Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zur Punktspiegelung, Teil 2

Die Flagge von Costa Rica an einer Schule © Dieter Schütz PIXELIO www.pixelio.de

Im Alltag gibt es immer mal wieder vorkommende Phänomene aus dem Mathematik-Unterricht. Ein gutes Beispiel hierfür ist die Punktspiegelung. Viele Automarken, noch mehr Flaggen sowie einige Verkehrsschilder sind nämlich punktsymmetrisch. In der Sprache der Mathematik heißt das, dass bei diesen Zeichen oder Symbolen ein Symmetriezentrum M vorliegt, an dem jeder Symmetriepartner mit dem anderen zusammenfällt, und zwar bei einer 180º-Drehung bzw. einer Halbdrehung. Daher kann man bei solchen Zeichen oder Symbolen recht einfach feststellen, ob eine Punktsymmetrie vorliegt. Das Gleiche gilt für das Zeichnen von punktsymmetrischen Punkten oder Flächen in der Mittelstufe in Mathe. Punktsymmetrische Figuren zu zeichnen, ist nämlich kinderleicht. Auf eine andere Art muss man dies dann wiederum in der Oberstufe abrufen, und zwar bei der Analysis. Hier können nämlich punktsymmetrische Funktionen zum Ursprung auftreten. Die Punktspiegelung ist daher auch im Fach Mathe immer mal wieder vorkommend.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Punkspiegelung

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne punktsymmetrische Figuren.

a) Ein Kreis und ein anderer Keis sollen zusammen eine punktsymmetrische Figur ergeben.

b) Ein Kreis und eine Gerade sollen zusammen eine punktymmetrische Figur ergeben.

c) Drei Geraden sollen zusammen eine punktsymmetrische Figur ergeben.

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ergänze einen Punkt [drei weitere Punkte] im Koordinatensystem, so dass eine punktsymmetische Figur entsteht. Gegeben sind die Punkte A (2/3), B (4/11) und C (6/2).

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Lege eindeutig dar,

a) ob ein Dreieck [Viereck] punktsymmetrisch sein kann.

b) aus wie vielen Ecken ein Vieleck bestehen muss, um punktsymmetrisch zu sein.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Punktspiegelung einer Geraden durch einen Punkt P.

Es ist eine Gerade g und ein Punkt P gegeben. Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden g. Mittels einer Punktspiegelung soll eine Parallele zu g gezeichnet werden, die durch den Punkt P geht.

 

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Punktspiegelung

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle punktsymmetrische Figuren zeichnerisch dar

a) Ein Kreis und ein anderer Kreis sollen zusammen eine Punktsymmetrie vorweisen.

Punktspiegelung bei Kreis

Man zeichnet einen Kreis. Außerhalb dieses Kreises legt man das Spiegelzentrum M fest. Daraufhin spiegelt man den Mittelpunkt des Kreises, den Punkt P. Dadurch erhält man den Bildpunkt P‘. Der Bildpunkt P‘ stellt den Mittelpunkt des zweiten Kreises dar, der den gleichen Radius besitzt wie der erste Kreis. Daraufhin zeichnet man den zweiten Kreis. Die beiden Kreise weisen nun eine Punktsymmetrie zum Spiegelzentrum M auf.

 

b) Ein Kreis und Gerade sollen zusammen eine Punktsymmetrie vorweisen.

Punktsymmetrie Kreis und Gerade

Man zeichnet einen Kreis, daraufhin eine Gerade, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht. Das Spiegelzentrum legt man außerhalb des Kreises. Anschließend spiegelt man den Mittelpunkt P des Kreises sowie die Punkte G_1 und G_2 auf der Geraden. Am einfachsten ist es hierbei, wenn man die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis hierfür wählt. Dadurch erhält man die Bildpunkte P‘, G_1' und G_2'. P‘ ist der Mittelpunkt des gespiegelten Kreises, G_1' und G_2' zwei gespiegelte Punkte der Geraden. Jetzt kann man den gespiegelten Kreis zeichnen und die gespiegelte Gerade. Die sich so ergebende Figur aus zwei Kreisen und zwei Geraden weist eine Punktsymmetrie zum Spiegelzentrum M auf.

 

c) Drei Geraden sollen zusammen eine Punktsymmetrie vorweisen.

