Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 4

Routine beim Rechnen © teles5 PIXELIO www.pixelio.de

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Lineare Gleichungssysteme sollte man in Mathe anfangs nach dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Einsetzungsverfahren mannigfach lösen. So bekommt man die nötige Routine für das Lösen von Gleichungssystemen an sich und auch ein Auge für das jeweils passende Lösungsverfahren, das am schnellsten zu der gewünschten Lösung führt. Das ist aber nicht das wirklich entscheidende bei diesen beiden Lösungsverfahren. Viel wichtiger ist die Routine beim Lösen. Dann ist man nämlich schließlich auch fit für das eigentlich wichtigste Lösungsverfahren für lineare Gleichungen: das Additionsverfahren (und Subtraktionsverfahren). Das Lösungsverfahren ist schließlich zum einen etwas schwieriger als die anderen beiden, dafür aber auch viel besser geeignet – für komplexere Gleichungssysteme. Bei den anderen beiden wird das dann schnell bei umfangreicheren Gleichungssystemen sehr unübersichtlich und demzufolge supernervig.

 

Aufgaben zum Stoffgebiet Lineare Gleichungssysteme

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung des linearen Gleichungssystems. Ziehe hierfür das Gleichsetzungsverfahren heran.

a)     I.   16a = 13 – 21b

II.   –16a = 15 + 25b

 

b)     I.   5r = 2s – 1

II.   5r = 3s – 6

 

c)     I.   x = 2y – 7

II.   2x = –y + 11

 

d)     I.   –16r = 15 + 25s

II.     16r = 13 – 21s

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das lineare Gleichungssystem mittels des Einsetzungsverfahren.

a)     I.   8x – 9y = 10

II.   2x + 9y = 25

 

b)     I.   2s + 3 = 4r

II.   2s = 5r – 1

 

c)     I.    2a = –4b – 3

II.    9b + 6a = 5

 

d)     I.    3x = –6y + 30

II.    7y – 3x = 9

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das lineare Gleichungssystem entweder mittels des Einsetzungsverfahrens oder des Gleichsetzungsverfahrens.

a)     I.   25y = 77 – 13x

II.   26x – 75y = 29

 

b)     I.   9x – 3y = 6

II.   2y = 6x – 4

 

c)     I.    2x = 5y – 1

II.    2x + 3 = 4y

 

d)     I.   4x + 12y = 8

II.   3y = –x + 2

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösung des LGS (linearen Gleichungssystems). Löse dieses entweder mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens oder des Einsetzungsverfahrens.

Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 12. Vertauscht man die beiden Ziffern der Zahl, so erhält man eine Zahl, deren Zahl um 36 größer ist. Wie heißt die Zahl?

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Lineare Gleichungssysteme

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme für das linearere Gleichungssystem mittels Gleichsetzungsverfahren dessen Lösungsmenge.

a)     I.   16a = 13 – 21b

II.   –16a = 15 + 25b

Um hier die erste und die zweite Gleichung gleichsetzen zu können, muss man eine der beiden mit dem Fatkor „–1“ malnehmen.

II.   –16a = 15 + 25b         |   · (–1)

II.      16a = 15 25b

Jetzt kann man beide Gleichungen gleichsetzen.

I. = II.     13 – 21b = 15 25b      |    + 25b

I. = II.     13 + 4b = 15                 |     – 13

I. = II.     4b = –28                         |     : 4

I. = II.     b = 7

 

I.      16a = 13 – 21 · (7)

I.      16a = 13 + 147

I.      16a = 160              |     : 16

I.          a = 10

 

L = {10|7}

 

Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mittels des Gleichsetzungsverfahrens siehe auch unter dem Reiter Gleichsetzungsverfahren die dort gemachten Ausführungen an.

