Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Logarithmen, Teil 1

Ein Rechenschieber zur Bestimmung von Logarithmen © Klicker PIXELIO www.pixelio.de

Zu jeder Rechenoperation gibt es in der Mathematik eine Gegenrechenoperation: Zum Addieren das Subtrahieren, zum Multiplizieren das Dividieren und zum Potenzieren – das Logarithmieren. In Mathe Logarithmen verstehen, geht demzufolge über das Verstandenhaben von Potenzen. Das sollte doch machbar sein! Entscheidend beim Logarithmus ist, dass man sich dieses Wechselverhältnis zu der Potenz immer vor Augen führt: log_b y = x entspricht: b^x = y. Dadurch kann man jeden Logarithmus zu einer Potenz hin umwandeln – und das Ergebnis ermitteln. Ganz am Anfang „fühlen“ sich Logarithmen irgendwie „fremd“ an. Das liegt einfach an der ungewohnten Schreibweise. Je häufiger man diese aber in Potenzen umwandelt, desto „normaler“ fühlen diese sich aber an.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Logarithmen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung für x.

a) 2^x = 32

3^x = 81

5^x = 1

b) 2^x = {\frac{1}{8}}

3^x = {\frac{1}{9}}

5^x = {\frac{1}{125}}

c) 2^x = \sqrt[3]{8}

3^x = \sqrt[3]{9}

5^x = \sqrt[5]{25}

d) 3^x = {\frac{1}{\sqrt[3]{9}}}

4^x = {\frac{1}{\sqrt[5]{64}}}

2^x = {\frac{1}{\sqrt[3]{16}}}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.

a) log_2 1

log_2 1024

log_2 {\frac{1}{16}}

log_2 \sqrt{2}

b) log_3 243

log_3 1

log_3 {\frac{1}{9}}

log_3 \sqrt{3}

c) log_4 1

log_4 16

log_4 0,25

log_4 2

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zwischen welchen ganzen Zahlen der Logarithmus sich befindet.

a) log_3 2

b) log_2 3

c) log_2 5

d) log_5 36

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme das Ergebnis des Logarithmus.

a) log_b b

b) log_2 2^m

c) log_b 1

d) log_3 \sqrt[n]{3}

e) log_b ({\frac{1}{b}})

 

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Logarithmen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösung für x.

a) 2^x = 32

2^5 = 32; denn: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

 

3^x = 81

3^4 = 81; denn: 3 · 3 · 3 · 3 = 81

 

5^x = 1

5^0 = 1; das ist eine Besonderheit bei einer Potenz

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Potenzen 1. Bestandteile und Besonderheiten einer Potenz an.

 

b) 2^x = {\frac{1}{8}}

2^-^3 = {\frac{1}{8}}; denn: {\frac{1}{2}} · {\frac{1}{2}} · {\frac{1}{2}} = {\frac{1}{8}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Wurzeln 3. Die Erweiterung des Potenzbegriffs: auf gebrochen rationale Exponenten an.

 

3^x = {\frac{1}{9}}

3^-^2 = {\frac{1}{9}}; denn: {\frac{1}{3}} · {\frac{1}{3}} = {\frac{1}{9}}

 

5^x = {\frac{1}{125}}

5^-^3 = {\frac{1}{125}}; denn: {\frac{1}{5}} · {\frac{1}{5}} · {\frac{1}{5}}= {\frac{1}{125}}

 

c) 2^x = \sqrt[3]{8}

2^{\frac{3}{3}} = \sqrt[3]{8}; denn: \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}

 

3^x = \sqrt[3]{9}

3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{9}; denn: \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}

 

5^x = \sqrt[5]{25}

5^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{25}; denn: \sqrt[5]{5^2} = \sqrt[5]{25}

 

d) 3^x = {\frac{1}{\sqrt[3]{9}}}

3^-^{\frac{2}{3}} = {\frac{1}{\sqrt[3]{9}}}; denn: 3^{\frac{-2}{3}} = \sqrt[3]{3^-^2} = \sqrt[3]{\frac{1}{3^2}} = {\frac{1}{\sqrt[3]{9}}}

