Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Funktionen, Teil 3

Der Graph einer Betragsfunktion

Funktionen können in der Mathematik immer in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Die Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem nennt man den Graph der Funktion. Der Graphen einer Funktion kann hierbei einen ununterbrochen durchgängigen Verlauf vorweisen oder auch eine oder mehrere sogenannte Lücken haben. Eine Lücke stellt nämlich eine Stelle an einer Funktion dar, wo die Funktion nicht definiert ist. Bei der Funktionsgleichung einer Funktion kann man das bereits ebenso sehen, ob eine Funktion unterbrochen ist oder nicht. Besteht die Funktion beispielsweise aus einem Bruchterm, so weist deren Verlauf höchstwahrscheinlich eine oder mehrere Lücken auf. Ebenso zeigen sich Lücken bei der Definitionsmenge. Alle Zahlen, die bei der Definitionsmenge einer Funktion ausgeschlossen sind, sind Lücken bei deren Graphen.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Funktionen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Funktionsterm und Graph einer Funktion. Löse zuerst die Gleichung nach y hin auf, gib darauf den Funktionsterm an. Zeichne anschließend den Graphen der Funktion.

a)   y – 3 = x

b)   x + y = 0

c)   9y + 18 + 6x = 0

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Liegt eine Funktion vor oder nicht? Setze hierzu mehrmals für x eine Zahl ein und überprüfe, ob eine eindeutige Zuordnung vorliegt. Falls das der Fall ist, löse die Gleichung nach y hin auf.

a)    \frac{\mathrm y}{\mathrm x}\frac{\mathrm x}{4}

b)   x³ = y³

c)   x – |y| = 1

d)   x · y = 0

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Liegt bei der Darstellung eine Funktion vor oder nicht? Begründe die Entscheidung.

a)

Erste Darstellung im Koordinatensystem, eine Kurve

Erste Darstellung im Koordinatensystem, eine Kurve

 

b)

Zweite Darstellung im Koordinatensystem, ein Kreis

Zweite Darstellung im Koordinatensystem, ein Kreis

 

c)

Dritte Darstellung im Koordinatensystem, zwei Kurven

Dritte Darstellung im Koordinatensystem, zwei Kurven

 

d)

Vierte Darstellung im Koordinatensystem, eine Gerade mit einer Lücke

Vierte Darstellung im Koordinatensystem, eine Gerade mit einer Lücke

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Nach der Reihe soll in den Funktionsterm für x s, 2s, s – 8 eingesetzt werden. Anschließend soll der Term so weit wie möglich vereinfacht werden.

a)   1 – \frac{\mathrm x}{2}

b)   x – \frac{1}{2}

c)   x(x + 8)

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Funktionen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme den Funktionsterm und zeichne den Graph der Funktion. Als Erstes soll die Gleichung nach y hin aufgelöst werden, darauf der Funktionsterm angegeben werden. Darauf soll der Graph der Funktion gezeichnet werden.

a)   y – 3 = x          |  + 3

y = x + 3

Der Funktionsterm ist: x + 3

Funktion, Aufgabe a)

Funktion, Aufgabe a)

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe auch ergänzend unter dem Reiter Lineare Funktionen die dort gemachten Ausführungen an.

 

b)   x + y = 0          |  – x

y = –x

Der Funktionsterm ist hier: –x

Funktion, Aufgabe b)

Funktion, Aufgabe b)

 

c)   9y + 18 + 6x = 0        |  – 6x

9y + 18 = –6x           |  – 18

9y =  –6x – 18          |  : 9

y = –\frac{2}{3}x – 2

Der Funktionsterm ist: –\frac{2}{3}x – 2

Funktion, Aufgabe c)

Funktion, Aufgabe c)

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Handelt es sich um eine Funktion oder nicht? Setze für die Variable x mehrmals eine Zahl ein und zeige auf, dass eine eindeutige Zuordnung vorliegt. Ist das der Fall, dann soll die Gleichung nach y hin aufgelöst werden.

a)    \frac{\mathrm y}{\mathrm x}\frac{\mathrm x}{4}

Eine eindeutige Zuordnung liegt vor, wenn sich nach Einsetzen einer Zahl für x der y-Wert eindeutig bestimmen lässt.

für x = 1 gilt:   \frac{\mathrm y}{1}\frac{1}{4};    y ist hier: \frac{1}{4}

für x = –1 gilt:   \frac{\mathrm y}{-1}\frac{-1}{4};    y ist hier: \frac{1}{4}

für x = 0 gilt:    nicht definiert.