 

b)     I.   5r = 2s – 1

II.   5r = 3s – 6

 

I. = II.    2s – 1 = 3s – 6     |     – 2s

I. = II.    –1 = s – 6             |     + 6

I. = II.      5 = s

 

I.    5r = 2 · 5 – 1

I.    5r = 10 – 1

I.    5r = 9          |   : 5

I.    r = 1,8

 

L = {1,8|5}

 

c)     I.   x = 2y – 7

II.   2x = –y + 11

 

I.   x = 2y – 7        |   · 2

I.   2x = 4y – 14 

 

I. = II.       4y – 14 = –y + 11     |   + y

I. = II.       5y – 14 = + 11         |    + 14

I. = II.      5y = 25                     |     : 5

I. = II.      y = 5

 

I.   x = 2 · 5 – 7

I.   x = 10 – 7

I.   x = 3

 

L = {3|5}

 

d)     I.   –16r = 15 + 25s

II.     16r = 13 – 21s

 

I.   –16r = 15 + 25s          |   · (–1)

I.   16r = 15  25s

 

I. = II.       15  25s = 13 – 21s    |  + 25s

I. = II.       15 = 13 + 4s                |   13

I. = II.       28 = 4s                        |     : 4

I. = II.       7 = s

 

II.     16r = 13 – 21 · (7)

II.     16r = 13 + 147

II.     16r = 160               |     : 16

II.      r = 10

 

L = {10|7}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge des llinearen Gleichungssystems (LGS) mittels des Einsetzungsverfahrens.

a)     I.   8x – 9y = 10          |     + 9y

II.   2x + 9y = 25

Hier muss man zunächst noch eine der beiden Gleichungen derart umformen, dass auf der einen Seite ein Term steht, der in der anderen Gleichung genauso auftritt, und auf der anderen Seite der Gleichung die Terme, die man in die andere Gleichung einsetzen möchte.

I.   8x = 10 + 9y           |     – 10

II.   2x + 9y = 25

 

I.   8x – 10 = 9y

II.   2x + 9y = 25

 

I. in II.    2x + 8x – 10 = 25

I. in II.    10x – 10 = 25                 |     + 10

I. in II.    10x = 35                         |     : 10

I. in II.        x = 3,5

 

8 · (3,5) = 10 + 9y

28 = 10 + 9y                                |     – 10

18 = 9y                                        |      : 9

2 = y

 

L = {3,5|2}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS) mittels des Einsetzungsverfahrens siehe auch unter dem Reiter Einsetzungsverfahren die dort gemachten Ausführungen ergänzend an.

 

b)     I.   2s + 3 = 4r

II.   2s = 5r – 1

 

II. in I.     5r – 1 + 3 = 4r

II. in I.     5r + 2 = 4r                 |     – 4r

II. in I.       r + 2 = 0                  |     – 2

II. in I.       r = 2

 

II.   2s = 5 · (2) – 1

II.   2s = –10 – 1

II.   2s = –11                            |     : 2

II.   s = –5,5

 

L = {2|–5,5}

 

c)     I.    2a = –4b – 3                     |     · 3

II.    9b + 6a = 5

 

I.    6a = –12b – 9

II.    9b + 6a = 5

 

I. in II.     9b –12b – 9 = 5

I. in II.     –3b – 9 = 5               |     + 9

I. in II.     –3b = 14                   |     : (–3)

I. in II       b = {\frac{14}{3}

 

I.    2a = –4 · (–{\frac{14}{3}) – 3

I.    2a = {\frac{56}{3} – 3

I.    2a = {\frac{47}{3}          |     : 2

I.      a = {\frac{47}{6}

 

L = {{\frac{47}{6}|{\frac{14}{3}}

 

d)     I.    3x = –6y + 30

II.    7y – 3x = 9

 

I. in II:     7y – (–6y + 30) = 9

I. in II:     7y + 6y – 30 = 9

I. in II:     13y – 30 = 9                     |     + 30

I. in II:     13y = 39                           |      : 13

I. in II:     y = 3

 

I.    3x = –6 · 3 + 30

I.    3x = –18 + 30

I.    3x = 12                |      : 3

I.    x = 4

 

L = {4|3}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das lineare Gleichungssystem. Verwende hierzu entweder das Gleichsetzungsverfahren oder das Einsetzungsverfahren.

a)     I.   25y = 77 – 13x            |   · 2

II.   26x – 75y = 29

 

I.   50y = 154 – 26x

II.   26x – 75y = 29            |    + 75y

 

