Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 2

Ein ärmlich eingerichtetes Klassenzimmer in Brasilien © Gerhard Prantl PIXELIO www.pixelio.de

In der Realität wird man unentwegt mit Flächen konfrontiert. Schon alleine der Boden, auf dem man sich zuhause bewegt, stellt eine Fläche dar. Die Wände ebenso. Spätestens in der Schule bekommt man ein Flächen-Dé­jà-vu. Dort befindet man sich ja auch in Räumen und diese bestehen ja wie das eigene Zuhause aus Böden und Wänden. Jede ebene Abgrenzung besteht nämlich aus Flächen, die man auch – und nun kommt der Switch zu Mathe – natürlich berechnen kann. In der Mathematik nennt man eine zu berechnende Fläche Flächeninhalt. Die Berechnung des Flächeninhalts hängt hierbei maßgeblich davon ab, um welche Fläche es sich handelt. Mit der richtigen Formel, je nach Vieleck, sollte das aber in Mathe kein großes Problem darstellen, den Flächeninhalt zu berechnen. Genauso verhält es sich übrigens mit dem Umfang. Der Umfang ist ja bei der Fläche deren Begrenzung bzw. „der Weg, den man darum gehen kann“.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Flächeninhalt bei Vielecken

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne jeweils den Flächeninhalt A_R und dem Umfang U_R des Rechtecks mit den Seitenlängen a und b.

a) a = 4 cm, b = 6 cm

b) a = 7 cm, b = 3 cm

c) a = 3 dm, b = 2 dm

d) a = 5 m, b = 3 m

e) a = 30 cm, b = 7 dm

f) a = 50 dm, b = 4 m

g) 3 cm, b = 4,5 dm

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wandle in die Maßeinheit um, die in der Klammer steht.

a) 530 ha (a)

70 a (m^2)

6400 ha (km^2)

7500 m^2 (a)

b) 500 a (ha)

500 a (m^2)

700 ha (a)

700 ha (km^2)

c) 5 km^2 (m^2)

32 km^2 (a)

3400 m^2 (cm^2)

40000 m^2 (ha)

d) 35000 dm^2 (cm^2)

350000 dm^2 (mm^2)

35 mm^2 (cm^2)

350 mm^2 (dm^2)

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne folgende Parallelogramme ABCD und berechne anschließen deren Flächeninhalt.

a) a = 5 cm, b = 4 cm, α = 50°

b) a = 6 cm, d = 2,5 cm, α = 72°

c) a = 4,2 cm, b = 4,7 cm, β = 115°

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle jeweils die fehlende Größe des Dreiecks.

a) Seitenlänge g = 6 cm, Höhe h = 5 cm, Flächeninhalt A_D = ?

b) Seitenlänge g = 9 cm, Höhe h = ?, Flächeninhalt A_D = 54 cm^2

c) Seitenlänge g = 66 cm, Höhe h = ?, Flächeninhalt A_D = 11 cm^2

d) Seitenlänge g = ?, Höhe h = 6 cm, Flächeninhalt A_D = 36 cm^2

e) Seitenlänge g = 3,6 cm, Höhe h = 7,3 cm, Flächeninhalt A_D = ?

f) Seitenlänge g = ?, Höhe h = 6,5 m, Flächeninhalt A_D = 39 m^2

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Flächeninhalt von Vielecken

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei allen Rechtecken mit den Seitenlängen a unb b sowohl den Flächeninhalt A_R als auch den Umfang U_R

Bei einem Rechteck ermittelt man den Flächeninhalt folgendermaßen: A_R = a · b.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken siehe auch unter Geometrie/Flächeninhalt 3. Flächeninhalt bei einem Rechteck an.

Der Umfang bei einem Rechteck berechnet man derart: U_R = a + a + b + b = 2a + 2b

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Berechnung des Umfangs von Rechtecken siehe auch unter Geometrie das Unterkapitel Umfang und dort 3.2 Der Umfang bei einem Rechteck an.

