Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 9

Mathe-Hefter Bruchrechnen und andere Schulhefter © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

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Bei der Addition und der Subtraktion von Bruchtermen ist es in Mathe sehr wichtig, sich vorher genau den Nenner der Bruchterme anzuschauen. Davon hängt ja ab, ob man die Bruchterme sofort addieren oder subtrahieren darf oder nicht. Ist der Nenner gleich, dann darf man das nämlich sofort machen. Das ist genauso wie beim Bruchrechnen. Ein Bruch darf dann auch sofort mit einem anderen Bruch addiert oder subtrahiert werden, wenn die Brüche den gleichen Nenner vorweisen (die Brüche sind dann gleichnamig). Haben diese aber nicht den gleichen Nenner, so muss man erst einen gemeinsamen Nenner bilden. Man sagt: Man muss die Brüche gleichnamig machen. Das gilt natürlich auch für Bruchterme! Gleichnamig macht man hierbei Brüche oder Bruchterme, indem man zuvor den gemeinsamen Hauptnenner der Brüche bildet.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Bruchterme

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende bei den Bruchtermen eine Addition bzw. Subtraktion an.

a)   {\frac{\mathrm u}{8}}{\frac{\mathrm v}{8}}

b)   {\frac{5\mathrm x}{7\mathrm a}}{\frac{6\mathrm x}{7\mathrm a}}

c)   {\frac{\mathrm a}{\mathrm r}}{\frac{\mathrm b}{\mathrm r}}{\frac{\mathrm c}{\mathrm r}}

d)   {\frac{7\mathrma}{5\mathrm x}} – {\frac{3\mathrma}{5\mathrm x}}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei den Bruchtermen eine Additon bzw. Subtratkion durch.

a)   {\frac{4\mathrm x~+~2\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y}} – {\frac{3\mathrm x~+~2\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y}}

b)   {\frac{7\mathrm x}{\mathrm x~+~\mathrm y}} + {\frac{7\mathrm y}{\mathrm x~+~\mathrm y}}

c)   {\frac{7\mathrm a}{\mathrm x}} – {\frac{10\mathrm a}{\mathrm x}} + {\frac{5\mathrm a}{\mathrm x}}

d)   {\frac{7\mathrm y}{\mathrm b}} + {\frac{2\mathrm y}{\mathrm b}} – {\frac{4\mathrm y}{\mathrm b}}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende bei den Termen eine Addition und Subtraktion an.

a)   {\frac{5\mathrm x}{3\mathrm x\mathrm y}} + 2

b)   2 + {\frac{5\mathrm a}{3\mathrm a\mathrm b}}

c)   {\frac{11\mathrm p~-~5\mathrm q}{12}}{\frac{3\mathrm p~-~5\mathrm q}{6}} + {\frac{5\mathrm p~-~7\mathrm q}{4}}

d)   {\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{2\mathrm a}} – {\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{3\mathrm a}} + {\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{4\mathrm a}}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wann ist der Term nicht definiert? Gib hierfür eine möglichst einfache Bedinung an?

a)   {\frac{8}{3\mathrm a~-~3\mathrm b}}

b)   {\frac{3}{5\mathrm p~+~5\mathrm q}}

c)   {\frac{2\mathrm y}{(\mathrm x~+~\mathrm y)^2}}

d)   {\frac{4}{\mathrm x^2~-~\mathrm y^2}}

e)   {\frac{\mathrm a~-~\mathrm b}{2\mathrm a~-~\mathrm b}}

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Bruchterme sollen mittels Addition und Subtraktion vereinfacht werden.

a)   {\frac{\mathrm u}{8}}{\frac{\mathrm v}{8}}

Hier ist der Nenner gleichnamig. Daher darf man die Bruchterme sofort addieren.

{\frac{\mathrm u}{8}}{\frac{\mathrm v}{8}} = {\frac{\mathrm u~+~\mathrm v}{8}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Bruchterme 3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen ergänzend an.

 

b)   {\frac{5\mathrm x}{7\mathrm a}}{\frac{6\mathrm x}{7\mathrm a}}     (für a ≠ 0)

Hier ist ebenso der Nenner der beiden Bruchterme gleichnamig. Deshalb darf man die Bruchterme sofort addieren.

{\frac{5\mathrm x}{7\mathrm a}}{\frac{6\mathrm x}{7\mathrm a}} = {\frac{5\mathrm x~+~6\mathrm x}{7\mathrm a}} = {\frac{11\mathrm x}{7\mathrm a}}

 

c)   {\frac{\mathrm a}{\mathrm r}}{\frac{\mathrm b}{\mathrm r}}{\frac{\mathrm c}{\mathrm r}}     (für r ≠ 0)

Hier sind auch die Nenner der einzelnen Bruchterme gleichnamig. Daher darf man die Bruchterme auch sofort addieren.

