Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Funktionen, Teil 1

Normalparabel, Geodreieck und Lineal © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Normalparabel, Geodreieck und Lineal © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Nach linearen Funktionen werden im Fach Mathematik ausgiebig quadratische Funktionen behandelt. Der Funktionsterm von quadratischen Funktionen weist hierbei immer eine Variable mit der Potenz zwei (x²) auf. Den Graph solcher Funktionen nennt man eine Parabel. Weist eine quadratische Funktion vor dem x² keinen Faktor auf (außer natürlich den Faktor 1 😉 ), ist der Graph der Funktion immer eine sogenannte Normalparabel. Praktischerweise gibt es hierfür extra Normalparabel-Schablonen, mit denen man den Graph in Nullkommanix in ein Koordinatensystem einzeichnen kann. Quadratische Funktionen sind genauso wie linearen Funktionen in Mathe superwichtig. Diese beiden Funktionen bilden die Säulen der späteren Analysis, bei der über ein komplettes Schuljahr Funktionsuntersuchungen auf der Schülerinnen- und Schüler-Agenda stehen. Je besser man hierbei zuvor diese beiden Stoffgebiete verstanden hat, umso leichter fällt einem das „Mathematikfunktionsuntersuchungsschuljahr“.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Funktionen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Auf einer Normalparabel liegen verschiedene Punkte. Ermittle die fehlenden Koordinaten.

a)  P_1 (2,6| _ )

b)  P_2 ( _ |0)

c)  P_3 ( _ |0,81)

d)  P_4 (1,2| _ )

e)  P_5 (–1,4| _ )

f)   P_6 ( _ |2,25)

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne eine  Normalparabel für –3 ≤ x ≤ 3. Welche y-Werte hat die Funktion an den Stellen 0,7; 1,4; 2,8; –0,3; –1,8; 2,3? Überprüfe rechnerisch die herausgelesenen Werte.

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Lege dar, für welche Werte von x gilt: x² < x.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne eine Normalparabel ohne Schablone nach einfachem Schema.

a)    Zeichne zuerst den Scheitelpunkt der Funktion ein.

b)    Von dort aus geht man 1 nach rechts [links] und 1 nach oben.

c)   Von dort geht man 2 nach rechts [links] und 4 nach oben.

Verfahre bei anderen Koordinaten genauso und zeichne dann die Normalparabel in ein Koordinatensystem.

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Verschiedene Punkte liegen auf einer Normalparabel. Bestimme deren fehlende Koordinaten.

a)  P_1 (2,6| _ )

Der Funktionsterm bei einer Normalparabel ist: x². Die Normalparabel als Funktion lautet: y = x². Bei einer Koordinate gilt: (x|y). Die erste Zahl der Koordinate ist der x-Wert, der zweite Wert ist der y-Wert.

y = x²

y = (2,6)²

y = 6,76

Die Koordinate ist: P_1 (2,6|6,76)

 

b)  P_2 ( _ |0)

y = x²

0 = x²              |   \sqrt{}

±\sqrt{0} = x

x = 0

Hier ist die Koordinate: P_2 (0|0).

 

c)  P_3 ( _ |0,81)

y = x²

0,81 = x²         |   \sqrt{}

±\sqrt{0,81} = x

±0,9 = x

Hier ist die Koordinate: P_3 (–0,9|0,81); P_3 (0,9|0,81).

 

d)  P_4 (1,2| _ )

y = x²

y = (1,2)²

y = 1,44

Hier ist die Koordinate: P_4 (1,2|1,44)

 

e)  P_5 (–1,4| _ )

y = x²

y = (–1,4)²

y = 1,96

 

f)   P_6 ( _ |2,25)

y = x²

2,25 = x²         |   \sqrt{}

±\sqrt{2,25} = x

±1,5 = x

Hier ist die Koordinate: P_6 (–1,5|2,25); P_6 (1,5|2,25).

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Es soll für –3 ≤ x ≤ 3 eine Normalparabel gezeichnet werden. Ermittle die y-Werte an den Stellen: 0,7; 1,4; 2,8; –0,3; –1,8; 2,3. Überprüfe ebenfalls rechnerische die herausgelesenen Werte.

Eine Normalparabel im Koordinatensystem

Eine Normalparabel im Koordinatensystem

Folgende Werte kann man aus den x-Werten für y von der eingezeichneten Normalparabel herauslesen:

Bei x = 0,7 ist y = 0,5;

bei x = 1,4 ist y = 2;

bei x = 2,8 ist y = ;

bei –0,3 ist y = 0,1;

bei –1,8 ist y = 3,2;

bei 2,3 ist y = 5,3.

 

Die rechnerischen Werte sind:

Bei x =  0,7:   (0,7)² = 0,49:   y = 0,49;

bei x = 1,4:   (1,4)² = 1,96:   y = 1,96;

bei x = 2,8:   (2,8)² = 7,84:   y = 7,84;

bei x = –0,3:   (–0,3)² = 0,09:   y = 0,09;

bei x = –1,8:   (–1,8)² = 3,24:   y = 3,24;

bei x = 2,3:   (2,3)² = 5,29:   y = 5,29.

Wie man sieht, sind die herausgelesenen Werte nie so exakt wie die rechnerisch ermittelten Werte.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Quadratische Funktionen die dort gemachten Darlegungen an.

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige auf, für Welche Werte von x gilt: x² < x.

Bei allen Werten von x > 1 ist x² > x. Das liegt an dem Potenzieren des x-Wertes.

Beispiel:   (2)² = 4

Genauso verhält es sich bei allen Werten von x < –1. Aufgrund des Potenzierens sind alle x² > x.

Beispiel:   (–2)² = 4

Nun bleiben noch zwei Zahlenbereiche übrig. Der Bereich von –1 < x < 0 . Hier gilt das Gleiche wie für x < ––1. Da der x-Wert potenziert wird ist er größer null und daher größer als der normale x-Wert, der ja negativ ist demzufolge kleiner null.

Beispiel:   (–0,5)² = 0,25

Es bleibt also nur noch der Zahlenbereich von 0 < x < 1 übrig. Und hier ist tatsächlich der x-Wert größer als der potenzierte Wert. Das liegt daran, dass nach dem Potenzieren, der x-Wert in diesem Zahlenbereich kleiner wird.

Beispiel:   (0,5)² = 0,25

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Eine Normalparabel soll ohne Schablone nach folgendem Schema eingezeichnet werden.

a)   Der Scheitelpunkt der Funktion soll als Erstes gezeichnet werden.

b)   Von dieser Stelle geht man 1 nach rechts [links] und 1 nach oben.

c)   Von dieser Stelle geht man 2 nach rechts [links] und 4 nach oben.

Bei anderen Koordinaten soll genauso verfahren werden und anschließend soll die Normalparabel in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Die Normalparabel mit verschiedenen eingezeichneten Koordinaten

Die Normalparabel mit verschiedenen eingezeichneten Koordinaten

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