Bei Termen in Mathe treten wiederum bereits aus der Grundschule bekannte Gesetze (Gesetzmäßigkeiten) auf. Damals in der 4. oder 5. Klasse sind diese Mathematik-Gesetze aufgrund deren gewöhnungsbedürftiger Bezeichnung sicherlich Schülerinnen und Schülern ins Auge gesprungen und schwer über die Lippen gekommen. Ich meine hiermit das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Ja, das sind alles unstrittig sehr schwer auszusprechende Wörter! Und dahinter verbirgt sich jeweils eine algebraische Gesetzmäßigkeit, die bei Termen angewandt werden kann (was vorher bereits schon bei „reinen“ Zahlen der Fall gewesen ist). Das Gute bei diesen drei Gesetzen ist aber, dass man ab einer höheren Klassenstufe in Mathematik in der Regel jene „intuitiv“ anwendet – und dann gar nicht mehr den Namen der angewendeten Gesetzmäßigleit/Regelmäßigkeit weiß.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Terme
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache den Term.
a)
44x : 2
–28a : 7
30c² : (–35)
b)
(–4a) · (–11) · (–3)
5 · (–y) · 9
(–1) · (10s²) · (–8)
c) [latexpage] ${\frac{3}{10}}$ · 14s² · ${\frac{5}{6}}$
3a · 4 · (–5)
1,5 · (–0,2r) · 12
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache den Term jeweils.
a)
x3 · y5 · x4
a4 · b2 · (–a)
(–x)3 · 5y2 · 8x2
b)
s² · s²
x³ · (–3x)
5 · m² · m³
c)
25x³ · 4y
15a²b³ : 5
6y³ · 4b² · 2
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Jennifer möchte eine Kette aus Draht selbst herstellen. Jedes Glied der Kette soll hierbei quadratisch sein. Da sie noch nicht genau weiß, welche Größe genau die einzelnen Kettenglieder haben sollen, beabsichtigt sie hierfür zunächst einen Term aufzustellen.Selbstgemachte Kette
a) Anfangs soll die Kette aus 6 Gliedern bestehen. Die kleinen Punkte bei den Übergängen von Glied zu Glied sollen hierbei keine Rolle spielen. Stelle für die Drahtlänge d einen Term auf. Wie groß ist die Drahtlänge bei x = 1,5; x = 2; x = 3 (in cm).
b) Die Kette soll nun aus 25 Kettengliedern bestehen. Stelle erneut einen Term für die Drahtlänge d auf. Ermittle die Drahtlänge für x = 15; x = 19; x = 25 (in cm).
c) Die Kette soll n-Glieder vorweisen. Stelle hierfür einen Term auf.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse zunächst die Klammern auf, fasse anschließend zusammen.
a)
(x + 11) (x – 8)
(0,3 – 2x) (4x – 1,5)
(4a + 1) (8 – 7a)
b)
(${\frac{2}{5}}$ – s) (1 – s)
(5x + ${\frac{1}{4}}$y) (9x – ${\frac{1}{2}}$b)
(a – 0,3) (a + 7)
c)
(a + ${\frac{1}{8}}$) (${\frac{1}{8}}$ – a)
(7s – 3t) (${\frac{2}{3}}$s – ${\frac{3}{7}}$t)
(x + 2y) (x – y)
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Terme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache die Terme.
a)
44x : 2 = (44 : 2) · x = 22x
–28a : 7 = ((–28) : 7) · a = –4a
30c² : (–35) = (30 : (–35)) · c² = –${\frac{6}{7}}$c²
b)
(–4a) · (–11) · (–3) = (–4a) · 33 = ((–4) · 33) · a = –132a
5 · (–y) · 9 = 45 · (–y) = –45y
(–1) · (10s²) · (–8) = 8 · 10 · s² = 80s²
c) [latexpage] ${\frac{3}{10}}$ · 14s² · ${\frac{5}{6}}$ = ${\frac{15}{60}}$ · 14s² = ${\frac{1}{4}}$ · 14s² = ${\frac{1}{4}}$ · 14 · s² = ${\frac{14}{4}}$s² = 3,5s²
3a · 4 · (–5) = (–20) · 3a = (–20) · 3 · a = –60a
1,5 · (–0,2r) · 12 = 18 · (–0,2r) = 18 · (–0,2) · r = –3,6r
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache die Terme.
a)
x3 · y5 · x4 = x3+4 · y5 = x7 · y5
a4 · b2 · (–a) = –a4+1 · b2 = –a5 · b2
(–x)3 · 5y2 · 8x2 = –40x3+2 · y2 = –40x5 · y2
b)
s² · s² = s$^2^~+~2$ = s$^4$
x³ · (–3x) = (–3) · x$^3^~+~1$ = –3x$^4$
5 · m² · m³ = 5 · m$^2^~+~3$ = 5m$^4$
c)
25x³ · 4y = 25 · 4 · x³ · y = 100x³ y
15a²b³ : 5 = (15 : 5) · a²b³ = 3a²b³
6y³ · 4b² · 2 = 6 · 4 · 2 · y³ · b² = 48y³b² = 48b²y³
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Jenifer beabsichtigt aus Draht eine Kette zu machen. Alle Glieder der Kette sollen hierbei quadratisch sein. Da sie noch nicht genau weiß, wie groß jeweils die einzelnen Glieder der Kette sein sollen, möchte sie hierfür einen Term aufstellen.Selbstgemachte Kette
a) Die Kette soll anfänglich nur 6 Glieder vorweisen. Die einzelnen Punkte von Kettenglied zu Kettenglied spielen hierbei keine Rolle. Für die Drahtlänge d soll ein Term aufgestellt werden. Berechne die Drahtlänge für x = 1,5; x = 2; x = 3 (in cm).