4^x = {\frac{1}{\sqrt[5]{64}}}

4^-^{\frac{3}{5}} = {\frac{1}{\sqrt[5]{64}}}; denn: 4^{\frac{-3}{5}} = \sqrt[5]{4^-^3} = \sqrt[5]{\frac{1}{4^3}} = {\frac{1}{\sqrt[5]{64}}}

 

2^x = {\frac{1}{\sqrt[3]{16}}}

2^-^{\frac{4}{3}} = {\frac{1}{\sqrt[3]{16}}}; denn: 2^{\frac{-4}{3}} = \sqrt[3]{2^-^4} = \sqrt[3]{\frac{1}{2^4}} = {\frac{1}{\sqrt[3]{16}}}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.

a) log_2 1

log_2 1 entspricht: 2^x = 1; Lösung: 2^0 = 1; x = 0

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Logarithmen 1. Bestandteile und Besonderheiten eines Logarithmus an.

 

log_2 1024

log_2 1024 entspricht: 2^x = 1024; Lösung: 2^1^0 = 1024; x = 10

 

log_2 {\frac{1}{16}}

log_2 {\frac{1}{16}} entspricht: 2^x = {\frac{1}{16}}; Lösung: 2^-^4 = {\frac{1}{2^4}} = {\frac{1}{16}}; x = –4

 

log_2 \sqrt{2}

log_2 \sqrt{2} entspricht: 2^x = \sqrt{2}; Lösung: 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{2^1} = \sqrt{2}; x = {\frac{1}{2}}

 

b) log_3 243

log_3 243 entspricht: 3^x = 243; Lösung: 3^5 = 243; x = 5

 

log_3 1

log_3 1 entspricht: 3^x = 1; Lösung: 3^0 = 1; x = 0

 

log_3 {\frac{1}{9}}

log_3 {\frac{1}{9}} entspricht: 3^x = {\frac{1}{9}}; Lösung: 3^-^2 = {\frac{1}{3^2}} = {\frac{1}{9}}; x = –2

 

log_3 \sqrt{3}

log_3 \sqrt{3} entspricht: 3^x = \sqrt{3}; Lösung: 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt{3}; x = {\frac{1}{3}}

 

c) log_4 1

log_4 1 entspricht: 4^x = 1; Lösung: 4^0 = 1; x = 0

 

log_4 16

log_4 16 entspricht: 4^x = 16; Lösung: 4^2 = 16; x = 2

 

log_4 0,25

log_4 0,25 entspricht: 4^x = 0,25; Lösung: 4^-^1 = {\frac{1}{4^1}} = {\frac{1}{4}} = 0,25; x = –1

 

log_4 2

log_4 2 entspricht: 4^x = 2; Lösung: 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4^1} = \sqrt{4} = 2; x = {\frac{1}{2}}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt der Logarithmus?

a) log_3 2

log_3 2 entspricht: 3^x = 2

3^0 = 1; 3^1 = 3; der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 0 und 1.

 

b) log_2 3

log_2 3 entspricht: 2^x = 3

2^1 = 2; 2^2 = 4; der Logarithmus befindet sich zwischen den Zahlen 1 und 2.

 

c) log_2 5

log_2 5 entspricht: 2^x = 5

2^2 = 4; 2^3 = 8; der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 2 und 3.

 

d) log_5 36

log_5 36 entspricht: 5^x = 36

5^2 = 25; 5^3 = 125; der Logarithmus befindet sich zwischen den Zahlen 2 und 3.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.

a) log_b b

log_b b entspricht: b^x = b; b^1 = b Lösung: x = 1

 

b) log_2 2^m

log_2 2^m entspricht: 2^x = 2^m; 2^m = 2^m; Lösung: x = m

 

c) log_b 1

log_b 1 entspricht: b^x = 1; b^0 = 1; Lösung: x = 0

 

d) log_3 \sqrt[n]{3}

log_3 \sqrt[n]{3} entspricht: 3^x = \sqrt[n]{3}; 3^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{3^1} = \sqrt[n]{3}; Lösung: x = {\frac{1}{n}}

 

e) log_b ({\frac{1}{b}})

log_b ({\frac{1}{b}}) entspricht: b^x = {\frac{1}{b}}; b^-^b = {\frac{1}{b}}; Lösung: x = –b

Please follow and like us:

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.