Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 1

Aufeinander aufbauende Mathematik-Stoffgegbiete vereinfacht dargestellt © Stephanie Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Bruchterme hat man im Fach Mathe nicht umsonst sehr intensiv gepaukt. Schließlich bilden diese die Grundbausteine von Bruchgleichungen – und späteren gebrochenrationalen Funktionen. Wie man hier augenscheinlich sieht, ist die Mathematik stets aufeinander aufbauend bzw. verschiedene vorherige Stoffgebiete in einem neuen enthalten. Außer Bruchterme muss man nämlich auch bei Bruchgleichungen vor allem Gleichungen gut auflösen können. Beides ist hier bereits nicht mehr sooo leicht. Zum einen sind die Terme, die aufgrund der speziellen Form der Gleichungen auftreten können, teils schon sehr umfangreich, zum anderen muss man bei Bruchgleichungen auch immer den Definitionsbereich bestimmen und diesen mit der Lösung hin abgleichen – und stets aufpassen, dass hier eine Äquivalenzumformung vorliegt.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchgleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Definitionsmenge und die Lösung der Bruchgleichung.

a) {\frac{5}{3~-~x}} = 5

b) {\frac{8}{x~+~2}} = 6

c) {\frac{7}{x}} = 5

d) {\frac{14}{4x~-~1}} = 2

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme eine Bruchgleichung, deren Lösung folgende Zahlen nicht sein dürfen.

a) 4

b) 5,5

c) –2; –1

d) –5; 6

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zuerst die Definitionsmenge, darauf die Lösung der Bruchgleichung.

a) {\frac{3}{x}} = {\frac{5}{2x~+~6}}

b) {\frac{4}{x~+~1}} = {\frac{3}{x~-~1}}

c) {\frac{15}{x~+~1}} = {\frac{3}{x~-~4}}

d) {\frac{5}{2}} = {\frac{2x~+~4}{3x~-~5}}

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Lösungsschritt ist entschieden sinnvoller?

Es folgende Bruchgleichung gegeben: {\frac{6x(x~+~5)}{4(x~+~5)}} = {\frac{12(x+1)}{x~+~1}}

Ist es bei dieser Gleichung besser, zuerst mittels gemeinsamem Nenner die Brüche aufzulösen oder die Terme zu kürzen?

 

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Bruchgleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zuerst die Definitionsmenge der Bruchgleichung, anschließend deren Lösung

a) {\frac{5}{3~-~x}} = 5

Definitionsmenge:

3 – x = 0 | + x

3 = x

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 3}

 

Zur Auflösung der Gleichung muss erst mittels Multiplikation mit dem Hauptnenner der Bruch der Bruchgleichung beseitig werden. Der Hauptnenner ist hier: 3 – x

{\frac{5}{3~-~x}} = 5 | · (3 – x)

{\frac{5\ {\cdot}\ (3~-~x)}{3~-~x}} = 5 · (3 – x)

Darauf kann man den gleichen Term im Zähler und Nenner kürzen.

5 = 5 · (3 – x)

Jetzt löst man die Gleichung Schritt für Schritt nach x hin auf.

5 = 15 – 5x | – 15

–10 = –5x | : (–5)

x = 2

L = {2}

 

b) {\frac{8}{x~+~2}} = 6

Definitionsmenge:

x + 2 = 0 | – 2

x = –2

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠–2}

 

Auflösung des Nenners der Bruchgleichung mittels des Hauptnenners „x + 2“

a) 4 | · (x + 2)

{\frac{8\ {\cdot}\ (x~+~2)}{x~+~2}} = 6 · (x + 2)

Kürzen des gleichen Terms.

8 = 6 · (x + 2)

Auflösen der Gleichung nach x.

8 = 6x + 12 | – 12

–4 = 6x | : 6

x = –{\frac{2}{3}}

L = {–{\frac{2}{3}}}

 

c) {\frac{7}{x}} = 5

Definitionsmenge:

x = 0

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0}

 

Auflösen des Nenners der Bruchgleichung mittels des Hauptnenners „x“

{\frac{7}{x}} = 5 | · x

{\frac{7\ {\cdot}\ x}{x}} = 5 · x

Kürzen des gleichen Terms.

7 = 5x | : 5

x = {\frac{7}{5}}

L = {{\frac{7}{5}}}

 

d) {\frac{14}{4x~-~1}} = 2

Definitionsmenge:

4x – 1 = 0 | + 1

4x = 1 | : 4

x = 0,25

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0,25}

 

Auflösen des Nenners der Gleichung über Multiplikation mit dem Hauptnenner „4x – 1“

{\frac{14}{4x~-~1}} = 2 | · (4x – 1)

{\frac{14\ {\cdot}\ (4x-1)}{4x~-~1}} = 2 · (4x – 1)

14 = 2 · (4x – 1)

14 = 8x – 2 | + 2

16 = 8x | : 8

x = 2

L = {2}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle jeweils eine Bruchgleichung, die folgende Lösungen ausschließt.

a) 4

Die Zahl 4 darf keine Lösung der Bruchgleichung sein. Daher muss sie in deren Definitionsmenge ausgeschlossen sein. Folglich muss im Nenner ein Term stehen, der beim Einsetzen der Zahl 4 null ergibt. Ein mögliche Lösung stellt daher diese Bruchgleichung dar.

