Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 8

“Ich bin keine blöde Kuh“ © Paul Golla PIXELIO www.pixelio.de

„Summen kürzen nur die Dummen“, heißt eine früher oft geäußerte Phrase aus dem Mathe-Unterricht. Phrasen bestehen aber oft einfach nur aus Worthülsen. Der Wahrheitsgehalt dieser sprachlichen Ausdrücke ist daher mehr als anzweifelbar. Sie sind nämlich einfach häufig schlichtweg falsch. Der Reim bzw. der sprachliche Laut dominiert bei „Summen kürzen nur …“ den Inhalt. Und der Sinn, der den eigentlichen Satzgehalt dominieren sollte, ist hier mindestens nur zweitrangig. In die sensiblen Psychen von Schülerinnen und Schülern kann sich solch eine Phrase aber sehr schnell einbrennen und man denkt wirklich man ist zu dumm für Mathe und dann auch gleich noch oft für vieles anderes. Das stimmt aber definitiv nicht! An Brüchen oder Bruchtermen, bei der diese Phrase zum Zuge kommt, kann man die Intelligenz eines Menschen eh nicht MESSEN im Fach Mathematik auch sowieso überhaupt nicht! Daher gilt wahrheitsgemäß: Nur die Dummen sagen: „Summen kürzen nur die Dummen!“

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Bruchtermen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende bei den Bruchterm die Addition und die Subtraktion an.

a)   {\frac{\mathrm x}{4}}{\frac{\mathrm y}{4}}

b)    {\frac{\mathrm x}{3}}{\frac{\mathrm y}{3}} – {\frac{\mathrm z}{3}}

c)    {\frac{\mathrm x}{5}} – {\frac{\mathrm y}{5}}

d)    {\frac{7\mathrm a}{8}} – {\frac{5\mathrm b}{8}}

 

2. Mathe-NachhilfeAufgabe: Fasse die Bruchterme zusammen.

a)    {\frac{2\mathrm a~+~3\mathrm b}{4}} – {\frac{5\mathrm a~-~3\mathrm b}{4}}

b)    {\frac{2\mathrm x}{\mathrm s}} – {\frac{8\mathrm y~-~\mathrm x}{\mathrm s}}

c)    {\frac{3\mathrm x~+~\mathrm y}{\mathrm x^2}} + {\frac{7\mathrm x~-~5\mathrm y}{\mathrm x^2}}

d)    {\frac{11\mathrm x~+~9\mathrm y}{13}} – {\frac{7\mathrm x~+~4\mathrm y}{13}}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib an für welchen x- oder y-Wert der Term nicht definiert ist.

a)    {\frac{\mathrm x^2~-~1}{8\mathrm (2\mathrm x~+~5)~-~9(4\mathrm x~+~4~)~+~6}}

b)    {\frac{2\mathrm y}{\5-(3~-~\mathrm y)~-~\mathrm y}}

c)    {\frac{\mathrm x~-~5}{2\mathrm x~+~5\mathrm x~-~3(\mathrm x~+~4)}}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze den Bruchterm so weit wie möglich.

a)    {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~(\mathrm x~+~\mathrm y)}{\mathrm x~+~\mathrm y}}

b)    {\frac{36\mathrm x^2(\mathrm a~+~\mathrm b)}{6\mathrm x(\mathrm a~+~\mathrm b)}}

c)    {\frac{(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm a}{\mathrm a}}

d)    {\frac{12\mathrm a\mathrm p^2\mathrm x(\mathrm x~-~4\mathrm y)}{18\mathrm a^2\mathrm p\mathrm x^2(\mathrm x~-~4\mathrm y)}}

e)    {\frac{25\mathrm a(2\mathrm b~-~\mathrm c)}{5\ {\cdot}~\mathrm (2\mathrm b~-~\mathrm c)}}

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei den Bruchtermen eine Addition und Subtraktion durch.

a)   {\frac{\mathrm x}{4}}{\frac{\mathrm y}{4}}

Der Hauptnenner ist hier „4“. Daher darf man sofort beide Bruchterme addieren.

{\frac{\mathrm x}{4}}{\frac{\mathrm y}{4}}{\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{4}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Addition und Subtraktion von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen an.

