Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 6

Kalkulation des Eigenheims © Tim Reckmann PIXELIO www.pixelio.de

Kalkulation des Eigenheims © Tim Reckmann PIXELIO www.pixelio.de

Es soll ja noch vorkommen, dass Menschen hierzulande bauen wollen, sprich ein Eigenheim haben wollen. Um ein Eigenheim zu realisieren, sind sehr, sehr viele Schritte notwendig – die alle wohlweislich geplant sein sollten. Ansonsten droht einem scheller ein finanzielles Fiasko, als man denkt. Ein sehr wichtiger Schritt zur Realisation eines Eigenheimes stellt hierbei der Bauplatz dar. Ein Haus muss ja irgendwo stehen! Oftmals hat man für sein geplantes eigenes Haus keinen Bauplatz – und muss diesen daher erst kaufen. Und hier kommt die Mathematik ins Spiel – sowie viel, viel an Geld. Ein Bauplatz ist ja nichts anderes als eine Fläche, die man berechnen kann. Das Gleiche gilt natürlich für deren Preis!

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet: der Flächeninhalt von Vielecken

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Familie Müller möchte in Astadt ein Haus bauen. Es wird ihnen ein rechteckiges Grundstück angeboten, das folgende Seitenlängen hat: a = 35,20 m und b = 22,40 m. Der Quadratmeterpreis für das Grundstück kostet 212 €.

a) Wie groß ist die Fläche des Grundstücks?

b) Wie viel muss Familie Müller für das Grundstück bezahlen.

c) Ein Teil der Fläche (a = 8,40 m und b = 22,40 m) soll ein Rasen sein und mit ganzen Rasenquadraten ausgelegt werden. Jedes einzelne Rasenquadrat hat hierbei die Seitenlänge 1 m. Wie viele Rasenquadrate können auf dem Rasen ausgelegt werden?

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Rechne in die in der Klammer angegebenen Einheit um.

a)    5200 m²   (dm²)

400 m²   (a)

300 a    (m²)

 

b)    50000 ha   (m²)

70000 ha   (km²)

4200 a   (ha)

 

c)    380 ha    (m²)

48 ha   (km²)

700 m²   (a)

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ist die Aussage wahr oder falsch?

a) Konkruente Vielecke besitzen stets den gleichen Flächeninhalt.

b) Vielecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, sind stets zueinander konkruent.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die fehlende Größe eines Trapezes.

a)     Seitenlänge a:      4 cm

Seitenlänge c:      15 cm

Höhe h:                 6 cm

Flächeninhalt AT:     ?

 

b)    Seitenlänage a:      3,5 cm

Seitenenlänge c:    5,5 cm

Höhe h:                    ?

Flächeninhalt AT:   36 cm²

 

c)    Seitenlänge a:          ?

Seitenlänge c:        6 cm

Höhe h:                   6 cm

Flächeninhalt AT:    33 cm²

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet: der Flächeninhalt von Vielecken

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Familie Müller beabsichtigt in Astadt ein Haus zu bauen. Sie bekommen ein rechteckiges Grundstück angeboten, das die Seitenlänge a = 35,20 m und die Seitenlänge b = 22,40 m vorweist. Hierbei kostet der Quadratmeterpreis für das Grundstück 212 €.

a) Wie groß ist die Fläche des Bauplatzes?

b) Wie hoch ist der Kaufpreis des Bauplatzes?

c) Auf einem Teil der Fläche (a = 8,40 m und b = 22,40 m) will Familie Müller einen Rasen mit ganzen Rasenquadraten anlegen. Jedes einzelne Quadrat weist hierbei die Seitenlänge 1 m auf. Wie viele Rasenquadrate können insgesamt auf der gesamten Rasenfläche ausgelegt werden?

 

Bevor man mit der Lösung der Aufgabe beginnt, macht man hierzu eine Skizze!

Skizze Bauplan mit Haus und Garten

Skizze Bauplan mit Haus und Garten

a) Die Fläche des Bauplatzes ist ein Rechteck. Die Berechnung einer Rechteckfläche geht immer über diese Formel:

 AR = a · b

AR = 35,20 m · 22,40 m

A= 788,48 m²

Die Fläche des Bauplatzes beträgt 788,48 m².

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Flächeninhalt 3. Flächeninhalt bei einem Rechteck an.

 

b) Die Kosten des Grundstücks kann man ganz einfach über einen Dreisatz ermitteln.

1 m²              –              212 €                    |  · 788,48

788,48 m²     –              167157,76 €

Der Kaufpreis für den Bauplatz beträgt 167157,76 €.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Dreisatz 1. Allgemeines zum Dreisatz und proportionalen Zuordnungen an.