a) a = 4 cm, b = 6 cm

A_R = a · b = 4 cm · 6 cm = 24 cm^2

U_R = 2a + 2b = 2 · 4 cm + 2 · 6 cm = 8 cm + 12 cm = 20 cm

b) a = 7 cm, b = 3 cm

A_R = a · b = 7 cm · 3 cm = 21 cm^2

U_R = 2a + 2b = 2 · 7 cm + 2 · 3 cm = 14 cm + 6 cm = 20 cm

c) a = 3 dm, b = 2 dm

A_R = a · b = 3 dm · 2 dm = 6 dm^2

U_R = 2a + 2b = 2 · 3 dm + 2 · 2 dm = 6 dm + 4 dm = 10 dm

d) a = 5 m, b = 3 m

A_R = a · b = 5 m · 3 m = 15 dm^2

U_R = 2a + 2b = 2 · 5 m + 2 · 3 m = 10 m + 6 m = 16 m

e) a = 30 cm, b = 7 dm

Bevor man hier den Flächeninhalt und den Umfang ausrechnen kann, muss man eine der beiden Längenangaben auf die andere hin anpassen. Entweder man rechnet cm in dm um oder dm in cm.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Umrechnen von Längenangaben siehe auch unter Größen das Unterkapitel Umrechnen von Größen an.

30 cm (geteilt durch 10) = 3 dm, 7 dm (mal 10) = 70 cm

A_R = a · b = 3 dm · 7 dm = 21 dm^2

U_R = 2a + 2b = 2 · 3 m + 2 · 7 m = 6 dm + 14 dm = 20 dm

f) a = 50 dm, b = 4 m

50 dm (geteilt durch 10) = 5 m, 4 m (mal 10) = 40 dm

A_R = a · b = 5 m · 4 dm = 20 m^2

U_R = 2a + 2b = 2 · 5 m + 2 · 4 m = 10 m + 8 m = 18 m

g) 3 cm, b = 4,5 dm

3 cm (geteilt durch 10) = 0,3 dm, 4,5 dm (mal 10) = 45 cm

A_R = a · b = 3 cm · 45 cm = 135 cm^2

U_R = 2a + 2b = 2 · 3 cm + 2 · 45 cm = 6 cm + 90 cm = 96 cm

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die Maßeinheit in der Klammer.

Beim Flächeninhalt kommen auch viele verschiedene Größen dran, die man oftmals umrechnen muss. Daher sollte man das Umrechnen von Flächeneinheiten auch gut beherrschen.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Umrechnen von Flächeneinheiten siehe auch unter Größen das Umrechnen von Größen an.

a) 530 ha (a)

Hektar ist die nächst größere Flächeneinheit zu Ar. Daher muss man hier mal 100 nehmen.

530 ha · 100 = 53000 a

a) 70 a (m^2)

Ar ist die nächst größere Flächeneinheit zu Quadratmeter. Deshalb muss man hier mal 100 nehmen.

70 a · 100 = 7000 m^2

a) 6400 ha (km^2)

Hektar ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Quadratkilometer. Daher muss man hier geteilt durch 100 machen.

6400 ha : 100 = 64 km^2

a) 7500 m^2 (a)

Quadratmeter ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Ar. Deshalb muss man hier geteilt durch 100 machen.

7500 m^2 : 100 = 75 a

b) 500 a (ha)

Ar ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Hektar. Deshalb muss man hier geteilt durch 100 machen.

500 a : 100 = 5 ha

b) 500 a (m^2)

Ar ist die nächst größere Flächeneinheit zu Quadratmeter. Deshalb muss man hier geteilt durch 100 machen.

500 a : 100 = 5 m^2

b) 700 ha (a)

Hektar ist die nächst größere Flächeneinheit zu Ar. Daher muss man hier mit 100 malnehmen.

700 ha · 100 = 70000 a

b) 700 ha (km^2)

Hektar ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Quadratkilometer. Daher muss man hier durch 100 teilen.

700 : 100 = 7 km^2

c) 5 km^2 (m^2)

Von Quadratkilometer über Hektar, Ar kommt man zu Quadratmeter. Daher muss man hier mal 100, mal 100, mal 100 nehmen.

5 km · 100 · 100 · 100 = 5000000 m^2

c) 32 km^2 (a)

Von Quadratkilometer über Hektar kommt man zu Ar. Daher muss man hier mal 100, mal 100 nehmen.

32 km^2 · 100 · 100 = 320000 a

c) 3400 m^2 (cm^2)

Von Quadratmeter über Quadratdezimeter kommt man zu Quadratzentimeter. Daher muss man hier mal 100, mal 100 nehmen.

3400 m^2 · 100 · 100 = 34000000 cm^2

c) 40000 m^2 (ha)

Von Quadratmeter über Ar kommt man zu Hektar. Deshalb muss man hier mal 100, mal 100 nehmen.

40000 m · 100 · 100 = 400000000 ha

d) 35000 dm^2 (cm^2)

Von Quadratdezimeter hin zu Quadratzentimeter muss man mal 100 machen. Denn Quadratzentimeter ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Quadratdezimeter.

