Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 9

Umformung und Berechnung von Termen © Sven Dovermann PIXELIO www.pixelio.de

Mittels Termumformungen erhält man in der Regel eine Vereinfachung eines Terms. Das hat ja auch einen Sinn. Schließlich möchte man durch Termumformungen beispielsweise die Lösung einer Gleichung ermitteln oder eine binomische Formel von der unaufgelösten Form in die aufgelöste Form bringen. Termumformungen basieren hierbei auf algebraischen Grundregeln. Wendet man diese algebraischen Grundregeln bei Termen korrekt an, so verändert man den Wert des Terms nicht. In der Sprache der Mathematik nennt man das Wertgleichheit. Wertgleiche Terme bleiben mittels algebraischer Umformung weiterhin wertgleich. Wichtig ist es, alle Regeln zur Vereinfachung eines Terms sehr gut zu verinnerlichen. Umso mehr verliert Mathe dann auch seinen Schrecken. Schließlich geht es ja immer und immer wieder in diesem Fach um Umformungen von Termen!

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Term

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Mit einer Luftpistole wird senkrecht in die Luft geschossen. Ab einer bestimmten Zeit kehrt sich das abgefeuerte Projektil um und geht von oben wieder nach unten. Die Höhe (in m) des Projektils in Abhängigkeit zur Zeit (in s) kann man hierbei annäherungsweise mit diesem Term berechnen: 140t – 5t².

a) Berechne die Höhe des Projektils für t = 0, t = 2, t = 4, t = 6, t = 8, t = 10, t = 12, t = 14, t = 16, t = 18, t = 20, t = 22, t = 24, t = 26, t = 28.

b) Nach welcher Zeit hat das Projektil die größte Höhe?

c) Nach welcher Zeit hat der Projektil den Boden erreicht?

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Forme alle Terme zu einem Produkte um

a) (x + 5)²

b) (x + y)³

c) (a - 2)^4

d) 8² · (8a – 6)²

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Begründe, welcher Term man durch Zusammenfassen vereinfachen kann und bei welchem Term das nicht geht.

a) 6x + 6xy

b) 3a – a

c) 8a – 3

d) 12x + 3

 

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache den Term jeweils, so weit wie möglich.

a) 7a – 8a – 9b

b) 40m² – 55 + 26m²

c) 12u + 4v – 6m + 9n

d) 88t³ – 12t – 29t³

e) u² – 2uv – u² + 5uv

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Term

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es wird mit einer Luftpistole senkrecht in die Luft geschossen. Das senkrecht nach oben fliegende Projektil dreht sich irgendwann um und fällt wiederum senkrecht nach unten. Hierbei kann man die Höhe (in m) des Projektils in Abhängigkeit zur Zeit (in s) annäherungsweise mittels folgendem Term wiedergegeben: 140t – 5t².

a) Ermittle die Höhe des Projektils t = 0, t = 2, t = 4, t = 6, t = 8, t = 10, t = 12, t = 14, t = 16, t = 18, t = 20, t = 22, t = 24, t = 26, t = 28.

b) Wann hat das Projektil die höchste Höhe erreicht?

c) Wann ist das Projektil auf dem Boden gelandet?

 

a) Ermittle für folgende Zeiten die Höhe des Projektils: t = 0, t = 2, t = 4, t = 6, t = 8, t = 10, t = 12, t = 14, t = 16, t = 18, t = 20, t = 22, t = 24, t = 26, t = 28.

