Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 2

Der Beste in Mathe © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Dass Gleichungen nicht immer so einfach zu lösen sind wie lineare Gleichungen, das kann man bereits bei Bruchgleichungen wahrnehmen. Bruchgleichungen richtig aufzulösen, erfordert nämlich schon eine „gute Portion“ an Algebra-Kenntnissen. Das fällt einem besonders dann auf, wenn man dieses Mathe-Können nicht ganz so gut verinnerlicht hat. Ist das bei einer Schülerin oder einem Schüler der Fall, so sollte einem das aber auch zu denken geben! Gleichungen werden schließlich in Mathe nicht leichter. Ganz im Gegenteil. Bis zur Oberstufe kommen nämlich noch viel, viel schwierigere Gleichungen dran – und müssen, wie das bei vorherigen Gleichungen auch der Fall war, je nach Aufgabenstellung korrekt gelöst werden. Daher darf man in Mathe bei Gleichungen (und Funktionen) nie den Anschluss verlieren! Am besten ist es daher in Mathe immer der Primus (der Beste) oder die Prima (die Beste) zu sein!

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Bruchgleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme zunächst die Definitionsmenge, anschließend die Lösung der Bruchgleichung.

a) {\frac{8}{\mathrm x~-~1}} = 4

b) {\frac{12}{-3\mathrm x~+~5}} = 6

c) {\frac{15}{\mathrm x~+~10}} = 5

d) {\frac{1}{1~-~2\mathrm x}} = 1

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Erkläre, warum bei folgender Bruchgleichung die Definitionsmenge uneingeschränkt ist. Ermittle darauf die Lösungsmenge.

{\frac{4\mathrm x+1}{2\mathrm x^2~+~2}} = {\frac{3\mathrm x}{\mathrm x^2~+~1}}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Definitionsmenge und die Lösung der Bruchgleichung.

a) {\frac{7}{3~-~\mathrm x} = {\frac{3}{5~-~\mathrm x}}

b) {\frac{5}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{8}{3\mathrm x~+~1}

c) {\frac{1}{3}} = {\frac{8}{5~+~\mathrm x}

d) {\frac{7}{\mathrm x~-~5}} = {\frac{2}{\mathrm x}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung der Bruchgleichung. Bestimme vorher deren Definitionsmenge.

a) {\frac{\mathrm a~+~5}{\mathrm a~-~5}} = {\frac{\mathrm a~+~9}{\mathrm a~-~3}

b) {\frac{4}{\mathrm y}} + {\frac{15}{\mathrm y}}{\frac{9}{2\mathrm y}} = 36

c) {\frac{2\mathrm y~+~6}{\mathrm y~+~3}} = 1

d) {\frac{5}{\mathrm a~-~1}} = {\frac{7}{\mathrm a~+~1}}

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchgleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zunächst die Definitionsmenge, darauf die Lösungsmenge.

a) {\frac{8}{\mathrm x~-~1}} = 4

 

Definitionsmenge:

x – 1 = 0 | + 1

x = 1

D = {\mathbb Q} \ {1}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Bestimmung der Definitionsmenge bei Bruchgleichungen siehe auch unter dem Reiter Bruchgleichungen 2. Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung an.

 

Lösungsmenge:

{\frac{8}{\mathrm x~-~1}} = 4 | · (x – 1)

8 = 4 · (x – 1)

8 = 4x – 4 | + 4

12 = 4x | : 4

x = 3

L = {3}

 

b) {\frac{12}{-3\mathrm x~+~5}} = 6

 

Definitionsmenge:

–3x + 5 = 0 | – 5

–3x = –5 | : ( –3)

x = {\frac{5}{3}}

D = {\mathbb Q} \ {{\frac{5}{3}}}

 

Lösungsmenge:

{\frac{12}{-3\mathrm x~+~5}} = 6 | · (–3x + 5)

12 = 6 · (–3x + 5)

12 = –18x + 30 | – 30

–18 = –18x | : (–18)

x = 1

L = {1}

 

c) {\frac{15}{\mathrm x~+~10}} = 5

 

