Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, Teil 2

Die “Mutter“ aller rechtwinkligen Dreiecke – das Geodreieck © günther gumhold PIXELIO www.pixelio.de

Ein schwer auszusprechendes Wort ist sicherlich das Wort Trigonometrie. Bei Berechnungen zu bestimmten Dreiecken tritt es in Mathe das erste Mal auf bzw. wird dann vom Lehrer oder der Lehrerin erstmalig in den Mund genommen. Die korrekte Aussprache ist hierbei oftmals schwieriger als das an einem rechtwinkligen Dreieck auftretende und dort anfangs thematisierte Mathematik-Phänomen. Wichtig ist hierbei nur, dass man versteht, dass eine Seite IMMER die Hypotenuse ist (nämlich gegenüber dem rechten Winkel). Die anderen beiden Seiten, sprich die Katheten, sind hingegen je nach Blickwinkel ENTWEDER die Gegenkathete oder die Ankathete. Das, was, man dann noch anhand der aufgestellten Gleichung berechnen muss, ist eher trivial bzw. sehr leicht mittels des Taschenrechners auszurechnen.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck sind verschiedene Angaben bekannt. Berechne die jeweils fehlenden.

a) a = 10,4 cm

c = 2,5 cm

β = 90º

 

b) c = 6,7 cm

α = 90°

β = 78º

 

c) b = 15 cm

γ = 90º

α = 79º

 

d) a = 3,7 cm

c = 5,6 cm

γ = 90º

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Auf einem Straßenschild steht, dass das Gefälle einer Straße 16 % beträgt. Das heißt, dass 100 Meter in der Horizontalen der Höhenunterschied 16 Meter umfasst. Wie groß ist der Neigungswinkel α?

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle rechnerisch die grün markierte Größe.

a)

Trigonometrie rechtwinkliges Dreieck, Aufgabe a)

 

b)

Trigonometrie rechtwinkliges Dreieck, Aufgabe b)

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Man möchte einen Sendemast mit vier Seilen von je 50 m Länge befestigen. Bei jedem Seil soll der Neigungswinkel α 52º betragen. Auf welcher Höhe genau müssen alle vier Seile befestigt werden?

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle jeweils die fehlenden Größen in einem rechtwinkligen Dreieck.

a) a = 10,4 cm

c = 2,5 cm

β = 90º

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bevor man mit den Berechnungen beginnt, ist es hier sinnvoll, eine Skizze zu machen. Die bekannten und unbekannten Größen sollte man jeweils mit einer anderen Farbe markieren.

 

Skizze Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, Aufgabe a)

tan α = {\frac{\mathrm G\mathrm e\mathrm g\mathrm e\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}{\mathrm A\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}} = {\frac{a}{c}}

= {\frac{10,4~cm}{2,5~cm}}

= 4,16 Ι tan^-^1

α = 76º (gerundet auf eine ganzzahlige Gradzahl)

 

γ = 180° – (α + β)

= 180° – (76º + 90º)

= 14º

 

sin α = {\frac{\mathrm G\mathrm e\mathrm g\mathrm e\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e }{\mathrm H\mathrm y\mathrm p\mathrm o\mathrm t\mathrm e\mathrm n\mathrm u\mathrm s\mathrm e}} = {\frac{a }{b}} Ι · b

sin α · b = a Ι : sin α

b = {\frac{a }{sin ~\alpha}}

b = {\frac{10,4~cm}{sin ~76^\circ}}

b = 10,72 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch noch unter dem Reiter Am rechtwinkligen Dreieck 2. Trigonometrischen Beziehungen: Anwendungsbeispiele an.

 

b) c = 6,7 cm

α = 90°

β = 78º

Skizze Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, Aufgabe b)

 

γ = 180º – (α + β)

= 180º – (90º + 78º)

= 12º

 

tan β = {\frac{\mathrm G\mathrm e\mathrm g\mathrm e\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}{\mathrm A\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}} = {\frac{b}{c}} Ι · c

b = tan β · c

= tan 78º · 6,7 cm

= 31,52 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

 

cos β = {\frac{\mathrm A\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}{\mathrm H\mathrm y\mathrm p\mathrm o\mathrm t\mathrm e\mathrm n\mathrm u\mathrm s\mathrm e}} = {\frac{\mathrm c}{\mathrm a}} Ι · a

cos β · a = c Ι : cos β

a = {\frac{c}{cos ~\beta}}

= {\frac{6,7~cm}{cos ~78^\circ}}

= 32,23 cm (gerundet aus zwei Nachkommastellen)