für t = 0 gilt: 140 · 0 – 5 · (0)² = 0 – 0 = 0

für t = 2 gilt: 140 · 2 – 5 · (2)² = 280 – 5 · 4 = 280 – 20 = 260

für t = 4 gilt: 140 · 4 – 5 · (4)² = 560 – 5 · 16 = 560 – 80 = 480

für t = 6 gilt: 140 · 6 – 5 · (6)² = 840 – 5 · 36 = 840 – 180 = 660

für t = 8 gilt: 140 · 8 – 5 · (8)² = 1120 – 5 · 64 = 1120 – 320 = 800

für t = 10 gilt: 140 · 10 – 5 · (10)² = 1400 – 5 · 100 = 1400 – 500 = 900

für t = 12 gilt: 140 · 12 – 5 · (12)² = 1680 – 5 · 144 = 1680 – 720 = 960

für t = 14 gilt: 140 · 14 – 5 · (14)² = 1960 – 5 · 196 = 1960 – 980 = 980

für t = 16 gilt: 140 · 16 – 5 · (16)² = 2240 – 5 · 256 = 2240 – 1280 = 960

für t = 18 gilt: 140 · 18 – 5 · (18)² = 2520 – 5 · 324 = 2520 – 1620 = 900

für t = 20 gilt: 140 · 20 – 5 · (20)² = 2800 – 5 · 400 = 2800 – 2000 = 800

für t = 22 gilt: 140 · 22 – 5 · (22)² = 3080 – 5 · 484 = 3080 – 2420 = 660

für t = 24 gilt: 140 · 24 – 5 · (24)² = 3360 – 5 · 576 = 3360 – 2880 = 480

für t = 26 gilt: 140 · 26 – 5 · (26)² = 3640 – 5 · 676 = 3640 – 3380 = 260

für t = 28 gilt: 140 · 28 – 5 · (28)² = 3920 – 5 · 784 = 3920 – 3920 = 0

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Berechnung von Term-Werten bei einem Term siehe auch unter dem Reiter Terme 3. Wert-Berechnung bei einem Term an.

 

b) Ab welchem Zeitpunkt hat das Projektil die höchste Höhe?

Die höchste Höhe hat das Projektil nach 14 Sekunden. Dann ist es 980 Meter hoch.

 

c) Wann hat das Projektil den Boden wieder erreicht?

Nach 28 Sekunden landet das Projektil wieder auf dem Boden. Die Höhe des Projektils ist dann 0 Meter.

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Alle Terme sollen hin zu einem Produkt umgeformt werden.

a) (x + 5)²

Hier liegt die 1. Binomische Formel vor. Bei dieser kann man ganz einfach die Potenz zu einem Produkt hin auflösen, indem man den Term in der Klammer 2-mal mit sich selbst malnimmt.

(x + 5)² = (x + 5) · (x + 5)

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Potenzen 1. Bestandteile und Besonderheiten einer Potenz an.

 

b) (x + y)³

Hier löst man die Potenz auf, indem man den Term in der Klammer 3-mal mit sich malnimmt.

(x + y)³ = (x + y) · (x + y) · (x + y)

 

c) (a - 2)^4

Die Potenz kann hier wiederum aufgelöst werden, indem man den Term in der Klammer mit sich selbst 4-mal malnimmt.

(a - 2)^4 = (a – 2) · (a – 2) · (a – 2) · (a – 2)

 

d) 8² · (8a – 6)²

Hier löst man die erste Potenz auf, indem man diese mit sich selbst malnimmt, die zweite Potenz ebenso.

· (8a – 6)² = 8 · 8 · (8a – 6) · (8a – 6)

 

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Lege dar, welcher Term man zusammenfassen kann, welcher Term nicht.

a) 6x + 6xy

Diese Term kann man nicht zusammenfassen. Es liegen zwei verschiedene Variablen vor.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Terme 4. Zusammenfassen von gleichartigen Einzeltermen bei einem Term an.

 

b) 3a – a

3a – a = 2a

Hier kann der Term zusammengefasst werden. Die Einzelterme weisen die gleiche Variable auf. Auch haben die Variablen die gleiche Potenz.

 

c) 8a – 3

Hier kann der Term nicht zusammengefasst werden. Ein Term weist eine Variable auf, der andere nicht.

 

d) 12x + 3

Diese Term kann ebenso nicht zusammengefasst werden. Der eine Term besteht wiederum aus einer Variablen, der andere jedoch nicht.

 

e) 5s + s

5s + s = 6s

Dieser Term kann zusammengefasst werden. Es liegt zum einen die gleiche Variable vor, zum anderen haben die Variablen jeweils die gleiche Potenz.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Jeder Term soll so weit wie möglich vereinfacht werden.

a) 7a – 8a – 9b

7a – 8a – 9b = –a – 9b

 

b) 40m² – 55 + 26m²

40m² – 55 + 26m² = 66 m² – 55

 

c) 12u + 4v – 6m + 9n

Diese Term kann nicht zusammengefasst werden.

 

d) 88t³ – 12t – 29t³

88t³ – 12t – 29t³ = 59t³ – 12t

 

e) u² – 2uv – u² + 5uv

u² – 2uv – u² + 5uv = 3uv

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