Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 4

Ein Baum-Trapez © poldy PIXELIO www.pixelio.de

Eine Flächenberechnung muss man in Mathematik stets an besonderen Vielecken durchführen. Die Fläche von besonderen Vielecken, wie beispielsweise von einem Rechteck, einem Parallelogramm, einem Trapez oder einem Drachenviereck, kann man in Mathe ja mittels einer Formel haargenau berechnen. Das Gleiche gilt übrigens für jedes Dreieck. Vor einer Berechnung ist es immer wichtig, dass alle Größenangaben dieselbe Einheit vorweisen. Auch muss man die Formel zur Berechnung der gesuchten Größe gegebenenfalls umformen. Jede Formel zur Lösung von besonderen Vielecken sowie von jedem Dreieck stellt ja nichts anderes als eine Gleichung dar. Mittels Äquivalenzumformungen kann man diese dann jeweils zu der gesuchten Größe hin umformen.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Flächeninhalt von Vielecken

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne jeweils die mit einem Fragezeichen versehenen Größen des Rechtecks.

a) Seitenlänge a: 32 m

Seitenlänge b: 5,6 m

Flächeninhalt A_\mathrm R: ?

Umfang U_\mathrm R : ?

 

b) Seitenlänge a: 6,5 km

Seitenlänge b: 42 km

Flächeninhalt A_\mathrm R: ?

Umfang U_\mathrm R: ?

 

c) Seitenlänge a: 25 dm

Seitenlänge b: ?

Flächeninhalt A_\mathrm R: 950 dm²

Umfang U_\mathrm R: ?

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Seitenlängen für gegebene Flächen.

a) Die Insel Rügen ist mit einer Fläche von 930 000 000 m² die größte Insel Deutschlands. Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks so, dass sie die Fläche von Rügen ergeben.

b) Deutschland besitzt die Fläche von 360 000 km² [Berlin ca. 890 km²]. Gib jeweils zwei Seitenlängen eines Rechtecks an, die der Fläche Deutschlands [Berlins] entsprechen.

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme jeweils die mit einem Fragezeichen versehenen Größen eines Parallelogramms.

a) Seitenlänge g: 14 cm

zugehörige Höhe h: 5,5 cm

Flächeninhalt A_\mathrm R: ?

 

b) Seitenlänge g: ?

zugehörige Höhe h: 4,4 dm

Flächeninhalt A_\mathrm R: 858 dm²

 

c) Seitenlänge g: 9,2 m

zugehörige Höhe h: ?

Flächeninhalt A_\mathrm R: 782 m²

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es ist ein Trapez gegeben. Hierbei ist der Flächeninhalt A_\mathrm R bekannt sowie die Seiten a und c, die zueinander parallel sind. Mittels welcher Formel kann man nun die Höhe h des Trapezes berechnen?

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Flächeninhalt von Vielecken

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die mit einem Fragezeichen versehene Größe rechnerisch.

a) Seitenlänge a: 32 m

Seitenlänge b: 5,6 m

Flächeninhalt A_\mathrm R: ?

Umfang U_\mathrm R: ?

Den Flächeninhalt bei einem Rechteck berechnet man wie folgt: A_\mathrm R = a · b.

A_\mathrm R = 32 m · 5,6 m = 179,2 m²

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Berechnung des Flächeninhalts bei einem Rechteck siehe auch unter dem Reiter Flächeninhalt 3. Flächeninhalt bei einem Rechteck an.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Berechnung des Umfangs bei einem Rechteck siehe auch unter dem Reiter Umfang 3. Der Umfang bei Vierecken an.

 

Den Umfang bei einem Rechteck ermittelt man folgendermaßen rechnerisch: U_\mathrm R = a + a + b + b = 2a + 2b.

U_\mathrm R = 2 · 32m + 2 · 5,6 m = 64 m + 11,2 m = 75,2 m

 

b) Seitenlänge a: 6,5 km

Seitenlänge b: 42 km

Flächeninhalt A_\mathrm R: ?

Umfang U_\mathrm R: ?

Die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts bei einem Rechteck ist: A_\mathrm R = a · b.

A_\mathrm R = 6,5 km · 42 km = 273 km²

Die Formel für die Berechnung des Umfang bei einem Rechteck ist: U_\mathrm R = a + a + b + b = 2a + 2b.

U_\mathrm R = 2 · 6,5 km + 2 · 42 km = 13 km + 84 km = 97 km

 

c) Seitenlänge a: 25 dm

Seitenlänge b: ?

Flächeninhalt A_\mathrm R: 950 dm²

U_\mathrm R: ?

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks ist: A_\mathrm R = a · b. Diese muss man nun mittels einer Äquivalenzumformung nach der Seitenlänge b hin umformen.

A_\mathrm R = a · b | : a

{\frac{\mathrm A_R}{\mathrm a}} = b

b = {\frac{\mathrm A_R}{\mathrm a}}

b = {\frac{950~\mathrm dm^2}{25~\mathrm dm }}

b = 38 dm

Zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks zieht man diese Formel heran: U_\mathrm R = a + a + b + b = 2a + 2b.