{\frac{\mathrm a}{\mathrm r}}{\frac{\mathrm b}{\mathrm r}}{\frac{\mathrm c}{\mathrm r}} = {\frac{\mathrm a~+~\mathrm b~+~\mathrm c}{\mathrm r}}

 

d)   {\frac{7\mathrma}{5\mathrm x}} – {\frac{3\mathrma}{5\mathrm x}}     (für x ≠ 0)

Hier sind ebenso die Nenner gleichnamig. Deshalb darf man bei den Bruchtermen sofort eine Subtraktion durchführen.

{\frac{7\mathrma}{5\mathrm x}} – {\frac{3\mathrma}{5\mathrm x}} = {\frac{7\mathrma~-~3\mathrma}{5\mathrm x}} = {\frac{4\mathrma}{5\mathrm x}}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende bei den Bruchtemen eine Addition bzw. Subtraktion an.

a)   {\frac{4\mathrm x~+~2\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y}} – {\frac{3\mathrm x~+~2\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y}}     (für x ≠ y)

Hier sind die Bruchterme bereits gleichnamig und deshalb kann sofort eine Subtraktion durchgeführt werden. Achte hierbei, dass hier das Minus, wie bei einer Minusklammer aufzufassen ist. Beide Terme werden hierdurch negativ!

{\frac{4\mathrm x~+~2\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y}} – {\frac{3\mathrm x~+~2\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y}} = {\frac{4\mathrm x~+~2\mathrm y~-~3\mathrm x~-~2\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y}} = {\frac{\mathrm x}{\mathrm x~-~\mathrm y}}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Terme 5. Das Auflösen von Klammern bei einem Term ergänzend an.

 

b)   {\frac{7\mathrm x}{\mathrm x~+~\mathrm y}} + {\frac{7\mathrm y}{\mathrm x~+~\mathrm y}}     (für x ≠ –y oder y ≠ –x)

Hier sind die Nenner ebenso bereits gleichnamig. Daher kann man die beiden Bruchterme sofort addieren.

{\frac{7\mathrm x}{\mathrm x~+~\mathrm y}} + {\frac{7\mathrm y}{\mathrm x~+~\mathrm y}} = {\frac{7\mathrm x~+~7\mathrm y}{\mathrm x~+~\mathrm y}}

 

c)   {\frac{7\mathrm a}{\mathrm x}} – {\frac{10\mathrm a}{\mathrm x}} + {\frac{5\mathrm a}{\mathrm x}}     (für x ≠ 0)

Hier kann man ebenso die Bruchterme sofort vereinfachen, da diese bereits alle gleichnamig sind.

{\frac{7\mathrm a}{\mathrm x}} – {\frac{10\mathrm a}{\mathrm x}} + {\frac{5\mathrm a}{\mathrm x}} = {\frac{7\mathrm a~-~10\mathrm a~+~5\mathrm a}{\mathrm x}} = {\frac{2\mathrm a}{\mathrm x}}

 

d)   {\frac{7\mathrm y}{\mathrm b}} + {\frac{2\mathrm y}{\mathrm b}} – {\frac{4\mathrm y}{\mathrm b}}     (für b ≠ 0)

Hier kann man auch die Terme sofort vereinfachen, da diese alle bereits gleichnamig sind.

{\frac{7\mathrm y}{\mathrm b}} + {\frac{2\mathrm y}{\mathrm b}} – {\frac{4\mathrm y}{\mathrm b}} = {\frac{7\mathrm y~+~2\mathrm y~-~4\mathrm y}{\mathrm b}} = {\frac{5\mathrm y}{\mathrm b}}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei den Termen eine Addition und Subtraktion durch.

a)   {\frac{5\mathrm x}{3\mathrm x\mathrm y}} + 2     (für x ≠ 0; y ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner „3xy“. Der andere Term, die 2, muss daher auf den Hauptnenner hin erweitert werden. Man macht das, indem man Zähler und Nenner mit dem Hauptnenner malnimmt.

{\frac{5\mathrm x}{3\mathrm x\mathrm y}} + 2 · {\frac{3\mathrm x\mathrm y}{3\mathrm x\mathrm y}} = {\frac{5\mathrm x}{3\mathrm x\mathrm y}} + {\frac{6\mathrm x\mathrm y}{3\mathrm x\mathrm y}} = {\frac{5\mathrm x~+~6\mathrm x\mathrm y}{3\mathrm x\mathrm y}}

 

Mathmatik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Bruchterme 3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen an.

 

b)   2 + {\frac{5\mathrm a}{3\mathrm a\mathrm b}}     (für a ≠ 0; b ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner „3ab“. Den anderen Term muss man wiederum auf diesen Nenner hin gleichnamig machen.

