Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 9

Eine ''natürliche'' quadratische Ergänzung © olga meier-sander PIXELIO www.pixelio.de

Eine “natürliche“ quadratische Ergänzung © olga meier-sander PIXELIO www.pixelio.de

Die quadratische Ergänzung zur Lösung einer quadratischen Gleichung kann man in Mathe nicht oft genug üben! Dadurch „brennt“ sich zum einen dieser wichtige Lösungsweg zur Bestimmung der Lösung einer quadratischen Gleichung ein sowie insbesondere die binomischen Formeln. Das Entscheidende bei einer quadratischen Ergänzung stellt hierbei der Mittelterm der 1. oder 2. Binomischen Formel dar. Von diesem ausgehend ergänzt man ja mittels einer Äquivalenzumformung den 3. Einzelterm doppelt – indem man den Mittelterm zuerst durch den ersten Einzelterm der unaufgelösten Form und den Faktor 2 teilt. Darauf quadriert man jenen noch! Deshalb heißt ja in der Mathematik jene Algebra-Umformung quadratische Ergänzung. Hat man jedenfalls einmal den Umformungs-Prozess verstanden, ist die quadratische Ergänzung für Schülerinnen und Schüler ein Klacks.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ergänze auf beiden Seiten mittels quadratischer Ergänzung. Ermittle anschließend die Lösungsmenge und überprüfe diese durch Probe.

a)    x² – 11x + __ = –10 + __

b)    a² – 5a + __ = 42,75 + __

c)    n² + 7n + __ = 3,75 + __

d)    z² + 3z + __ = 33,75 + __

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die quadratische Gleichung mittels quadratischer Ergänzung. Führe anschließend eine Probe durch.

a)   x² + 12x + 32 = 0

b)   x² – 3x – 4 = 0

c)   x² + 4x – 5 = 0

d)   z² + 6z – 16 = 0

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Diskriminante. Gib die Anzahl der Lösungen an. Falls Lösungen vorliegen, ermittle deren Lösungsmenge.

a)   x² – 5x – 126 = 0

b)   –5y² + 30y = 0

c)   x² – 21x = 0

d)   4z² + 12z + 8 = 0

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösung der Gleichung.

a)   7y² + 8y + (2y + 3) (2y – 3) – (3y – 13)² – 2(y + 4)² = 0

b)   – (3x – 2) (2x + 1) (4x – 3) + x² + 47 + (4x + 5) (2x + 3) (3x – 4) = 0

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Mittels quadratischer Ergänzung soll auf beiden Seiten die Gleichung ergänzt werden. Daraufhin soll die Lösungsmenge ermittelt werden und diese mittels Probe überprüft werden.

a)    x² – 11x + __ = –10 + __

Der Term „– 11x“ durch „x“ und „2“ ist –5,5. Quadriert/(–5,5)² ergibt: 30,25.

x² – 11x + 30,25 = –10 + 30,25

x² – 11x + 30,25 = 20,25

(x – 5,5)² = 20,25           |   \sqrt{}

x – 5,5 = ± 4,5

x_1 = 4,5 + 5,5 = 10

x_2 = –4,5 + 5,5 = 1

L = {1; 10}

 

Probe:

 x² – 11x = –10

(1)² – 11 · 1 = –10

1 – 11 = –10

–10 = –10

 

 x² – 11x = –10

(10)² – 11 · 10 = –10

100 – 110 = –10

–10 = –10

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

b)    a² – 5a + __ = 42,75 + __

Der Term „–5a“ durch „a“ und „2“ geteilt, ist –2,5. Quadriert/(–2,5)²: 6,25.

a² – 5a + 6,25 = 42,75 + 6,25

a² – 5a + 6,25 = 49

(a – 2,5)² = 49                |   \sqrt{}

a – 2,5 = ± 7

a_1 = 7 + 2,5 = 9,5

a_2 = –7 + 2,5 = –4,5

L = {–4,5; 9,5}

 

Probe:

a² – 5a = 42,75

(–4,5)² – 5 · (–4,5) = 42,75

20,25 + 22,5 = 42,75

42,75 = 42,75

 

a² – 5a = 42,75

(9,5)² – 5 · (9,5) = 42,75

90,25 – 47,5 = 42,75

42,75 = 42,75

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungsmenge.