 

b)    {\frac{\mathrm x}{3}}{\frac{\mathrm y}{3}} – {\frac{\mathrm z}{3}}

Hier ist der Hauptnenner „3“. Daher kann man auch hier sofort eine Addition und Subtraktion durchführen.

{\frac{\mathrm x}{3}}{\frac{\mathrm y}{3}} – {\frac{\mathrm z}{3}}{\frac{\mathrm x~+~\mathrm y~-~\mathrm z}{3}}

 

c)    {\frac{\mathrm x}{5}} – {\frac{\mathrm y}{5}}

Hier ist der Hauptnenner „5“. Daher kann man bei den Bruchtermen auch wieder sofort eine Subtraktion durchführen.

{\frac{\mathrm x}{5}} – {\frac{\mathrm y}{5}}{\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{5}}

 

d)    {\frac{7\mathrm a}{8}} – {\frac{5\mathrm b}{8}}

Hier ist der Hauptnenner „8“. Auch hier darf man sofort wieder eine Subtraktion durchführen.

{\frac{7\mathrm a}{8}} – {\frac{5\mathrm b}{8}}{\frac{7\mathrm a~-~5\mathrm b}{8}}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache die Bruchterme mittels Addition und Subtraktion.

a)    {\frac{2\mathrm a~+~3\mathrm b}{4}} – {\frac{5\mathrm a~-~3\mathrm b}{4}}

Hier ist der Hauptnenner „3“. Daher darf man die Bruchterme mittels Addition und Subtraktion vereinfachen.

{\frac{2\mathrm a~+~3\mathrm b}{4}} – {\frac{5\mathrm a~-~3\mathrm b}{4}}{\frac{2\mathrm a~+~3\mathrm b~-~5\mathrm a~+~3\mathrm b}{4}}{\frac{-3\mathrm a~+~6\mathrm b}{4}}

 

b)    {\frac{2\mathrm x}{\mathrm s}} – {\frac{8\mathrm y~-~\mathrm x}{\mathrm s}}     (für s ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner „s“. Daher darf man die Bruchterme sofort mittels Addition und Subtraktion vereinfachen.

{\frac{2\mathrm x}{\mathrm s}} – {\frac{8\mathrm y~-~\mathrm x}{\mathrm s}} = {\frac{2\mathrm x~-~8\mathrm y~+~\mathrm x}{\mathrm s}} = {\frac{\mathrm x~-~8\mathrm y}{\mathrm s}}

 

c)    {\frac{3\mathrm x~+~\mathrm y}{\mathrm x^2}} + {\frac{7\mathrm x~-~5\mathrm y}{\mathrm x^2}}     (für x ≠ 0)

Da hier der Hauptnenner „x²“ ist, dürfen die Bruchterme wiederum sofort mittels Addtion und Subtraktion vereinfacht werden.

{\frac{3\mathrm x~+~\mathrm y}{\mathrm x^2}} + {\frac{7\mathrm x~-~5\mathrm y}{\mathrm x^2}} = {\frac{3\mathrm x~+~\mathrm y~+~7\mathrm x~-~5\mathrm y}{\mathrm x^2}} = {\frac{10\mathrm x~-~4\mathrm y}{\mathrm x^2}}

 

d)    {\frac{11\mathrm x~+~9\mathrm y}{13}} – {\frac{7\mathrm x~+~4\mathrm y}{13}}

Hier ist der Hauptnenner „13“. Deshalb dürfen auch hier wiederum die Bruchterme mittels Subtraktion sofort vereinfacht werden.

{\frac{11\mathrm x~+~9\mathrm y}{13}} – {\frac{7\mathrm x~+~4\mathrm y}{13}} = {\frac{11\mathrm x~+~9\mathrm y~-~7\mathrm x~-~4\mathrm y}{13}} = {\frac{4\mathrm x~+~5\mathrm y}{13}}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Für welchen x- oder y-Term ist der Bruchterm nicht definiert?

a)    {\frac{\mathrm x^2~-~1}{8\mathrm (2\mathrm x~+~5)~-~9(4\mathrm x~+~4~)~+~6}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Bruchterme 1.1 Die Definitionsmenge bei Bruchtermen an.