{\frac{2}{x~-~4}} = 12

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 4}

 

b) 5,5

{\frac{4}{x~-~5,5}} = 10

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 5,5}

 

c) –2; –1

{\frac{8}{x~+~2}} + {\frac{4}{x~+~1}} = 8

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –2; –1}

 

d) –5; 6

{\frac{4}{x~+~5}} + {\frac{2}{x~-~6}} = 10

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –5; 6}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Definitionsmenge und die Lösung der Bruchgleichung.

a) {\frac{3}{x}} = {\frac{5}{2x~+~6}}

Definitionsmenge:

x = 0;

2x + 6 = 0 | – 6

2x = –6 | : 2

x = –3

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –3; 0}

 

Lösung:

{\frac{3}{x}} = {\frac{5}{2x~+~6}} | · x · (2x + 6)

{\frac{3\ {\cdot}\ x\ {\cdot}\ (2x~+~6)}{x}} = {\frac{5\ {\cdot}\ x\ {\cdot}\ (2x~+~6)}{2x~+~6}}

3 · (2x + 6) = 5 · x

6x + 18 = 5x | – 5x

x + 18 = 0 | – 18

x = –18

L = {–18}

 

b) {\frac{4}{x~+~1}} = {\frac{3}{x~-~1}}

Definitionsmenge:

x + 1 = 0 | – 1

x = –1;

x – 1 = 0 | + 1

x = 1

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –1; 1}

 

Lösung:

{\frac{4}{x~+~1}} = {\frac{3}{x~-~1}} | · (x + 1) · (x – 1)

{\frac{4\ {\cdot}\ (x~+~1)\ {\cdot}\ (x~-~1)}{x~+~1}} = {\frac{3\ {\cdot}\ (x~+~1)\ {\cdot}\ (x~-~1)}{x~-~1}}

4 · (x – 1) = 3 · (x + 1)

4x – 4 = 3x + 3 | – 3x

x – 4 = 3 | + 4

x = 7

L = {7}

 

c) {\frac{15}{x~+~1}} = {\frac{3}{x~-~4}}

Definitionsmenge:

x + 1 = 0 | – 1

x = –1;

x – 4 = 0 | + 4

x = 4

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –1; 4}

 

Lösung:

{\frac{15}{x~+~1}} = {\frac{3}{x~-~4}} | · (x + 1) · (x – 4)

{\frac{15\ {\cdot}\ (x~+~1)\ {\cdot}\ (x~-~4)}{x~+~1}} = {\frac{3\ {\cdot}\ (x~+~1)\ {\cdot}\ (x~-~4)}{x~-~4}}

15 · (x – 4) = 3 · (x + 1)

15x – 60 = 3x + 3 | – 3x

12x – 60 = 3 | + 60

12x = 63 | : 12

x = 5,25

L = {5,25}

 

d) {\frac{5}{2}} = {\frac{2x~+~4}{3x~-~5}}

Definitionsmenge:

3x – 5 = 0 | + 5

3x = 5 | + 3

x = {\frac{5}{3}}

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ {\frac{5}{3}}}

 

Lösung:

{\frac{5}{2}} = {\frac{2x~+~4}{3x~-~5}} | · 2 · (3x – 5)

{\frac{5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ (3x~-~5)}{2}} = {\frac{(2x~+~4)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ (3x~-~5)}{3x~-~5}}

5 · (3x – 5) = (2x + 4) · 2

15x – 25 = 4x + 8 | – 4x

11x – 25 = 8 | + 25

11x = 33 | : 11

x = 3

L = {3}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Begründe, welcher Lösungsschritt entschieden mehr Sinn macht.

Es ist diese Bruchgleichung gegeben: {\frac{6x(x~+~5)}{4(x~+~5)}} = {\frac{12(x+1)}{x~+~1}}

Was bietet sich bei dieser Gleichung mehr an, den Nenner mittels Hauptnenner-Erweiterung aufzulösen oder die Brüche zu kürzen.

Schaut man sich die Bruchgleichung an, so macht nur das Kürzen entschieden Sinn. Sowohl im Zähler als auch im Nenner sind ja bei beiden Brüchen beide Terme vorhanden. Kürzt man diese jeweils, so löst sich der Bruch auf beiden Seiten der Gleichung auf. Bevor man kürzt, muss man aber die Definitionsmenge der Bruchgleichung aufstellen, da ansonsten keine Äquivalenzumformung vorliegt.

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