 

c)    n² + 7n + __ = 3,75 + __

Hier ist der Term „7n“ durch „n“ und durch „2“ gleich 3,5. Quadriert/(3,5)² ergibt sich: 12,25.

n² + 7n + 12,25 = 3,75 + 12,25

(n + 3,5)² = 16                |   \sqrt{}

n + 3,5 = ± 4

n_1 = 4 – 3,5 = 0,5

n_2 = –4 – 3,5 = –7,5

L = {–7,5; 0,5}

 

Probe:

(0,5)² + 7 · 0,5  = 3,75

0,25 + 3,5 = 3,75

3,75 = 3,75

 

(–7,5)² + 7 · (–7,5) = 3,75

56,25 – 52,5 = 3,75

3,75 = 3,75

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

d)    z² + 3z + __ = 33,75 + __

Der Term „3z“ geteilt durch „z“ und „2“ ergibt 1,5. Quadriert/(1,5)² = 2,25

z² + 3z + 2,25 = 33,75 + 2,25

(z + 1,5)² = 36                 |   \sqrt{}

z + 1,5 = ± 6

z_1 = 6 – 1,5 = 4,5

z_2 = –6 – 1,5 = –7,5

L = {–7,5; 4,5}

 

Probe:

(4,5)² + 3 · (4,5) = 33,75

20,25 + 13,5 = 33,75

33,75 = 33,75

 

(–7,5)² + 3 · (–7,5) = 33,75

56,25 – 22,5 = 33,75

33,75 = 33,75

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die Gleichung soll mittels quadratischer Ergänzung gelöst werden. Anschließend soll das Ergebnis mittels Probe überprüft werden.

a)   x² + 12x + 32 = 0

x² + 12x + 36 + 32 = 36

(x + 6)² + 32 = 36           |   – 32

(x + 6)² = 4                     |   \sqrt{}

x + 6 = ± 2

x_1 = 2 – 6 = –4

x_2 = –2 – 6 = –8

L = {–8; –4}

 

Probe:

(–8)² + 12 · (–8) + 32 = 0

64 – 96 + 32 = 0

0 = 0

 

(–4)² + 12 · (–4) + 32 = 0

16 – 48 + 32 = 0

0 = 0

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungsmenge.

 

b)   x² – 3x – 4 = 0

x² – 3x + 2,25 – 4 = 2,25

(x – 1,5)² – 4 = 2,25        |   + 4

(x – 1,5)² = 6,25              |   \sqrt{}

x – 1,5 = ± 2,5

x_1 = 2,5 + 1,5 = 4

x_2 = –2,5 + 1,5 = –1

L = {–1; 4}

 

Probe:

(4)² – 3 · (4) – 4 = 0

16 – 12 – 4 = 0

0 = 0

(–1)² – 3 · (–1) – 4 = 0

1 + 3 – 4 = 0

0 = 0

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

c)   x² + 4x – 5 = 0

x² + 4x + 4 – 5 = 4

(x + 2)² – 5 = 4                |   + 5

(x + 2) = 9                       |   \sqrt{}

x + 2 = ± 3

x_1 = 3 – 2 = 1

x_2 = –3 – 2 = –5

L = {–5; 1}

 

Probe:

(1)² + 4 · 1 – 5 = 0

1 + 4 – 5 = 0

0 = 0

 

(–5)² + 4 · (–5) – 5 = 0

25 – 20 – 5 = 0

0 = 0

Die Probe zeigt die Korrektheit der Lösungsmenge auf.

 

d)   z² + 6z – 16 = 0

z² + 6z + 9 – 16 = 9

(z + 3)² – 16 = 9              |   + 16

(z + 3)² = 25                    |   \sqrt{}

z + 3 = ± 5

z_1 = 5 – 3 = 2

z_2 = –5 – 3 = –8

L = {–8; 2}

 

Probe:

(2)² + 6 · 2 – 16 = 0

4 + 12 – 16 = 0

0 = 0

 

(–8)² + 6 · (–8) – 16 = 0

64 – 48 – 16 = 0

0 = 0

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Diskriminante. Ermittle die Anzahl der Lösungen. Falls eine Lösung vorliegt, gib deren Lösungsmenge an.

a)   x² – 5x – 126 = 0

Die Lösung einer quadratischen Gleichung in der sogenannten Normalform hängt von deren Diskriminante ab. Die Diskriminante ist bei der p-q-Formel (x1,2 = – {\frac{p}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}) der Term unter der Wurzel!