Bei x = 1 und x = –1 kann man die Gleichung nach y hin auflösen und y eindeutig bestimmen. Bei x = 0 ist die Gleichung nicht definiert, d. h. die Zahl 0 muss aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Dennoch liegt eine eindeutige Zuordnung hier vor.

\frac{\mathrm y}{\mathrm x}\frac{\mathrm x}{4}       |  · x     (für x ≠ 0)

y = \frac{\mathrm x}{4} · x

y = \frac{\mathrm x^2}{4}

 

b)   x³ = y³

für x = 1 gilt:    (1)³ = y³;    y ist hier: 1

für x = –1 gilt:   (–1)³ = y³;   y ist hier: –1

für x = 0 gilt:   (0)³ = y³;   y ist hier: 0

Hier liegt ebenfalls eine eindeutige Zuordnung vor.

x³ = y³       |  \sqrt[3]{}

y = \sqrt[3]{\mathrm x^3}

y = x

 

c)   x – |y| = 1

für x = 2 gilt:   2 – |y| = 1;   –|y| = –1

für x = –2 gilt:   –2 – |y| = 1;   –|y| = 3

für x = 0 gilt:   0 – |y| = 1;   –|y| = 1

Hier liegt keine Funktion vor. Denn bei bei x = 2 kann beispielsweise y = 1 und –1 sein. Das widerspricht aber einer eindeutigen Zuordnung, da bei einer Funktion einem x nur ein y zugeordnet werden darf. Bei x = –2 und x = 0 liefert die Gleichung gar keine Lösung, d. h. es kann gar kein y gefunden werden, dass die Gleichung wahr ist. Das widerspricht ebenso einer eindeutigen Zuordnung und somit der Definition einer Funktion.

 

d)   x · y = 0

für x = 1 gilt:   1 · y = 0;   y = 0

für x =  –1 gilt:   (–1) · y = 0;   y = 0

für x = 0 gilt:   (0) · y = 0;   y = 0

Hier liegt eine Funktion vor, da eine eindeutige Zuordnung gegeben ist.

x · y = 0         |  : x     (für x ≠ 0)

y = 0

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ist bei der Darstellung eine Funktion gegeben oder nicht? Begründe dies.

a)

Erste Darstellung im Koordinatensystem, eine Kurve

Erste Darstellung im Koordinatensystem, eine Kurve

Hier liegt eine Funktion vor. Jedem x wird nur ein y-Wert zugeordnet.

 

b)

Zweite Darstellung im Koordinatensystem, ein Kreis

Zweite Darstellung im Koordinatensystem, ein Kreis

Hier liegt keine Funktion vor. Ein x-Wert weist hier zwei y-Werte auf.

 

c)

Dritte Darstellung im Koordinatensystem, zwei Kurven

Dritte Darstellung im Koordinatensystem, zwei Kurven

Hier liegt eine Funktion vor. Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet.

 

d)

Vierte Darstellung im Koordinatensystem, eine Gerade mit einer Lücke

Vierte Darstellung im Koordinatensystem, eine Gerade mit einer Lücke

Hier liegt keine Funktion vor. Funktionen weisen nur, wenn überhaupt, Lücken auf, keine „Löcher“.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: In den Funktionsterm soll der Reihe nach für x s, 2s und s – 8 eingesetzt werden. Daraufhin soll der Term, falls möglich, vereinfacht werden.

a)   1 – \frac{\mathrm x}{2}

 

s:   1 – \frac{\mathrm s}{2}

 

2s:   1 – \frac{2\mathrm s}{2} =

1 – s

 

s – 8:   1 – \frac{\mathrm s~-~8}{2} =

1 – \frac{\mathrm s}{2} – \frac{8}{2} =

1 – \frac{\mathrm s}{2} – 4 =

\frac{\mathrm s}{2} – 3

 

b)   x – \frac{1}{2}

 

s:   s – \frac{1}{2}

 

2s:   2s – \frac{1}{2}

 

s – 8:   s – 8 – \frac{1}{2} =

s – 7,5

 

c)   x(x + 8)

 

s:   s(s + 8) =

· s + s · 8 =

s² + 8s

 

2s:   2s(2s + 8) =

2s · 2s + 2s · 8 =

4s² + 16s

 

s – 8:    (s – 8) · (s – 8 + 8) =

(s – 8) · s =

· s + (–8) · s =

s² – 8s

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