Um den Term zu bestimmen, muss man nur abzählen, aus wie vielen Verbindungslinien bzw. Teilstrecken die Kette besteht.
d = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
= 19x
für x = 1,5 ergibt sich: 19 · 1,5 = 28,5
Bei einer Drahtlänge von 1,5 cm ist die Kette 28,5 cm lang.
für x = 2 ergibt sich: 19 · 2 = 38
Bei einer Drahtlänge von 2 cm ist die Kette 38 cm lang.
Für x = 3 ergibt sich: 19 · 3 = 57
Bei einer Drahtlänge von 3 cm ist die Kette 57 cm lang.
b) Die Kette soll nur aus 25 Kettengliedern bestehen. Hierfür soll erneut ein Term aufgestellt werden. Bestimme die Drahtlänge für x = 15; x = 19; x = 25 (in cm).
Aus den 6 Kettengliedern, die den Term 19x ergeben, lässt sich der Term für 25 Kettenglieder bestimmen (natürlich kann man aber auch die komplette Kette aufzeichnen und dann alle Verbindungslinien bzw. Teilstrecken der Kettenglieder abzählen).
Bei einer Kette mit 6 Gliedern ergeben sich 6 Verbindungslinien/Teilstrecken an einer Seite und 6 Verbindungslinien/Teilstrecken auf der anderen Seite sowie 7 dazwischen.
Bei einer Kette mit 25 Kettengliedern ergibt sich daher:
d = 25x + 25x + 26x = 76x
Für x = 15 gilt: 76 · 15 = 1140
Bei einer Drahtlänge von 15 cm ist die Kette 1140 cm lang.
Für x = 19 gilt: 76 · 19 = 1444
Bei einer Drahtlänge von 19 cm ist die Kette 1444 cm lang.
Für x = 19 gilt: 76 · 25 = 1900
Bei einer Drahtlänge von 25 cm ist die Kette 1900 cm lang.
c) Die Kette soll aus n-Gliedern bestehen. Stelle hierfür einen Term auf.
Bei n = 1 weist die Kette 4 gleichgroße Drahtlängen auf; bei n = 2 sind es 7 gleichgroße Drahtlängen; bei n = 3 sind es 10 gleichgroße Drahtlängen; bei n = 4 sind es 13 gleichgroße Drahtlängen; bei n = 5 sind es 16 gleichgroße Drahtlängen.
Wie man sieht, nehmen die Drahtlängen je Glied immer um 3 Drahtlängen zu, also um 3n. Das erste Glied besteht aber aus 4 Drahtlängen. Alle weiteren dann nehmen um 3n zu. Daher ist der Term für die Anzahl der Glieder: 3n + 1 (n > 0).
Bei n = 1 ergibt sich: 3 · 1 + 1 = 4
Bei n = 2 ergibt sich: 3 · 2 + 1 = 7
Bei n = 3 ergibt sich: 3 · 3 + 1 = 10
Bei n = 4 ergibt sich: 3 · 4 + 1 = 13
Bei n = 5 ergibt sich: 3 · 5 + 1 = 16
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zuerst sollen die Klammern aufgelöst werden, danach der Term zusammengefasst werden.
a)
(x + 11) (x – 8) =
x · x + x · (–8) + 11 · x + 11 · (–8) = x² – 8x + 11x – 88 = x² + 3x – 88
(0,3 – 2x) (4x – 1,5) =
0,3 · 4x + 0,3 · (–1,5) + (–2x) · 4x + (–2x) · (–1,5) = 1,2x – 0,45 – 8x + 3x = –3,8x – 0,45
(4a + 1) (8 – 7a) =
4a · 8 + 4a · (–7a) + 1 · 8 + 1 · (–7a) = 32a – 28a² + 8 – 7a = –28a² + 25a + 8
b)
(${\frac{2}{5}}$ – s) (1 – s) =
${\frac{2}{5}}$ · 1 + ${\frac{2}{5}}$ · (–s) + (–s) · 1 + (–s) · (–s) = ${\frac{2}{5}}$ – ${\frac{2}{5}}$s – s + s² = s² – ${\frac{7}{5}}$s + ${\frac{2}{5}}$
(5x + ${\frac{1}{4}}$y) (9x – ${\frac{1}{2}}$b) =
5x · 9x + 5x · (–${\frac{1}{2}}$b) + ${\frac{1}{4}}$y · 9x + ${\frac{1}{4}}$y · (–${\frac{1}{2}}$b) = 45x² – 2,5xb + 2,25yx – 0,125yb = 45x² – 2,5bx – 0,125by + 2,25xy
(a – 0,3) (a + 7) =
a · a + a · 7 + (–0,3) · a + (–0,3) · 7 = a² + 7a –0,3a – 2,1 = a² + 6,7a – 2,1
c)
(a + ${\frac{1}{8}}$) (${\frac{1}{8}}$ – a) =
${\frac{1}{8}}$ · ${\frac{1}{8}}$ – (a) · a = ${\frac{1}{64}}$ – a²
Hier liegt die 3. Binomische Formel vor.
(7s – 3t) (${\frac{2}{3}}$s – ${\frac{3}{7}}$t) =
7s · ${\frac{2}{3}}$s + 7s · (–${\frac{3}{7}}$t) + (–3t) · ${\frac{2}{3}}$s + (–3t) · (–${\frac{3}{7}}$t)) = ${\frac{14}{3}}$s² – 3st – 2ts + ${\frac{9}{7}}$t² = ${\frac{14}{3}}$s² – 5ts + ${\frac{9}{7}}$t²
(x + 2y) (x – y) =
x · x + x · (–y) + 2y · x + 2y · (–y) = x² – xy + 2yx – 2y² = x² +xy – 2y²