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Quadratische Gleichungen 2.5 Das Lösen von quadratischen Gleichungen mittels der p-q-Formel an.

 

x1,2 = {\frac{5}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{5}{2})^2+126}}

Die Diskriminante ist hier positiv. Daher weist dieses quadratische Gleichung zwei Lösungen auf.

x1,2 = 2,5 ± \sqrt{\ 6,25+126}}

x1,2 = 2,5 ± \sqrt{\ 132,25}}

x1,2 = 2,5 ± 11,5

x_1 = 2,5 + 11,5 = 14

x_2 = 2,5 – 11,5 = –9

L = {–9; 14}

 

b)   –5y² + 30y = 0            |   : (–5)

y² – 6y = 0

y1,2 = {\frac{6}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{6}{2})^2-0}}

Die Diskriminante ist hier positiv. Daher weist diese quadratische Gleichung zwei Lösungen auf.

y1,2 = 3 ± \sqrt{\ 9}}

y1,2 = 3 ± 3

y_1 = 3 + 3 = 6

y_2 = 3 – 3 = 0

L = {0; 6}

 

c)   x² – 21x = 0

x1,2 = {\frac{21}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{21}{2})^2-0}}

Die Diskriminante ist hier positiv. Daher hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

10,5 ± \sqrt{\ 110,25}}

10,5 ± 10,5

x_1 = 10,5 + 10,5 = 21

x_2 = 10,5 – 10,5 = 0

L = {0; 21}

 

d)   4z² + 12z + 8 = 0             |   : 4

z² + 3z + 2 = 0

z1,2 = –{\frac{3}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{3}{2})^2-2}}

z1,2 = –1,5 ± \sqrt{\ 2,25-2}}

z1,2 = –1,5 ± \sqrt{\ 0,25}}

Die Diskriminante ist hier positiv. Daher gibt es bei dieser quadratischen Gleichung zwei Lösungen.

z1,2 = –1,5 ± 0,5

z_1 = –1,5 + 0,5 = –1

z_2 = –1,5 – 0,5 = –2

L = {–2; –1}

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung.

a)   7y² + 8y + (2y + 3) (2y – 3) – (3y – 13)² – 2(y + 4)² = 0

7y² + 8y + 4y² – 9 – (9y² – 78y + 169) – 2(y² + 8y + 16) = 0

7y² + 8y + 4y² – 9 – 9y² + 78y – 169 – 2y² – 16y – 32 = 0

70y – 210 = 0         |  + 210

70y = 210               |  : 70

y = 3

L = {3}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Erläuterungen ergänzend an.

 

b)   – (3x – 2) (2x + 1) (4x – 3) + x² + 47 + (4x + 5) (2x + 3) (3x – 4) = 0

– (6x² + 3x – 4x – 2) (4x – 3) + x² + 47 + (8x² + 12x + 10x + 15) (3x – 4) = 0

– (6x² – x – 2) (4x – 3) + x² + 47 + (8x² + 22x + 15) (3x – 4) = 0

– (24x³ – 4x² – 8x – 18x² + 3x + 6) + x² + 47 + (24x³ + 66x² + 45x – 32x² – 88x – 60) = 0

– (24x³ – 22x² – 5x + 6) + x² + 47 + (24x³ + 34x² – 43x – 60) = 0

–24x³ + 22x² + 5x – 6 + x² + 47 + 24x³ + 34x² – 43x – 60 = 0

57x² – 38x – 19         | : 57

x² – {\frac{2}{3}x – {\frac{1}{3}

 

x1,2 = {\frac{1}{3} ± \sqrt{\ ({\frac{1}{3})^2+{\frac{1}{3}}}

x1,2 = {\frac{1}{3} ± \sqrt{\ {\frac{1}{9}+{\frac{1}{3}}}

x1,2 = {\frac{1}{3} ± \sqrt{\ {\frac{4}{9}}}

x1,2 = {\frac{1}{3} ± {\frac{2}{3}

x_1{\frac{1}{3}{\frac{2}{3} = 1

x_2{\frac{1}{3} – {\frac{2}{3} = –{\frac{1}{3}

L = {–{\frac{1}{3}; 1}

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