Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 4

Das Wort Test © derateru PIXELIO www.pixelio.de

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Bei linearen Gleichungen gibt es in Mathe natürlich auch zu lösende Textaufgaben/Sachaufgaben. Das stellt naturgemäß eine erhöhte Schwierigkeit dar. Textaufgaben/Sachaufgaben sind schwieriger, da man zuerst noch die Gleichung aufstellen muss. Hierbei ist es zentral, die wichtigen Wörter in die richtigen Rechenzeichen „umzuwandeln“. Addieren und subtrahieren, heißt dann korrekt „+“ und „–“, aber auch vergrößern/vermehren und verringern, heißt richtig „umgewandelt“ „+“ und „–“. Alles mit dem Wort „fach“ (wie beispielsweise das 5-Fache einer Zahl) stellt eine Multiplikation dar (das 5-Fache einer Zahl ist 5 · x). Bleibt noch das Wort „geteilt“ übrig, das schließlich ein „:“ ist. Da Begriffe aus der Mathematik nicht nur bei Textaufgaben/Sachaufgaben eine zentrale Rolle spielen, sondern allgemein für das Verständnis einer Aufgabe superwichtig sind, sollte man diese – wie Vokabeln lernen!

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Lineare Gleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Lösungsmenge der Gleichung an und das möglichst früh.

a)   7 + 6x – 9 = 4x – 2 + 2x

b)   8 + 7x – 2 = 3x – 4 + 4x

c)   5x + 20 – 8x = 9 – 3x + 5

d)   8 + 4x + 12 = 7x + 5 – 3x

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle ohne eine Rechnung sofort die Lösung der Gleichung.

a)   4x = 24

b)   x – x = 0

c)   4x = 1

d)   x – 5 = 0

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Was ist die Lösung der Textaufgabe/Sachaufgabe?

a) Wenn man zum 2-Fachen einer Zahl die Zahl 5 addiert, so erhält man genauso viel wie das 5-Fache dieser Zahl, verringert um 5.

b) Wenn man zu der Zahl 17 das 3-Fache einer Zahl addiert, dann erhält man das 5-Fache dieser Zahl, vergrößert um 7.

c) Wenn man das 3-Fache einer Zahl um 10 verringert und die Differenz mit –1,5 malnimmt, so erhält man die Zahl 6.

d) Wenn man eine Zahl um 1,5 vermehrt und das Ergebnis verdoppelt, so erhält man ein Drittel der gesuchten Zahl.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung der linearen Gleichung und das so schnell wie möglich.

a)   8x – 3x + 2 = –8

b)   14z + 0,8 + 5z = 0,3 + 8z + 0,6

c)   28 + 17x – 13 = 15x + 10 – 3x

d)   2,7x – 8 = 5,1x + 37 – 0,9x

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Lineare Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung.

a)   7 + 6x – 9 = 4x – 2 + 2x

Nach dem Zusmmenfassen kann man bereits sehen, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, da rechts und links des Gleichheitszeichen jeweils die gleichen Terme stehen. Das weitere Auflösen des Gleichung beweist das.

–2 + 6x = 6x – 2         |  + 2

6x = 6x                       |   – 6x

0 = 0

Die Gleichung ist immer wahr. Daher gibt es unendlich viele Lösungen.

L = {\mathbb Q} bzw. L = {\mathbb R}.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Lineare Gleichungen 2. Die verschiedenen Lösungen von linearen Gleichungen an.

 

b)   8 + 7x – 2 = 3x – 4 + 4x

6 + 7x = 7x – 4           |  + 4

Nach dem Zusammenfassen sieht man, dass die Lösung der Gleichung eine leere Menge ist, da jeweils der Term ohne Variable rechts und links des Gleichheitszeichens unterschiedlich ist. Das weitere Auflösen der Gleichung bestätigt das.

10 + 7x = 7x               |  – 7x

10 = 0

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

c)   5x + 20 – 8x = 9 – 3x + 5

–3x + 20 = 14 – 3x        |  – 14

Hier sieht man ebenfalls nach dem Zusammenfassen der Terme, dass die Gleichung keine Lösung hat. Die Terme ohne Variable sind jeweils unterschiedlich.

–3x + 6 = – 3x               |  + 3x

6 = 0

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

d)   8 + 4x + 12 = 7x + 5 – 3x

20 + 4x = 4x + 5           |  – 5

Hier zeigt sich ebenfalls nach dem Zusammenfassen, dass die Gleichung keine Lösung hat. Denn auch hier sind die Terme ohne Variable unterschiedlich.