Definitionsmenge:

x + 10 = 0 | – 10

x = –10

D = {\mathbb Q} \ {–10}

 

Lösungsmenge:

{\frac{15}{\mathrm x~+~10}} = 5 | · (x + 10)

15 = 5 · (x + 10)

15 = 5x + 50 | –50

–35 = 5x | : 5

x = –7

L = {–7}

 

d) {\frac{1}{1~-~2\mathrm x}} = 1

 

Definitionsmenge:

1 – 2x = 0 | + 2x

1 = 2x | : 2

x = 0,5

D = {\mathbb Q} \ {0,5}

 

Lösungsmenge:

{\frac{1}{1~-~2\mathrm x}} = 1 | · (1 – 2x)

1 = 1 · (1 – 2x)

1 = 1 – 2x | – 1

0 = –2x | : (–2)

x = 0

L = {0}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Begründe, weshalb der nachfolgende Bruchterm keine Einschränkung in seiner Definitionsmenge vorweist. Bestimme darauf die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

{\frac{4\mathrm x+1}{2\mathrm x^2~+~2}} = {\frac{3\mathrm x}{\mathrm x^2~+~1}}

Hier muss man beide Nenner für sich getrennt untersuchten.

 

Definitionsmenge:

2x² + 2 = 0 | – 2

2x² = –2 | : 2

x² = –1 | √

x = nicht definiert (n. d.)

Wie man hier sieht, gibt es keinen Einschränkung, da kein x den Nenner gleich null werden lässt.

 

x² + 1 = 0 | – 1

x² = –1 | √

x = nicht definiert (n. d.)

Hier gibt es ebenfalls kein x, was den Nenner gleich null werden lässt.

Daher ist die Definitionsmenge des Bruchterms uneingeschränkt.

D = {\mathbb Q}

 

Lösungsmenge:

{\frac{4\mathrm x+1}{2\mathrm x^2~+~2}} = {\frac{3\mathrm x}{\mathrm x^2~+~1}}

Der Hauptnenner ist hier: 2 · (x² + 1). Bei dem ersten Nenner des Bruchterms kann man den Faktor 2 ausklammern, 2x² + 2 = 2 · (x² +1). Darauf sieht man, dass der Term im Nenner des zweiten Bruchterms hier enthalten ist.

{\frac{4\mathrm x+1}{2\mathrm x^2~+~2}} = {\frac{3\mathrm x}{\mathrm x^2~+~1}} | · 2 · (x² +1)

4x + 1 = 2 · 3x

4x + 1 = 6x | – 4x

1 = 2x | : 2

x = 0,5

L = {0,5}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Bruchgleichung. Bestimme vorher deren Definitionsmenge.

a) {\frac{7}{3~-~\mathrm x} = {\frac{3}{5~-~\mathrm x}}

 

Definitionsmenge:

3 – x = 0 | + x

x = 3

 

5 – x = 0 | + x

x = 5

D = {\mathbb Q} \ {3; 5}

 

Lösungsmenge:

{\frac{7}{3~-~\mathrm x} = {\frac{3}{5~-~\mathrm x}} | · (3 – x) · (5 – x)

7 · (5 – x) = 3 · (3 – x)

35 – 7x = 9 – 3x | + 7x

35 = 9 + 4x | – 9

26 = 4x | : 4

x = 6,5

L = {6,5}

 

b) {\frac{5}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{8}{3\mathrm x~+~1}

 

Definitionsmenge:

x – 1 = 0 | + 1

x = 1

 

3x + 1 = 0 | – 1

3x = –1 | : 3

x = –{\frac{1}{3}}

D = {\mathbb Q} \ {–{\frac{1}{3}}; 1}

 

Lösungsmenge:

{\frac{5}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{8}{3\mathrm x~+~1} | · (x – 1) · (3x + 1)

5 · (3x + 1) = 8 · (x – 1)

