Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 1

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In Mathematik kann eine Gleichung nicht nur für sich alleine betrachtet werden. Zwei lineare Gleichungen können beispielsweise als eine Einheit angesehen werden – und mittels eines rechnerischen Lösungsverfahren wie das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren gelöst werden. Was für einen Mehrwert hat das aber bzw. was soll das? Die Sinnfrage ist ja gerade in Mathe bei Schülerinnen und Schülern stets gegenwärtig. Jedes Mathematik-Stoffgebiet hat seinen Sinn – das ist das eine! Schließlich wird hierdurch etwas gelernt, was förderlich für die Hirnleistung ist! Das andere ist: Betrachtet man zwei lineare Gleichungen als eine Einheit, so kann man die jeweilige Beziehung der Gleichungen bzw. der linearen Funktionen zueinander bestimmen. Beziehung heißt hier: Schneiden sich die linearen Funktion, verlaufen sie parallel oder sind sie gar identisch.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Lineare Gleichungssysteme

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mittels des Gleichsetzungverfahrens. Überprüfe die Lösung auch zeichnerisch. Mache anschließend auch noch die Probe.

a) I. x = 5y + 22

II. x = 3y + 14

b) I. y = 3x – 14

II. y = 2x – 11

c) I. y = x – 2

II. y = 4x + 13

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge. Wende hierfür das Einsetzungsverfahren an.

a) I. 6x + 2y = 11

II: y = 2x – 2

b) I. x = –5y

II: 3x – 5y = 20

c) I. y = 3x – 11

II. 9x – y = 41

d) I. y = 3,5x + 4

II. 11x – 3y = –7

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die linearen Gleichungssysteme mittels des Additionsverfahrens.

a) I. 2x + 3y = –5

II. x – 5y = 17

b) I. 3x + 5y = 11

II. –x + 7y = 5

c) I. 4x + 3y = –5

II. –x + 6y = 8

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe:Die Quersumme einer zweiziffrigen Zahl ist 7. Durch ein Vertauschen der beiden Ziffern ist die Zahl um 27 kleiner als die andere. Wie lautet die Zahl? Berechne die Lösung mittels eines linearen Gleichungssystems.

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet lineare Gleichungssysteme

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das lineare Gleichungssystem mittels des Gleichsetzungsverfahren. Überprüfe das Ergebnis auch zeichnerisch. Mache anschließend noch die Probe.

a) I. x = 5y + 22

II. x = 3y + 14

I. = II. 5y + 22 = 3y + 14 | – 3y <=>

I. = II. 2y + 22 = 14 | – 22 <=>

I. = II. 2y = –8 | : 2 <=>

I. = II. y = –4

I. x = 5 · (–4) + 22

I. x = –20 + 22

I. x = 2

L = {(2/–4)}

Um die beiden Gleichungen gut in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können, muss man die beiden Gleichungen jeweils nach y hin umformen.

I. x = 5y + 22 | – 22 <=>

I. x – 22 = 5y | : 5 <=>

I. {\frac{1}{5}x – 4,4 = y

II. x = 3y + 14 | – 14 <=>

II. x – 14 = 3y | : 3 <=>

II. {\frac{1}{3}x – {\frac{14}{3} = y

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems aus Aufgabe a)

Der Schnittpunkt liegt hier bei S (2/–4) und bestätigt somit die Lösung L = {(2/–4)}.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur grafischen Lösung eines linearen Gleichungssystems, das genau eine Lösung hat, siehe auch unter Gleichungen/Lineare Gleichungssysteme 5.1 Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer Lösung an.

Probe: I. 2 = 5 · (–4) + 22 <=>

I. 2 = –20 + 22 <=>

I. 2 = 2

II. 2 = 3 · (–4) + 14 <=>

II. 2 = –12 + 14

II. 2 = 2

Auch die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung, die durch das Gleichsetzungsverfahren erzielt wurde.

 

b) I. y = 3x – 14

II. y = 2x – 11

I. = II. 3x – 14 = 2x – 11 | – 2x <=>

I. = II. x – 14 = – 11 | + 14 <=>

I. = II. x = 3

I. y = 3 · (3) – 14

I. y = 9 – 14

I. y = – 5

L = {(3/–5)}

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems aus Aufgabe b)

Der Schnittpunkt des linearen Gleichungssystems liegt hier bei S ((3/–5). Auch hier bestätigt der Schnittpunkt die Lösung L = {(3/–5)}.

Probe: I. –5 = 3 · (3) – 14

I. –5 = 9 – 14

I. –5 = –5

II. –5 = 2 · (3) – 11

II. –5 = 6 – 11

II. –5 = –5

Die Probe bestätigt ebenfalls die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

c) I. y = x – 2

II. y = 4x + 13

I. = II. x – 2 = 4x +13 | – x <=>

I. = II. –2 = 3x + 13 | – 13 <=>

I. = II. –15 = 3x | : 3 <=>

I. = II. –5 = x

I. y = –5 – 2

I. y = –7

L = {(–5/–7)}

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems aus Aufgabe c)

Die grafische Lösung ergibt den Schnittpunkt S (–5/–7) und bestätigt somit die Lösung L = {(–5/–7)}.

Probe: I. –7 = –5 – 2

I. –7 = –7

II. –7 = 4 · (–5) + 13

II. –7 = –20 + 13

II. –7 = –7

Die Probe bestätigt ebenfalls die Richtigkeit der Lösung.