15 + 4x = 4x                 |  – 4x

15 = 0

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme sofort ohne Rechnung die Lösung der Gleichung.

a)   4x = 24

Hier ist x = 6. Denn 24 geteilt durch 4 = 6.

L = {6}

 

b)   x – x = 0

Hier gibt es unendlich viele Lösungen für die Gleichung, da die Variablen sich eliminieren und die Gleichung immer wahr ist.

L = {\mathbb Q} bzw. L = {\mathbb R}.

 

c)   4x = 1

Hier ist die Lösung x = 0,25, da 4 geteilt durch 1 diese Lösung ergibt.

L = {0,25}

 

d)   x – 5 = 0

Hier ist die Lösung 5, da 5 eingesetzt in die Variable die Gleichung wahr werden lässt.

L = {5}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung der Textaufgabe/Sachaufgabe.

a) Wenn man zum 2-Fachen einer Zahl 5 addiert, so erhält man genauso viel wie das 5-Fache dieser Zahl, verringert um 5.

2x + 5 = 5x – 5                  |  + 5

2x + 10 = 5x                      |  – 2x

10 = 3x                              |   : 3

x = {\frac{10}{3}}

L = {{\frac{10}{3}}}

Die gesuchte Zahl ist {\frac{10}{3}}.

 

b) Wenn man zu 17 das 3-Fache einer Zahl addiert, so erhält man das 5-Fache dieser Zahl, vergrößert um 7.

17 + 3x = 5x + 7                |  – 3x

17 = 2x + 7                        |  – 7

10 = 2x                              |   : 2

x = 5

L = {5}

Die gesuchte Zahl ist 5.

 

c) Wenn man das 3-Fache einer Zahl um die Zahl 10 verkleinert und die Differenz mit –1,5 multipliziert, so erhält man 6.

(3x – 10) · (–1,5) = 6

–4,5x + 15 = 6                    |  – 15

–4,5x = –9                          |   : (–4,5)

x = 2

L = {2}

Die gesuchte Zahl ist 2.

 

d) Wenn man eine Zahl um 1,5 vergrößert und das Ergebnis verdoppelt, so erhält man ein Drittel der gesuchten Zahl.

(x + 1,5) · 2 = {\frac{1}{3}}x

2x + 3 = {\frac{1}{3}}x              |  – 2x

3 = –{\frac{5}{3}}x                    |  : (–{\frac{5}{3}})

x = –{\frac{9}{5}}

x = –1,8

L = {–1,8}

Die gesuchte Zahl ist –1,8.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme so schnell wie möglich die Lösung der linearen Gleichung.

a)   8x – 3x + 2 = –8

5x + 2 = –8               |  – 2

5x = –10                   |   : 2

Hier sieht man bereits, dass die Löungs der linearen Gleichung „–2“ ist.

x = –2

L = {–2}

 

b)   14z + 0,8 + 5z = 0,3 + 8z + 0,6

19z + 0,8 = 0,9 + 8z          |  – 8z

11z + 0,8 = 0,9                   |  – 0,8

11z = 0,1                            |   : 11

z = {\frac{1}{110}}

L = {{\frac{1}{110}}}

Hier ergibt sich erst wirklich nach dem Auflösen der ganzen Gleichung deren Lösung. Damit man das Ergebnis als Bruch schreiben kann, erweitert man hier Zähler und Nenner mit dem Faktor 10.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch egänzend unter dem Reiter Erweitern und Kürzen 2. Das Erweitern eines Bruchs an.

 

c)   28 + 17x – 13 = 15x + 10 – 3x

15 + 17x = 12x + 10               |  – 12x

15 + 5x = 10                           |  – 15

5x = –5                                   |   : 5

Hier kann man nun bereits sehen, dass die Lösung der linearen Gleichung „–1“ ist.

x = –1

L = {–1}

 

d)   2,7x – 8 = 5,1x + 37 – 0,9x

2,7x – 8 = 4,2x + 37               |  – 2,7x

–8 = 1,5x + 37                        |  – 37

–45 = 1,5x                              |   : 1,5

Hier kann man schon sehen, wenn man gut Kopfrechnen kann, dass die Lösung der linearen Gleichung „–30“ ist

x = –30

L = {–30}

 

Hier gibt es den Artikel meines Mathematik Nachhilfe Blogs zum Downloaden als PDF: Mathematik-Nachhilfe:  Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 4.

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