2 + {\frac{5\mathrm a}{3\mathrm a\mathrm b}} = 2 · {\frac{3\mathrm a\mathrm b}{3\mathrm a\mathrm b}} + {\frac{5\mathrm a}{3\mathrm a\mathrm b}} = {\frac{6\mathrm a\mathrm b}{3\mathrm a\mathrm b}} + {\frac{5\mathrm a}{3\mathrm a\mathrm b}} = {\frac{6\mathrm a\mathrm b~+~5\mathrm a}{3\mathrm a\mathrm b}}

 

c)   {\frac{11\mathrm p~-~5\mathrm q}{12}}{\frac{3\mathrm p~-~5\mathrm q}{6}} + {\frac{5\mathrm p~-~7\mathrm q}{4}}

Hier ist der Hauptnenner „12“. Der eine Term muss daher im Zähler und Nenner mit dem Faktor 2 malgenommen werden und der andere Term im Zähler und Nenner mit dem Faktor 3.

{\frac{11\mathrm p~-~5\mathrm q}{12}}{\frac{3\mathrm p~-~5\mathrm q}{6}} + {\frac{5\mathrm p~-~7\mathrm q}{4}} =

{\frac{11\mathrm p~-~5\mathrm q}{12}}{\frac{3\mathrm p~-~5\mathrm q}{6}} · {\frac{2}{2}} + {\frac{5\mathrm p~-~7\mathrm q}{4}} · {\frac{3}{3}} =

{\frac{11\mathrm p~-~5\mathrm q}{12}}{\frac{6\mathrm p~-~10\mathrm q}{12}} + {\frac{15\mathrm p~-~21\mathrm q}{12}} =

{\frac{11\mathrm p~-~5\mathrm q~-~6\mathrm p~+~10\mathrm q~+~15\mathrm p~-~21\mathrm q}{12}} =

{\frac{20\mathrm p~-~16\mathrm q}{12}}

 

d)   {\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{2\mathrm a}} – {\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{3\mathrm a}} + {\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{4\mathrm a}}     (für a ≠ 0)

Hier ist der Hauptnenner „12a“. Den ersten Term muss man daher im Zähler und Nenner mit dem Faktor 6 malnehmen, den zweiten mit dem Faktor 4 und den dritten mit dem Faktor 3.

{\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{2\mathrm a}} – {\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{3\mathrm a}} + {\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{4\mathrm a}} =

{\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{2\mathrm a}}  · {\frac{6}{6}}{\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{3\mathrm a}} · {\frac{4}{4}} + {\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{4\mathrm a}} · {\frac{3}{3}} =

{\frac{6\mathrm x~+~6\mathrm y}{12\mathrm a}}{\frac{4\mathrm x~-~4\mathrm y}{12\mathrm a}} + {\frac{3\mathrm x~+~3\mathrm y}{12\mathrm a}} =

{\frac{6\mathrm x~+~6\mathrm y~-~4\mathrm x~+~4\mathrm y~+~3\mathrm x~+~3\mathrm y}{12\mathrm a}} =

{\frac{5\mathrm x~+~13\mathrm y}{12\mathrm a}}

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib an, wann der Term nicht definiert ist. Die Bedingung hierfür soll möglichst einfach sein.

a)   {\frac{8}{3\mathrm a~-~3\mathrm b}}

3a + 3b = 0     |    – 3b

3a = –3b         |    : 3

a = –b

D = {a, b Є {\mathbb Q} Ι a ≠ –b oder –a ≠ b}

 

b)   {\frac{3}{5\mathrm p~+~5\mathrm q}}

5p + 5q = 0     |    – 5q

5p = – 5q        |    : 5

p = –q

D = {p, q Є {\mathbb Q} Ι p ≠ –q oder –p ≠ q}

 

c)   {\frac{2\mathrm y}{(\mathrm x~+~\mathrm y)^2}}

(x + y)² = 0     |   \sqrt{}

x + y = 0         |    – y

x = –y

D = {x, y Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –y oder –x ≠ y}

 

d)   {\frac{4}{\mathrm x^2~-~\mathrm y^2}}

x² – y² = 0       + y²

x² = y²

D = {x, y Є {\mathbb Q} Ι x² ≠ y²}

 

e)   {\frac{\mathrm a~-~\mathrm b}{2\mathrm a~-~\mathrm b}}

2a – b = 0       | + b

2a = b             | : 2

a = {\frac{\mathrm b}{2}}

D = {a, b Є {\mathbb Q} Ι a ≠ {\frac{\mathrm b}{2}}}

 

Dieser Artikel meines Mathematik Nachhilfe Blogs kann man hier als PDF downloaden:  Mathe-Nachhilfe: Bruchterme, Teil 9.

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