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle mittels des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge.

a) I. 6x + 2y = 11

II: y = 2x – 2

II. in I. 6x + 2 · (2x – 2) = 11

II. in I. 6x + 4x – 4 = 11 <=>

II. in I. 10x – 4 = 11 | + 5 <=>

II. in I. 10x = 15 | : 10 <=>

II. in I. x = 1,5

II: y = 2 · (1,5) – 2

II. y = 3 – 2

II. y = 1

L = {(1,5/1)}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Anwendung des Einsetzungsverfahrens siehe auch unter Gleichungen/Lineare Gleichungssysteme 3. Das Einsetzungsverfahren an.

 

b) I. x = –5y

II: 3x – 5y = 20

I. in II. 3 (–5y) – 5y = 20

I. in II. –15y – 5y = 20 <=>

I. in II. –20y = 20 | : (–20) <=>

I. in II y = –1

I. x = –5 · (–1)

I. x = 5

L = {(5/–1)}

 

c) I. y = 3x – 11

II. 9x – y = 41

I. in II. 9x – (3x – 11) = 41

I. in II. 9x – 3x + 11 = 41 <=>

I. in II. 6x + 11 = 41 | – 11 <=>

I. in II. 6x = 30 | : 6 <=>

I. in II. x = 5

I. y = 3 · (5) – 11

I. y = 15 – 11

I. y = 4

L = {(5/4)}

 

d) I. y = 3,5x + 4

II. 11x – 3y = –7

I. in II. 11x – 3 · (3,5x + 4) = –7

I. in II. 11x – 10,5x – 12 = –7 <=>

I. in II. 0,5x – 12 = –7 | + 12 <=>

I. in II. 0,5x = 5 | : 0,5 <=>

I. in II x = 10

I. y = 3,5 · (10) + 4

I. y = 35 + 4

I. y = 39

L = {(10/39)}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimmte mittels des Additionsverfahrens die Lösung der linearen Gleichungssystems.

a) I. 2x + 3y = –5

II. x – 5y = 17 | · (–2) <=>

II. –2x + 10y = –34

I. + II. 2x – 2x + 3y +10y = –5 – 34 <=>

I. + II. 13y = –39 | · (13) <=>

I. + II. y = –3

I. 2x + 3 · (–3) = –5 <=>

I. 2x – 9 = –5 | + 9

I. 2x = 4 | : 2

I. x = 2

L = {(2/–3)}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Lösen von linearen Gleichungssystemen mittels Additionsverfahren siehe auch unter Gleichungen/Lineare Gleichungssysteme 4. Das Additionsverfahren an.

 

b) I. 3x + 5y = 11

II. –x + 7y = 5 | · 3 <=>

II. –3x + 21y = 15

I. + II. 3x –3x + 5y + 21y = 11 + 15 <=>

I. + II. 26y = 26 | : 26 <=>

I. + II. y = 1

II. –x + 7 · (1) = 5 <=>

II. –x + 7 = 5 | – 7 <=>

II. –x = –2 | · (–1) <=>

II. x = 2

L = {(2/1)}

 

c) I. 4x + 3y = –5

II. –x + 6y = 8 | · 4 <=>

II. –4x + 24y = 32

I. + II. 4x –4x + 3y + 24y = –5 + 32

I. + II 27y = 27 | : 27 <=>

I. + II y = 1

II. –x + 6 · (1) = 8 <=>

II. –x + 6 = 8 | – 6 <=>

II. –x = 2 | · (–1) <=>

II. x = –2

L = {(–2/1)}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bei einer zweiziffrigen Zahl ergibt die Quersumme 7. Vertauscht man die beiden Ziffern so ist die Zahl um 27 kleiner als die andere. Ermittle mittels eines linearen Gleichungssystems die gesuchte Zahl.

Zuerst muss man für jede Angabe aus der Textausgabe eine sinnvolle Gleichung aufstellen. Die erste Gleichung ist recht einfach aufzustellen. Die Quersumme besteht ja aus zwei Zahlen, hierbei ist die eine Zahl x und die andere Zahl y. Die Addition von x + y ergibt nun die Zahl 7. Folglich ist die erste Gleichung des linearen Gleichungssystems:

I. x + y = 7

Die zweite Gleichung des linearen Gleichungssystems ist etwas Schwieriger aufzustellen. Der Schlüssel zum Aufstellen der Gleichung ist, dass man sich vor Augen führen muss, wie mit zwei Variablen eine zweiziffrige Zahl erzeugt werden kann. Das geht nämlich nur, wenn vor einer Variablen der Faktor 10 steht. Das war´s fast schon. Nun muss man nur auf der anderen Seite der Gleichung die Variablen vertauchen und das Minus 27 als Subtraktion hinzufügen – das aber links der Gleichung. Zieht man ja bei dem Wert des linken Terms die Zahl 27 ab, so erhält man den Wert des rechten Terms. Demzufolge ergibt sich folgende zweite Gleichung des linearen Gleichungssystems.

II. 10x + y – 27 = x + 10y

Das lineare Gleichungssystems ist daher:

I. x + y = 7

II. 10x + y – 27 = x + 10y | – x <=>

II. 9x + y – 27 = 10y | – 10y <=>

II. 9x – 9y – 27 = 0

Das lineare Gleichungssystem kann man nun mit allen drei rechnerischen Lösungsverfahren lösen. Hier wird das LGS mit dem Einsetzungsverfahren gelöst.

I. x + y = 7 | – y <=>

I. x = –y + 7

I. in II. 9 · (–y + 7) – 9y – 27 = 0 <=>

I. in II. –9y + 63 – 9y – 27 = 0 <=>

I. in II. –18y + 36 = 0 | + 18y <=>

I. in II. 36 = 18y | : 18 <=>

I. in II. 2 = y

I. x + 2 = 7 | – 2 <=>

I. x = 5

L = {(5/2)}

Die gesuchte Zahl ist 52.

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