – (x² – 12x + 36) = 80 <=>
4x² – 20x + 25 – x² + 12x – 36 = 80 <=>
3x² – 8x – 11 = 80 | – 80 <=>
3x² – 8x – 91 | : 3 <=>
x² – ${\frac{8}{3}$ – ${\frac{91}{3}$
x1,2 = [latexpage] ${\frac{4}{3}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{4}{3})^2+\ {\frac{91}{3}}}$
x1,2 = ${\frac{4}{3}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ {\frac{16}{9}+\ {\frac{91}{3}}}$
x1,2 = ${\frac{4}{3}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ {\frac{289}{9}}}$
x1,2 = ${\frac{4}{3}$ ± ${\frac{17}{3}$
x1 = ${\frac{4}{3}$ + ${\frac{17}{3}$ = 7
x2 = ${\frac{4}{3}$ – ${\frac{17}{3}$ = –${\frac{13}{3}$
L = {–${\frac{13}{3}$; 7}
d) (x – 5) (x – 6) + (x – 4) (x – 7) = 10 <=>
x · x + x · (–6) + (–5) · x + (–5) · (–6) + x · x + x · (–7) + (–4) · x + (–4) · (–7) = 10 <=>
x² – 6x – 5x + 30 + x² – 7x – 4x + 28 = 10 <=>
2x² – 22x + 58 = 10 | – 10 <=>
2x² – 22x + 48 = 0 | : 2 <=>
x² – 11x + 24 = 0
x1,2 = [latexpage] ${\frac{11}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{11}{2})^2-24}}$
x1,2 = 5,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 30,25-24}}$
x1,2 = 5,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 6,25}}$
x1,2 = 5,5 ± 2,5
x1 = 5,5 + 2,5 = 8
x2 = 5,5 – 2,5 = 3
L = {3; 8}
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.
a) (x + 4) (x – 4) = 84 <=>
x · x + 4 · (–4) = 84 <=>
x² – 16 = 84 | + 16 <=>
x² = 100 | $\sqrt{\ }}$ <=>
x1,2 =± $\sqrt{\ 100}}$ <=>
x1,2 =± 10 <=>
L = {–10; 10}
b) (x + 7) (x – 5) = 45 <=>
x · x + x · (–5) + 7 · x + 7 · (–5) = 45 <=>
x² – 5x + 7x – 35 = 45 <=>
x² + 2x – 35 = 45 | – 45 <=>
x² + 2x – 80 = 0
x1,2 = – [latexpage] ${\frac{2}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{2}{2})^2+80}}$
x1,2 = –1 ± [latexpage] $\sqrt{\ 1+80}}$
x1,2 = –1 ± [latexpage] $\sqrt{\ 81}}$
x1,2 = –1 ± 9
x1 = –1 + 9 = 8
x2 = –1 – 9 = –10
L = {–10; 8}
c) (x – 9) (x + 2) = –5,6x <=>
x · x + x · 2 + (–9) · x + (–9) · 2 = –5,6x <=>
x² + 2x – 9x – 18 = –5,6x <=>
x² – 7x – 18 = –5,6x | + 5,6x <=>
x² – 1,4x – 18 = 0
x1,2 = [latexpage] ${\frac{1,4}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{1,4}{2})^2+18}}$
x1,2 = 0,7 ± [latexpage] $\sqrt{\ 0,49+18}}$
x1,2 = 0,7 ± [latexpage] $\sqrt{\ 18,49}}$
x1 = 0,7 + 4,3 = 5
x2 = 0,7 – 4,3 = –3,6
L = {–3,6; 5}
d) (x – 3) (x – 4) = 1,4x <=>
x · x + x · (–4) + (–3) · x + (–3) · (–4) = 1,4x <=>
x² – 4x – 3x + 12 = 1,4x <=>
x² – 7x +12 = 1,4x | – 1,4x <=>
x² – 8,4x +12 = 0
x1,2 = [latexpage] ${\frac{8,4}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{8,4}{2})^2-12}}$
x1,2 = 4,2 ± [latexpage] $\sqrt{\ 17,64-12}}$
x1,2 = 4,2 ± [latexpage] $\sqrt{\ 5,64}}$
x1 = 4,2 + $\sqrt{\ 5,64}}$
x2 = 4,2 – $\sqrt{\ 5,64}}$
L = {4,2 – $\sqrt{\ 5,64}}$; 4,2 + $\sqrt{\ 5,64}}$}
e) (3x – 2) (2x – 3) = 5(x² – 6) <=>
3x · 2x + 3x · (–3) + (–2) · 2x + (–2) · (–3) = 5 · x² + 5 · (–6) <=>
6x² – 9x – 4x + 6 = 5x² – 30 <=>
6x² –13x + 6 = 5x² – 30 | – 5x² <=>
x² –13x + 6 = –30 | + 30 <=>
x² –13x + 36 = 0
x1,2 = [latexpage] ${\frac{13}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{13}{2})^2-36}}$
x1,2 = 6,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 42,25-36}}$
x1,2 = 6,5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 6,25}}$
x1,2 = 6,5 ± 2,5
x1 = 6,5 + 2,5 = 9
x2 = 6,5 – 2,5 = 4
L = {4; 9}
f) (8 – 3y) (5y + 2) = 4y(11 – 4y) <=>
8 · 5y + 8 · 2 + (–3y) · 5y + (–3y) · 2 = 4y · 11 + 4y · (–4y) <=>
40y + 16 – 15y² – 6y = 44y – 16y² <=>
34y + 16 – 15y² = 44y – 16y² | + 16y² <=>
34y + 16 + y² = 44y | – 44y <=>
–10y + 16 + y² = 0
y1,2 = [latexpage] ${\frac{10}{2}$ ± [latexpage] $\sqrt{\ ({\frac{10}{2})^2-16}}$
y1,2 = 5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 25-16}}$
y1,2 = 5 ± [latexpage] $\sqrt{\ 9}}$
y1,2 = 5 ± 3
y1 = 5 + 3 = 8
y2 = 5 – 3 = 2
L = {2; 8}