I.   50y = 154 – 26x

II.   26x = 29 + 75y

 

II. in I.    50y = 154 – (29 + 75y)

II. in I.    50y = 154 – 29 – 75y

II. in I.    50y = 125 – 75y              |    + 75y

II. in I.   125y = 125                      |     : 125    

II. in I          y = 1

 

II.   26x – 75 · 1 = 29

II.   26x – 75 = 29                         |    + 75

II.   26x = 104                               |    : 26

II.       x = 4

 

L = {4|1}

 

b)     I.   9x – 3y = 6

II.   2y = 6x – 4                             |    · 1,5

 

I.   9x – 3y = 6

II.   3y = 9x – 6

 

II. in I.    9x – (9x – 6) = 6

II. in I.    9x – 9x + 6 = 6

II. in I.    6 = 6                               |    – 6

II. in I.    0 = 0

Das lineare Gleichungssystem liefert immer eine wahre Lösung. Demzufolge gibt es für das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Ein Lösungspaar ergibt sich aus einer der beiden Gleichungen (nach y hin aufgelöst, ergibt sich ein Lösungspaar, wenn man eine beliebige Zahl für x einsetzt).

L = {(x|y) |  y = 3x – 2}

 

c)     I.    2x = 5y – 1

II.    2x + 3 = 4y                           |    – 3

 

I.    2x = 5y – 1

II.    2x = 4y – 3

 

I. = II.     5y – 1 = 4y – 3              |    – 4y

I. = II.     y – 1 = –3                      |    + 1

I. = II.      y = –2

 

I.    2x = 5 · (–2) – 1

I.    2x = –10 – 1

I.    2x = –11                                |    : 2

I.     x = –5,5

 

L = {5,5|–2}

 

d)     I.   4x + 12y = 8

II.   3y = –x + 2                            |    · 4

 

I.   4x + 12y = 8

II.   12y = –4x + 8

 

II. in I.    4x – 4x + 8 = 8

II. in I.    8 = 8                              |    – 8

II. in I.    0 = 0

 

L = {(x|y) |  y = –{\frac{1}{3}x + {\frac{2}{3}}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge für das lineare Gleichungssystem (LGS). Hierfür soll entweder das Gleichsetzungsverfahren oder das Einsetzungsverfahren herangezogen werden.

Bei einer zweistelligen Zahl ist die Quersumme 12. Vertauscht man deren beiden Ziffern, dann ist die dadurch erhaltene Zahl um 36 größer. Wie lautet die Zahl?

Die erste Gleichung ist diese:

 I.    x + y = 12

Die eine Ziffer der Zahl plus die andere Ziffer der Zahl ergibt die Quersumme 12.

Die zweite Gleichung ist diese:

II.    10x + y = 10y + x  36

Die eine Ziffer der Zahl ist ein Faktor von zehn. Die Zahl ist ja zweiziffrig. Die andere Zahl der zweiziffrigen Zahl ist y. Beim Vertauschen der Zahl muss man ebenso die Variablen vertauschen. Hinzu kommt noch die Zahl 36. Die Zahl ist ja nach dem Vertauschen um 36 größer. Damit aber die beiden Gleichungen die gleiche Summe vorweisen, muss man nach dem Vertauschen „36″ hinzufügen.

 I.    x + y = 12

II.    10x + y = 10y + x  36                    |    – y

 

 I.    x + y = 12

II.    10x = 9y + x  36                            |    – x

 

 I.    x + y = 12

II.    9x = 9y  36                                    |    : 9

 

 I.    x + y = 12

II.    x = y  4

 

II. in I.    y  4 + y = 12

II. in I.    2y  4 = 12                               |    + 4

II. in I.    2y = 16                                     |    : 2

II. in I.    y = 8

 

 I.    x + 8 = 12                                       |    – 8

 I.    x = 4

Die gesuchte Zahlt ist die Zahl 48.

 

Hier gibt es kann man diese Artikel des Mathematik Nachhilfe Blogs als PDF downloaden: Mathe-Nachhilfe: Lineare Gleichungssysteme, Teil 4.

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