35000 dm^2 · 100 = 3500000 cm^2

d) 350000 dm^2 (mm^2)

Von Quadratdezimeter über Quadratzentimeter gelangt man zu Quadratmillimeter. Daher muss man hier mal 100, mal 100 nehmen.

350000 dm^2 · 100 · 100 = 3500000000 mm^2

d) 35 mm^2 (cm^2)

Quadratzentimeter ist die nächst größere Flächeneinheit zu Quadratmillimeter. Deshalb muss man hier geteilt durch 100 machen.

35 mm^2 : 100 = 0,35 cm^2

d) 350 mm^2 (dm^2)

Von Quadratmillimeter über Quadratzentimeter kommt man zu Quadratdezimeter. Daher muss man hier geteilt durch 100, geteilt durch 100 machen.

350 mm^2 : 100 = 3,5 cm^2 : 100 = 0,035 dm^2

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne das Parallelogramm ABCD und berechne seinen Flächeninhalt.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Berechnung der Flächeninhalts bei einem Parallelogramm siehe auch unter Geometrie/Flächeninhalt 5. Flächeninhalt bei einem Parallelogramm an.

a) a = 5 cm, b = 4 cm, α = 50°

Parallelogramm, Aufgabe a)

A_P = g · h

g = a = 5 cm, h (gemessen) = 3,1 cm

A_P = 5 cm · 3,1 cm = 15,5 cm^2

b) a = 6 cm, d = 2,5 cm, α = 72°

Parallelogramm, Aufgabe b)

A_P = g · h

g = a = 6 cm, h (gemessen) = 2,4 cm

A_P = 6 cm · 2,4 cm = 14,4 cm^2

c) a = 4,2 cm, b = 4,7 cm, β = 115°

Parallelogramm, Aufgabe c)

A_P = g · h

g = a = 4,2 cm, h (gemessen) = 4,3 cm

A_P = 4,2 cm · 4,3 cm = 18,06 cm^2

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme bei dem Dreieck die fehlende Größe.

a) Seitenlänge g = 6 cm, Höhe h = 5 cm, Flächeninhalt A_D = ?

Flächeninhalt A_D = \frac{g\ {\cdot}\ h}{2} = \frac{6~cm\ {\cdot}\ 5~cm}{2} = 15 cm^2

b) Seitenlänge g = 9 cm, Höhe h = ?, Flächeninhalt A_D = 54 cm^2

Hier muss man die Flächeninhaltsformel nach der Höhe h hin auflösen. Das geht mittels Äquivalenzumforumgen, da ja diese Formel nichts anderes als eine Gleichung ist.

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Auflösen einer Gleichung mittels Äquivalenzumformungen siehe auch unter Gleichungen 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an.

A_D = \frac{g\ {\cdot}\ h}{2} | · 2 <=>

2 · A_D = g · h | : g <=>

\frac{2\ {\cdot}\ A_D}{g} = h <=>

h = \frac{2\ {\cdot}\ A_D}{g}

h = \frac{2\ {\cdot}\ 54~cm^2}{9~cm}

c) Seitenlänge g = 66 cm, Höhe h = ?, Flächeninhalt A_D = 11 cm^2

h = \frac{2\ {\cdot}\ A_D}{g}

h = \frac{2\ {\cdot}\ 11~cm^2}{66~cm}

h = \frac{1}{3} cm

d) Seitenlänge g = ?, Höhe h = 6 cm, Flächeninhalt A_D = 36 cm^2

A_D = \frac{g\ {\cdot}\ h}{2} | · 2 <=>

2 · A_D = g · h | : h <=>

\frac{2\ {\cdot}\ A_D}{h} = g <=>

g = \frac{2\ {\cdot}\ A_D}{h}

g = \frac{2\ {\cdot}\ 36~cm^2}{6~cm}

g = 12 cm

e) Seitenlänge g = 3,6 cm, Höhe h = 7,3 cm, Flächeninhalt A_D = ?

A_D = \frac{g\ {\cdot}\ h}{2} = \frac{3,6~cm\ {\cdot}\ 7,3~cm}{2} = 13,14 cm^2

f) Seitenlänge g = ?, Höhe h = 6,5 m, Flächeninhalt A_D = 39 m^2

g = \frac{2\ {\cdot}\ A_D}{h} = \frac{2\ {\cdot}\ 39~m^2}{6,5~m} = 12 m

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