 

c) Ein Rasenquadrat weist die Fläche 1 m² auf (1 m · 1 m). Um die Anzahl an Rasenquadraten berechnen zu können, muss man nun die ganzzahligen Seitenlängen miteinander malnehmen. Ganzzahlig ist deshalb wichtig, da ja die Rasenquadrate auch nur ganzflächig verleckt werden können.

Fläche für die Rasenquadrate:    A = 8 m · 22 m

A = 176 m²

Da 1 m² einem Rasenquadrat entspricht, werden für den Rasen 176 Rasenquadrate benötigt.

Für den Garten des Hauses können 176 Rasenquadrate verwendet werden.

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Rechne in die Einheit um, die in der Klammer steht.

a)    5200 m²   (dm²)

5200 m² (mal 100) = 520000 dm²

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Umrechnen von Größen das dort Dargelegte ergänzend an.

 

400 m²   (a)

400 m² (durch 100) = 4a

 

300 a    (m²)

300 a (mal 100) = 30000 m²

 

b)    50000 ha   (m²)

50000 ha (mal 100, mal 100) = 500000000 m²

 

70000 ha   (km²)

70000 ha (durch 100) = 700 km²

 

4200 a   (ha)

4200 a (durch 100) = 42 ha

 

c)    380 ha    (m²)

380 ha (mal 100, mal 100) = 3800000 m²

 

48 ha   (km²)

48 ha (durch 100) = 0,48 km²

 

700 m²   (a)

700 m² (durch 100) = 7 a

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Stimmt die Aussage oder stimmt die Aussage nicht?

a) Konkruente Vielecke weisen stets den gleichen Flächeninhalt vor.

Die Aussage ist wahr. Konkruent heißt ja deckungsgleich. Daher besitzen konkruente Vielecke stets zueinander eine deckungsgleiche Fläche und somit auch einen gleich großen Flächeninhalt.

 

b) Vielecke, die einen gleichen Flächeninhalt vorweisen, sind zueinander stets konkruent.

Die Aussage ist falsch. Ein Dreieck und ein Viereck können zwar beispielsweise den gleichen Flächeninhalt haben, sie sind aber nicht konkruent zueinander.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die fehlende Größe des Trapezes.

a)     Seitenlänge a:      4 cm

Seitenlänge c:      15 cm

Höhe h:                 6 cm

Flächeninhalt AT:     ?

 

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes ist:

AT = \frac{(\mathrm a~+~\mathrm c)\ {\cdot}~\mathrm h}{2}

AT\frac{(4~\mathrm c\mathrm m~+~15~\mathrm c\mathrm m)\ {\cdot}~6~\mathrm c\mathrm m}{2}

AT\frac{(19~\mathrm c\mathrm m)\ {\cdot}~6~\mathrm c\mathrm m}{2}

AT\frac{114~\mathrm c\mathrm m}{2}

AT = 57 cm²

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Flächeninhalt 6. Flächeninhalt eines Trapezes an.

 

b)    Seitenlänage a:      3,5 cm

Seitenenlänge c:    5,5 cm

Höhe h:                    ?

Flächeninhalt AT:   36 cm²

 

AT = \frac{(\mathrm a~+~\mathrm c)\ {\cdot}~\mathrm h}{2}          |  · 2

AT · 2 = (a + c) · h       |  : (a + c)

\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm a~+~\mathrm c} = h

h = \frac{2\ {\cdot}~\mathrm A_{\mathrm T}}{\mathrm a~+~\mathrm c}

h = \frac{2\ {\cdot}~36~\mathrm c\mathrm m^2}{3,5~\mathrm c\mathrm m~+~5,5~\mathrm c\mathrm m}

h = \frac{72~\mathrm c\mathrm m^2}{9~\mathrm c\mathrm m}

h = 8 cm

 

c)    Seitenlänge a:          ?

Seitenlänge c:        6 cm

Höhe h:                   6 cm

Flächeninhalt AT:    33 cm²

 

AT = \frac{(\mathrm a~+~\mathrm c)\ {\cdot}~\mathrm h}{2}          |  · 2

AT · 2 = (a + c) · h       |  : h

\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm h} = a + c             |  – c

\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm h} – c = a

a = \frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm h} – c

a = \frac{33~\mathrm c\mathrm m^2\ {\cdot}~2}{\mathrm 6~\mathrm c\mathrm m} – 6 cm

a = \frac{66~\mathrm c\mathrm m^2}{\mathrm 6~\mathrm c\mathrm m} – 6 cm

a = 10 cm – 6 cm

a = 4 cm

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