 

8(2x + 5) 9(4x + 4) + 6 = 0

16x + 40 36x 36 + 6 = 0

20x + 10 = 0              |  – 10

20x = 10                  |  :  (–20)

x = 0,5

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0,5} oder D = {\mathbb Q} \ {0,5}

 

b)    {\frac{2\mathrm y}{\5-(3~-~\mathrm y)~-~\mathrm y}}

(3 y) y = 0

3 + y y = 0

3 = 0

Der Nenner wird hier bei diesem Bruchterm niemals null. Daher gibt es keine Einschränkung bei der Definitionsmenge.

D = {\mathbb Q}

 

c)    {\frac{\mathrm x~-~5}{2\mathrm x~+~5\mathrm x~-~3(\mathrm x~+~4)}}

2x + 5x 3(x + 4) = 0

2x + 5x 3x 12 = 0

4x 12 = 0          |  + 12

4x = 12                |  : 4

x = 3

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 3} oder D = {\mathbb Q} \ {3}

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Der Bruchterm soll so weit wie möglich gekürzt werden.

a)    {\frac{\mathrm a\ {\cdot}~(\mathrm x~+~\mathrm y)}{\mathrm x~+~\mathrm y}}     (für x ≠ y oder y ≠ x)

{\frac{\mathrm a\ {\cdot}~(\mathrm x~+~\mathrm y)}{\mathrm x~+~\mathrm y}} =

a

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 2. Das Kürzen von Bruchtermen an.

 

b)    {\frac{36\mathrm x^2(\mathrm a~+~\mathrm b)}{6\mathrm x(\mathrm a~+~\mathrm b)}}     (für x ≠ 0 und a ≠ b oder b ≠ a)

{\frac{36\mathrm x^2(\mathrm a~+~\mathrm b)}{6\mathrm x(\mathrm a~+~\mathrm b)}} =

6x

 

c)    {\frac{(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm a}{\mathrm a}}     (für a ≠ 0)

{\frac{(\mathrm x~-~\mathrm y)\ {\cdot}~\mathrm a}{\mathrm a}} =

x y

 

d)    {\frac{12\mathrm a\mathrm p^2\mathrm x(\mathrm x~-~4\mathrm y)}{18\mathrm a^2\mathrm p\mathrm x^2(\mathrm x~-~4\mathrm y)}}     (für a ≠ 0; p ≠ 0; x ≠ 0; x ≠ 4y oder y ≠ {\frac{1}{4}}x)

{\frac{12\mathrm a\mathrm p^2\mathrm x(\mathrm x~-~4\mathrm y)}{18\mathrm a^2\mathrm p\mathrm x^2(\mathrm x~-~4\mathrm y)}} =

{\frac{2\mathrm p}{3\mathrm a\mathrm x}}

 

e)    {\frac{25\mathrm a(2\mathrm b~-~\mathrm c)}{5\ {\cdot}~\mathrm (2\mathrm b~-~\mathrm c)}}     (für b ≠ {\frac{\mathrm c}{2}} oder c ≠ 2b)

{\frac{25\mathrm a(2\mathrm b~-~\mathrm c)}{5\ {\cdot}~\mathrm (2\mathrm b~-~\mathrm c)}} =

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2 Gedanken zu “Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 8

    • Hallo Thorsten,

      vielen Danke für Deinen sympathiebekundeten Kommentar!

      Ich habe aus sehr, sehr lange in Mathematik Nachhilfe gegeben. Hierbei hatte ich auch Grundschüler, aber auch Schülerinnen und Schüler die gerade in die Mittelstufe gekommen waren. Die letzten Jahre in der Grundschule sowie das erste Jahr in der Mittelstufe (zumindest am Beginn des 1. Halbjahrs) in Mathematik ist die Bruchrechung wichtig. Die Bruchrechung ist aber auch wichtig für das spätere Stoffgebiet Bruchterme, da Bruchterme auf Brüchen basieren. Daher zeigt sich spätestens in der 8. Klasse, ob man die Bruchrechung auch wirklich nachhaltig verinnerlicht hat – oder nicht. Falls das nicht der Fall sein sollte, macht eventuell eine Nachhilfe in Mathematik Sinn. Dann fehlen bereits wichtige Basiskenntnisse. Aller Voraussicht nach ist das dann bei anderen bereits behandelten Mathe-Stoffgebieten ebenso der Fall!

      Viele Grüße aus Berlin,
      Ralf

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