Gegenüber Gleichungen weisen Ungleichungen nicht eine Lösung auf wie z. B. in Form einer Zahl oder mehrerer Zahlen, sondern einen Zahlenbereich. Das hat mit den unterschiedlichen Zeichen zu tun, das Gleichungen („=“) und Ungleichungen („>“, „<“, ebenso das „≥“ und das „≤“) vorweisen. Daduch muss sich ja auch logischerweise ein Unterschied ergeben – und das natürlich ganz besonders bei der Lösung. Bei der Lösungsmenge einer Ungleichung tritt daher auch in der Regel das Ungleichheits-Zeichen wieder auf, da nur so die Lösung der Ungleichung wiedergegeben werden kann. Bei einer Gleichung hingegen ist oftmals die Angabe einer Zahl oder mehrerer Zahlen möglich. Eine oder mehrere Zahlen stehen dann ja für (gleich/„=“) dem Ergebnis der Gleichung.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Lineare Ungleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichungen.
a) 5s + 1,1 ≥ 1 – 8s
b) 3x – 4 ≥ 17 + 4x
c) 4a + 1 ≤ – 7 – 3a
d) 2t + 8 ≤ 18 – 3t
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge des Zahlenrätsels.
a) Subtrahiert man 40 von einer Zahl, so ist das Ergebnis größer, als wenn man das 7-Fache der Zahl bildet und dieses um 8 verkleinert.
b) Addiert man zu 17 eine Zahl und verdoppelt das Ergebnis, so erhält man mehr als 25.
c) Addiert man zum 5-Fachen einer Zahl 24, so die das Ergebnis geringer als das 3-Fache der Zahl.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Lösungsmenge der Ungleichung an.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) 3a +[latexpage] ${\frac{7}{9}}$ > ${\frac{31}{9}}$ + ${\frac{1}{3}}$a
b) –8${\frac{3}{4}}$ – ${\frac{1}{3}}$s < 23${\frac{1}{4}}$ + ${\frac{1}{6}}$s
c) x < ${\frac{3}{5}}$x + ${\frac{4}{11}}$ – ${\frac{2}{5}}$x
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Lineare Ungleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösung der Ungleichung.
a) 5s + 1,1 ≥ 1 – 8s
5s + 1,1 ≥ 1 – 8s | + 8s
13s + 1,1 ≥ 1 | – 1,1
13s ≥ –0,1 | : (–0,1)
s ≥ –${\frac{0,1}{13}}$
s ≥ –${\frac{1}{130}}$
L = {s | s ≥ –${\frac{1}{130}}$}
b) 3x – 4 ≥ 17 + 4x
3x – 4 ≥ 17 + 4x | – 3x
–4 ≥ 17 + x | – 17
–21 ≥ x
L = {x | x ≤ –21}
c) 4a + 1 ≤ – 7 – 3a | + 3a
7a + 1 ≤ – 7 | – 1
7a ≤ –8 | : 7
a ≤ –${\frac{8}{7}}$}
L = {a | a ≤ –${\frac{8}{7}}$}
d) 2t + 8 ≤ 18 – 3t | + 3t
5t + 8 ≤ 18 | – 8
5t ≤ 10 | : 5
t ≤ 2
L = {t | t ≤ 2}
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei den Zahlenrätseln die Lösungsmenge.
a) Zieht man von einer Zahl 40 ab, dann ist das Ergebnis größer, als wenn man das 7-Fache der Zahl bildet und dieses um 8 verkleinert.
x – 40 > 7x – 8 | – x
–40 > 6x – 8 | + 8
–32 > 6x | : 6
–${\frac{32}{6}}$ > x
–${\frac{16}{3}}$ > x
L = {x | x < –${\frac{16}{3}}$}
b) Zählt man zu 17 eine Zahl und verdoppelt das Ergebnis, dann erhält man mehr als 25.
(17 + x) · 2 > 25
34 + 2x > 25 | – 34
2x > –9 | : 2
x > –4,5
L = {x | x > –4,5}
c) Zählt man zum 5-Fachen einer Zahl 24, dann ist das Ergebnis kleiner als das 3-Fache der Zahl.
5x + 24 < 3x | – 5x
24 < –2x | : (–2)
–12 > x
L = {x | x < –12}
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib für die Ungleichung die Lösungsmenge an.
L = {x | x > 2}
L = {x | x < –4}
L = {x | x > 3}
L = {x | x > –6}
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme bei den Ungleichungen die Lösungsmenge.
a) 3a +[latexpage] ${\frac{7}{9}}$ > ${\frac{31}{9}}$ + ${\frac{1}{3}}$a | – ${\frac{1}{3}}$a
${\frac{8}{3}}$a + ${\frac{7}{9}}$ > ${\frac{31}{9}}$ | – ${\frac{7}{9}}$
${\frac{8}{3}}$a > ${\frac{24}{9}}$ | : ${\frac{8}{3}}$
a > 1
L = {a | a > 1}
b) –8${\frac{3}{4}}$ – ${\frac{1}{3}}$s < 23${\frac{1}{4}}$ + ${\frac{1}{6}}$s | + ${\frac{1}{3}}$s
–8${\frac{3}{4}}$ < 23${\frac{1}{4}}$ + ${\frac{1}{2}}$s | – 23${\frac{1}{4}}$
–32 < ${\frac{1}{2}}$s | : ${\frac{1}{2}}$
–64 < s
L = {s | s > –64}
c) x < ${\frac{3}{5}}$x + ${\frac{4}{11}}$ – ${\frac{2}{5}}$x
x < ${\frac{1}{5}}$x + ${\frac{4}{11}}$ | – ${\frac{1}{5}}$
${\frac{4}{5}}$x < ${\frac{4}{11}}$ | : ${\frac{4}{5}}$
x < ${\frac{5}{11}}$
L = {x | x < ${\frac{5}{11}}$}