15x + 5 = 8x – 8 | – 8x

7x + 5 = –8 | – 5

7x = –13 | : 7

x = –{\frac{13}{7}}

L = {–{\frac{13}{7}}}

 

c) {\frac{1}{3}} = {\frac{8}{5~+~\mathrm x}

 

Definitionsmenge:

5 + x = 0 | – 5

x = –5

D = {\mathbb Q} \ {–5}

 

Lösungsmenge:

{\frac{1}{3}} = {\frac{8}{5~+~\mathrm x} | · 3 · (5 + x)

1 · (5 + x) = 8 · 3

5 + x = 24 | – 5

x = 19

L = {19}

 

d) {\frac{7}{\mathrm x~-~5}} = {\frac{2}{\mathrm x}

 

Definitionsmenge:

x – 5 = 0 | + 5

x = 5

 

x = 0

D = {\mathbb Q} \ {0; 5}

 

Lösungsmenge:

{\frac{7}{\mathrm x~-~5}} = {\frac{2}{\mathrm x} | · (x – 5) · x

7 · x = 2 · (x – 5)

7x = 2x – 10 | – 2x

5x = –10 | : 5

x = –2

L = {–2}

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

a) {\frac{\mathrm a~+~5}{\mathrm a~-~5}} = {\frac{\mathrm a~+~9}{\mathrm a~-~3}

 

Definitionsmenge:

a – 5 = 0 | + 5

a = 5

 

a – 3 = 0 | + 3

a = 3

D = {\mathbb Q} \ {3; 5}

 

Lösungsmenge:

{\frac{\mathrm a~+~5}{\mathrm a~-~5}} = {\frac{\mathrm a~+~9}{\mathrm a~-~3} | · (a – 5) · (a – 3)

(a + 5) · (a – 3) = (a + 9) · (a – 5)

a² + 5a – 3a – 15 = a² + 9a – 5a – 45

a² + 2a – 15 = a² + 4a – 45 | – a²

2a – 15 = 4a – 45 | – 2a

–15 = 2a – 45 | + 45

30 = 2a | : 2

a = 15

L = {15}

 

b) {\frac{4}{\mathrm y}} + {\frac{15}{\mathrm y}}{\frac{9}{2\mathrm y}} = 36

 

Definitionsmenge:

y = 0

 

2y = 0 | : 2

y = 0

D = {\mathbb Q} \ {0}

 

Lösungsmenge:

{\frac{4}{\mathrm y}} + {\frac{15}{\mathrm y}}{\frac{9}{2\mathrm y}} = 36 | · 2y

4 · 2 + 15 · 2 – 9 = 36

8 + 30 – 9 = 36

29 = 36

Hier ist die Variable herausgekürzt worden. Die Gleichung liefert aber immer ein unwahres Ergebnis. Folglich gibt es keine Lösung für die Bruchgleichung.

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

c) {\frac{2\mathrm y~+~6}{\mathrm y~+~3}} = 1

 

Definitionsmenge:

y + 3 = 0 | – 3

y = –3

D = {\mathbb Q} \ {–3}

 

Lösungsmenge:

{\frac{2\mathrm y~+~6}{\mathrm y~+~3}} = 1 | · (y + 3)

2y + 6 = 1 · (y + 3)

2y + 6 = y + 3 | – y

y + 6 = 3 | – 6

y = –3

Da y = –3 bei der Definitionsmenge ausgeschlossen wurde, hat die Gleichung keine Lösung.

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

d) {\frac{5}{\mathrm a~-~1}} = {\frac{7}{\mathrm a~+~1}}

 

Definitionsmenge:

a – 1 = 0 | + 1

a = 1

 

a + 1 = 0 | – 1

a = –1

D = {\mathbb Q} \ {–1; 1}

 

Lösungsmenge:

{\frac{5}{\mathrm a~-~1}} = {\frac{7}{\mathrm a~+~1}} | · (a – 1) · (a + 1)

5 · (a + 1) = 7 · (a – 1)

5a + 5 = 7a – 7 | – 5a

5 = 2a – 7 | + 7

12 = 2a | : 2

a = 6

L = {6}

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