Punktspiegelung bei drei Geraden

Man zeichnet drei Geraden, wobei sich am besten eine mit den anderen beiden Geraden schneidet und eine Gerade parallel den Karos verläuft und eine senkrecht zu dieser Geraden. Dadurch ergeben sich nämlich automatisch schon Punkte, die man spiegeln kann und die Geraden sind an sich leichter zu spiegeln. Darauf legt man das Spiegelzentrum M fest. Die Schnittpunkte, die sich ergeben haben, spiegelt man dann um 180º. Weitere zu spiegelnde Schnittpunkte bildet man auf der schräg verlaufenden Geraden. Darauf verbindet man zwei auf der jeweiligen Gerade liegende Punkte. Bei der Parallel verlaufenden und othogronal schneidenden reicht aufgrund der vorgebenen Karos ein Punkt (natürlich hätte man hier auch ohne Weiteres einen weiteren Punkt punktspiegeln können).

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Erzeuge einen weiteren Punkt [drei weitere Punkte] im Koordinatensystem, so dass die dadurch sich ergebende Figur eine Punktsymmetrie vorweist. Es sind die Punkte A (2/3), B (4/11) und C (6/2) gegeben.

Punktsymmetrie von vier miteinander verbundenen Punkten

Den weiteren Punkt, den man erzeugen muss, erhält man folgendermaßen. Man verbindet die Punkte A und C. Zwischen beiden Punkten bildet man die Mittelsenkrechte, die gleichzeitig das Spiegelzentrum M darstellt. Hierauf spiegelt man den Punkt B und erhält dadurch den Punkt D. Es ensteht hierdurch ein Parallelogramm. Ein Parallelogramm ist immer punktsymmetrisch.

 

Mit sechs Punkten sieht die punktsymmetrische Figur folgendermaßen aus:

Punktsymmetrie mit sechs miteinander verbundenen Punkten

Wichtig ist es hier, das Spiegelzentrum M gut festzulegen. Indem man es auf der Höhe des Punktes B unterhalb der Punkte A unc C festlegt, kann man sehr einfach ein punktsymmetrisches Sechseck erzeugen. Man muss dann nämlich nur noch alle drei Punkte am Spiegelzentrum spiegeln. Darauf erhält man die Punkte D, E, F. Alle Punkte verbindet man der Reihenfolge nach. Die hierdurch entstehende Figur ist ein punktsymmetrisches Sechseck.

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Begründe eindeutig,

a) ob es möglich ist, dass ein Dreieck [Viereck] eine Punktsymmetrie vorweist.

b) wie viele Ecken ein Vieleck vorweisen muss, um punktsymmetrisch sein zu können.

 

a) Bei einer Punktsymmetrie werden ja Punkte mittels 180º-Drehung an einem Spiegelzentrum M gespiegelt. Dadurch wird die Figur auf sich selbst abgebildet. Hat nun eine Figur eine ungerade Anzahl an Punkten/Ecken, dann geht das aber nicht. Es kann nämlich nicht für jeden Punkt ein Bildpunkt erzeugt werden, so dass eine Punktsymmetrie entsteht. Aus diesem Grund kann ein Dreieck niemals punktsymmetrisch sein.

Bei einem Viereck sieht das ganz anders aus. Es leuchtet aber ein, dass nicht jedes x-beliebte Viereck punktsymmetrisch ist. Besondere Vierecke aber sehr wohl! Dreht man ein Quadrat um 180º, so bildet man es auf sich ab. Ein Quadrat ist also punktsymmetrisch. Das Gleiche gilt für Rechtecke, Rauten und Parallelogramme. Alle diese besonderen Vierecke weisen ebenfalls eine Punktsymmetrie auf. Bei diesen kann nämlich jeweils mittels eines Spiegelzentrums zu einem Punkt/einer Ecke ein Bildpunkt gebildet werden, so dass eine Punktsymmetrie vorliegt.

 

b) Dadurch, dass Dreiecke niemals punktsymmetrisch sein können, besondere Vierecke jedoch, kann man hieraus eine Gesetzmäßigkeit für eine mögliche Punktsymmetrie bei Vielecken ableiten. Denn: Hat ein Vieleck eine ungerade Anzahl an Ecken, so kann niemals eine Punktsymmetrie vorliegen. Hat das Vieleck hingegen einen gerade Anzahl an Ecken kann es möglicherweise eine Punktsymmetrie vorweisen.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Mache ein Punktspiegelung einer Geraden durch einen Punkt P.

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P. Der Punkt P befindet sich nicht auf der Geraden g. Es soll mittels einer Punktspiegelung eine Parallele zu g gezeichnet werden, die durch den Punkt P geht.

Punktspiegelung Gerade durch Punkt

Man bildet zur Geraden eine Senkrechte, die durch den Punkt P geht. Als nächstes bildet man auf dieser Strecke die Mittelsenkrechte, die zugleich das Spiegelzentrum M darstellt. Darauf spiegelt man zwei Punkte der Geraden g. Hierdurch ergibt sich die Gerade g‘, die parralel zu g verläuft und durch den Punkt P geht.

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