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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Logarithmen, Teil 2

Eine schwierige mit Rechenschieber zu lösende Aufgabe © Karl-Heinz Laube PIXELIO www.pixelio.de

Ein Logarithmus kann in Mathe ja stets mit folgender Gleichung wiedergegeben werden logb y = x. Hierbei stellt b die Basis und y den Numerus des Logarithmus dar. Das x ist der Exponent, mit dem man die Basis b potenzieren muss, um den Numerus y bestimmen zu können. Aufgrund des Aufbaus einer Logarithmus-Gleichung ergeben sich drei verschiedene Aufgaben-Typen – je nach gesuchter Variable. Denn je nach Aufgabe kann bei der Gleichung das x gesucht sein, das b oder das y. Beim Lösen der gesuchten Variable muss man sich hierbei stets die Wechselbeziehung des Logarithmus zu folgender Potenzschreibweise vor Augen führen: logb y = x entspricht: bx = y. Dann kann man auch in Mathe ohne allzu große Schwierigkeiten diese höhere Rechenoperation meistern.

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Logarithmen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse den Logarithmus auf.

a)   log$_3$ ${\frac{1}{81}$

b)   log$_2$ ${\frac{1}{8}$

c)   log$_4$ 256

d)   lg 10

e)   log$_5$ 1

f)   log$_4$ $4^5$

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme zwischen welchen beiden ganzen Zahlen der Logarithmus sich befindet.

a)   log4 13

b)   log$_6$ 99

c)   lg 29,5

d)   log$_2$ ${\frac{1}{3}$

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Variable.

a)   log$_b$ 343 = 3

b)   log$_2$ y = 5

c)   lg 1000 = x

d)   log$_b$ 125 = 3

e)   log$_8$ 2 = x

f)    lg y = 6

g)   lg y = 3

h)   logb 8 = 3

i)    log$_6$ 1296 = x

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe:  Bestimme für den Term die Lösung.

a)   log$_5$ ${\frac{1}{5^m}$

b)   log$_4$ ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$

c)   log$_t$ ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$

d)    log$_a$ $a^2$

e)    log$_d$ ${\frac{1}{d^2}$

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Logarithmen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.

a)   log$_3$ ${\frac{1}{81}$

log$_3$ ${\frac{1}{81}$   entspricht:   $3^x$ = ${\frac{1}{81}$;   Lösung: $3^-^4$ = ${\frac{1}{3^4}$ = ${\frac{1}{81}$;   x = –4

b)   log$_2$ ${\frac{1}{8}$

log$_2$ ${\frac{1}{8}$   entspricht:   $2^x$ = ${\frac{1}{8}$;   Lösung:   $2^-^3$ = ${\frac{1}{2^3}$ = ${\frac{1}{8}$;   x = –3

c)   log$_4$ 256

log$_4$ 256   entspricht:   $4^x$ = 256;   Lösung:   $4^4$ = 256;   x = 4

d)   lg 10

lg 10   entspricht:   $10^x$ = 10;   Lösung:   $10^1$ = 10;   x = 1

e)   log$_5$ 1

log$_5$ 1   entspricht:   $5^x$ = 1;   Lösung:    $5^0$ = 1;   x = 0

f)   log$_4$ $4^5$

log$_4$ $4^5$   entspricht:   $4^x$ = $4^5$;   Lösung:   $4^5$ = $4^5$;   x = 5

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zwischen welchen beiden ganzen Zahlen der Logarithmus liegt.

a)   log$_4$ 13

log$_4$ 13   entspricht:   $4^x$ = 13

$4^1$ = 4;      $4^2$ = 16;   der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 1 und 2.

b)   log$_6$ 99

log$_6$ 99   entspricht:   $6^x$ = 99

$6^2$ = 36;    $6^3$ = 216;   der Logarithmus befindet sich zwischen den Zahlen 2 und 3.

c)   lg 29,5

lg 29,5   entspricht:   $10^x$ = 29,5

$10^1$ = 10;   $10^2$ = 100;   der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 1 und 2.

d)   log$_2$ ${\frac{1}{3}$

log$_2$ ${\frac{1}{3}$   entspricht:   $2^x$ = ${\frac{1}{3}$

$2^-^2$ = ${\frac{1}{2^2}$ = ${\frac{1}{4}$;   $2^-^1$ = ${\frac{1}{2^1}$ = ${\frac{1}{2}$;   der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen –2 und –1.

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Variable.

a)   log$_b$ 343 = 3

log$_b$ 343 = 3   entspricht:   $b^3$ = 343;   Lösung:   $7^3$ = 343;   b = 7

b)   log$_2$ y = 5

log$_2$ y = 5   entspricht:   $2^5$ = y;   Lösung:   $2^5$ = 32;   y = 32

c)   lg 1000 = x

lg 1000 = x   entspricht:   $10^x$ = 1000;   Lösung:    $10^3$ = 1000;   x = 3

d)   log$_b$ 125 = 3

log$_b$ 125 = 3   entspricht:   $b^3$ = 125;   Lösung:   $5^3$ = 125;   b = 5

e)   log$_8$ 2 = x

log$_8$ 2 = x   entspricht:   $8^x$ = 2;   Lösung:   $8^{\frac{1}{3}$ = $\sqrt[3]{8}$ = 2;   x = ${\frac{1}{3}$

f)    lg y = 6

lg y = 6   entspricht:   $10^6$ = y;   Lösung:   $10^6$ = 1000000;   y = 1000000

g)   lg y = 3

lg y = 3   entspricht:   $10^3$ = y;   Lösung:   $10^3$ = 1000;   y = 1000

h)   log$_b$ 8 = 3

log$_b$ 8 = 3   entspricht:   $b^3$ = 8;   Lösung:   $2^3$ = 8;   b = 8

i)    log$_6$ 1296 = x

log$_6$ 1296 = x   entspricht:   $6^x$ = 1296;   Lösung:     $6^4$ = 1296;    x = 4

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung des Terms.

a)   log$_5$ ${\frac{1}{5^m}$

log$_5$ ${\frac{1}{5^m}$   entspricht:   $5^x$ = ${\frac{1}{5^m}$;   Lösung:   $5^x$ = ${\frac{1}{5^m}$;   $5^x$ = $5^-^m$;   x = –m

b)   log$_4$ ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$

log$_4$ ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$   entspricht:   $4^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$;   Lösung:    $4^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$;    $4^x$ = ${\frac{1}{4^{\frac{1}{n}}}$;    $4^x$ = $4^-^{\frac{1}{n}$;   Lösung: x = –${\frac{1}{n}$

c)   log$_t$ ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$

log$_t$ ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$   entspricht:   $t^x$ = ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$;   Lösung:   $t^x$ = ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$;   $t^x$ = ${\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$;  $t^x$ = $t^-^{\frac{1}{2}$;   Lösung: x = –${\frac{1}{2}$

d)    log$_a$ $a^2$

log$_a$ $a^2$   entspricht:   $a^x$ = $a^2$;   Lösung:   x = 2

e)    log$_d$ ${\frac{1}{d^2}$

log$_d$ ${\frac{1}{d^2}$   entspricht:   $d^x$ = ${\frac{1}{d^2}$;   Lösung:   $d^x$ = ${\frac{1}{d^2}$;   $d^x$ = $d^-^2$;   x = –2

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