 

c) b = 15 cm

γ = 90º

α = 79º

Skizze Trigonometrie rechtwinkliges Dreieck, Aufgabe c)

β = 180º – (α + γ)

= 180º – (79º + 90º)

= 11º

 

tan α = {\frac{\mathrm G\mathrm e\mathrm g\mathrm e\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}{\mathrm A\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}} = {\frac{a}{b}} Ι · b

a = tan α · b

a = tan 79º · 15 cm

a = 77,17 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

 

cos α = {\frac{\mathrm A\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}{\mathrm H\mathrm y\mathrm p\mathrm o\mathrm t\mathrm e\mathrm n\mathrm u\mathrm s\mathrm e}} = {\frac{\mathrm b}{\mathrm c}} Ι · c

cos α · c = b Ι : cos α

c = {\frac{b}{cos ~\alpha}}

c = {\frac{15~cm}{cos ~79^\circ}}

78,61 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

 

d) a = 3,7 cm

c = 5,6 cm

γ = 90º

Skizze Trigonometrie rechtwinkliges Dreieck, Aufgabe d)

sin α = {\frac{\mathrm G\mathrm e\mathrm g\mathrm e\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e }{\mathrm H\mathrm y\mathrm p\mathrm o\mathrm t\mathrm e\mathrm n\mathrm u\mathrm s\mathrm e}} = {\frac{a }{c}}

sin α = {\frac{3,7~cm}{5,6~cm}} Ι sin^-^1

α = 42º (gerundet auf ganze Gradzahlen)

 

β = 180º – (α + γ)

= 180º – (42º + 90º)

= 48º

 

cos α = {\frac{\mathrm A\mathrm n\mathrm k\mathrm a\mathrm t\mathrm h\mathrm e\mathrm t\mathrm e}{\mathrm H\mathrm y\mathrm p\mathrm o\mathrm t\mathrm e\mathrm n\mathrm u\mathrm s\mathrm e}} = {\frac{\mathrm b}{\mathrm c}} Ι · c

b = cos α · c

= cos 42º · 5,6 cm

= 4,16 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Gefälle einer Straße beträgt 16 %. Die Straße weist auf einer Strecke von 100 Metern in der Horizontalen einen Höhenunterschied von 16 Metern in der Vertikalen auf. Wie groß ist der Neigungswinkel α?

Sikzze Gefälle Straße

Anhand der Sikzze sieht man, dass der Neigungswinkel α über den Tangens ermittelt werden kann.

tan α = {\frac{\mathrm 16~m}{\mathrm 100~m}}

tan α = 0,16 Ι tan^-^1

α = 9º (gerundet auf ganze Gradzahlen)

Der Neigungswinkel der Straße beträgt 9º.

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne rechnerisch die grün markierte Größe.

a)

Trigonometrie rechtwinkliges Dreieck, Aufgabe a)

Den Winkel α kann man hier über den Tangens berechnen.

tan α = {\frac{\mathrm 2,4~cm}{\mathrm 3,8~cm}} Ι tan^-^1

α = 32º (gerundet auf ganze Gradzahlen)

 

b)

Trigonometrie rechtwinkliges Dreieck, Aufgabe b)

Hier kann man die gesuchte Größe über den Tangens berechnen.

tan 58º = {\frac{\mathrm 8,4~cm}{\mathrm x}} Ι · x

tan 58º · x = 8,4 cm Ι : tan 58º

x = {\frac{\mathrm 8,4~cm}{tan ~58^\circ}}

x = 5,25 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Sendemast soll mit vier Seilen befestigt werden, die allesamt 50 Meter lang sind. Der Neigungswinkel α eines jeden Seils soll 52º betragen. Auf welcher Höhe müssen die Seile angebracht werden?

Skizze Sendemast mit Seilen

Wie man anhand der Skizze sehen kann, kann man die Höhe des Sendemasts mittels des Sinus berechnen.

sin α = {\frac{\mathrm h}{\mathrm s}} Ι · s

h = sin α · s

h = sin 52º · 50 m

h = 39,4 m (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Die Höhe des Sendemasts muss 39,4 Meter hoch sein.

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