U_\mathrm R = 2 · 25 dm + 2 · 38 dm = 50 dm + 76 dm = 126 dm

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme für gegebene Größen die Seitenlängen.

a) Mit einer Fläche von 930 000 000 m² ist die Insel Rügen die größte Insel Deutschlands. Wähle für ein Rechteck Seitenlängen, die zusammen die Fläche von Rügen ergeben.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Rechtecks ist ja: A_R = a · b. Hieraus ergibt sich, dass, wenn man eine Seitenlänge festlegt, man die andere mittels Umstellung der Formel berechnen kann. Wichtig ist nur, dass eine Seitenlange kleiner 930.000.000 m ist, da ja der maximale Flächeninhalt 930.000.000 m² beträgt. Hieraus folgt auch, dass es unendlich viele Möglichkeiten für die Seitenlängen a und b gibt.

Die Seitenlänge a soll sein: 2500 m.

b = {\frac{930000000~m^2}{2500~m}}

b = 372000 m

 

b) Die Fläche von Deutschland ist 360 000 km² [Berlin ca. 890 km²]. Ermittle zwei Seitenlängen eines Rechtecks, das die Fläche von Deutschland [Berlin] ergibt.

Hier verfährt man genauso wie in Aufgabe a). Wichtig ist hierbei wiederum, dass bei der Fläche von Deutschland eine Seitenlänge nicht größer 360.000 km sein darf.

Die Seitenlänge a soll sein: 5000 km.

b = {\frac{360000~km^2}{5000~km}}

b = 72 km

Bei der Flächen von Berlin ist es auch wichtig, dass eine Seitenlänge nicht größer als 890 km ist.

Die Seitenlänge a soll sein: 25 km.

b = {\frac{890~km^2}{25~km}}

b = 35,6 km

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die mit einem Fragezeichen versehene Größe eines Parallelogramms soll jeweils rechnerisch ermittel werden.

a) Seitenlänge g: 14 cm

zugehörige Höhe h: 5,5 cm

Flächeninhalt A_P: ?

Den Flächeninhalt eines Parallelogramm berechnet man wie folgt: A_P = g · h.

A_P = 14 cm · 5,5 cm = 77 cm²

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Flächeninhalt 5. Flächeninhalt eines Parallelogramms an.

 

b) Seitenlänge g: ?

zugehörige Höhe h: 4,4 dm

Flächeninhalt A_P: 858 dm²

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms muss man hier nach der Seitenlänge g hin umformen.

A_P = g · h | : h

{\frac{A_P}{h}} = g

g = {\frac{A_P}{h}}

g = {\frac{858~dm^2}{4,4~dm}}

g = 195 dm

 

c) Seitenlänge g: 9,2 m

zugehörige Höhe h: ?

Flächeninhalt A_P: 782 m²

Hier muss man die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms nach der zugehörigen Höhe h hin umformen.

A_P = g · h | : g

{\frac{A_P}{g}} = h

h = {\frac{A_P}{g}}

h = {\frac{782~m^2}{9,2~m}}

h = 85 m

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bei einem Trapez ist der Flächeninhalt A_T gegeben. Außerdem sind die zueinander parallelen Seiten a und c ebenso gegeben. Mit welcher Formel lässt sich die Höhe h des Trapezes berechnen?

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts bei einem Trapez ist: AT = \frac{(a~+~c)\ {\cdot}\ h}{2} = {\frac{1}{2} · (a + c) · h. Diese Formel muss man nun nach der Größe h hin umstellen.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes siehe auch unter dem Reiter Flächeninhalt 6. Flächeninhalt eines Trapezes an.

 

A_T = {\frac{1}{2} · (a + c) · h | · 2

A_T · 2 = (a + c) · h | : ( a + c)

{\frac{A_T\ {\cdot}\ 2}{a~+~c} = h

h = {\frac{A_T\ {\cdot}\ 2}{a~+~c}

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2 Gedanken zu “Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 4

  1. Grundsätzlich kann die Fläche jedes Vierecks berechnet werden, von dem alle Seitenlängen direkt oder indirekt gegeben sind und zwar mit der Heronformel.

    • Hallo Herr Schröder,

      vielen Dank für diesen wichtigen Hinweis!

      Ich habe mich in meinem Mathematik-Nachhilfe-Blog-Artikel nur auf die in der 8. Klasse gängigen Formeln zur Lösung von besonderen Vierecken bezogen. Das schließt aber natürlich nicht aus, dass man auch anderweitig zielführend die Fläche eines Vierecks berechnen kann. Mein Mathe Nachhilfe Blog möchte jedoch so schulnah wie möglich erst einmal bestimmte Aufgaben-Typen des Faches Mathematik unter die Lupe nehmen und erläutern. Ergänzende Aufgaben, die letztlich auch zu einem gleichen Ergebnis führen, sind aber auch immer willkommen. Daher bin ich auch für jede weitere Anregung sehr danbkar!

      Mit freundliche Grüßen
      Ralf Münkel

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