Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 4

Stop! Hier ist etwas falsch! © Wortinspektor.com PIXELIO www.pixelio.de

Stop! Hier ist etwas falsch! © Wortinspektor.com PIXELIO www.pixelio.de

Bei Bruchgleichungen kann man sich leicht verrechnen, wenn man nicht ganz konzentriert ist und/oder die Rechenregeln nicht besonders gut kann. Dadurch entsteht dann im Nu eine Bruchgleichungen-Mutation – und ein Bruchgleichungen-Monster. Das ist kein Scherz! Die Gleichung kann sich nämlich bereits bei einem kleinen Fehlerchen entschieden verkomplizieren. Und vor einem steht plötzlich ein Bruchgleichungen-Monster! Hier bekommt man als Schülerin oder Schüler bereits einen „Vorgeschmack“ auf mögliche Algebra-Ungetüme in der Oberstufe. Terme, die hier bereits aufgrund einer mangelhaften Rechenkompetenz fies „mutieren“ können, können später zu einem Mutations-Godzilla werden. Daher sollte man rechtzeitig die richtigen Schlüsse ziehen, wenn es bereits bei Bruchgleichungen bei einem entschieden hakt. Eine temporäre/kurzfristige Nachhilfe kann hier beispielsweise sehr hilfreich sein – und jegliche Mutationsmonster im Nu wieder verjagen!

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Bruchgleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

a)   {\frac{1}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{4}{\mathrm x~+~5}}

b)   {\frac{2}{\mathrm x~-~2}} = {\frac{4}{\mathrm x~-~1}}

c)   {\frac{1}{1~-~\mathrm x}} = {\frac{7}{2\mathrm x~+~1}}

d)   {\frac{12}{1~-~\mathrm x}} = {\frac{8}{\mathrm x~+~4}}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

a)   {\frac{8}{5\mathrm x}} + {\frac{4}{\mathrm x}}{\frac{7}{10}} = 0

b)   {\frac{7}{\mathrm x~-~4}} = 2

c)   {\frac{15}{\mathrm x}} – 4 = {\frac{3}{\mathrm x}}

d)   {\frac{1}{\mathrm x}} + {\frac{1}{3\mathrm x}} = {\frac{2}{3}}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die Wassermenge eines Schwimmbads kann mittels zweier Rohre reguliert werden. Wird das Schwimmbad mit dem einen Rohr gefüllt, so dauert das Auffüllen 6 Tage; wird das Schwimmbad mit dem anderen Rohr gefüllt, dann dauert das Auffüllen 7 Tage. Wie viele Tage sind vonnöten, wenn das Schwimmbad mit beiden Rohren aufgefüllt wird?

Amerkung: Die Variable t ist die Anzahl der Tage, die für das Füllen des Schwimmbads mittels beider Rohre benötigt wird. Bei der Gleichungsaufgstellung liegt die physikalische Formel der Arbeit (W) zu Grunde. Diese ist W = P · t. Die Arbeit (W) ist gleich der vollbrachten Leistung (P) während einer bestimmten Zeit (t). Daher ist hier A = P_1 · t + P_2 · t. Das heißt: für 1 Schwimmbad, W = 1, benötigt man P_1 · t + P_2 · t.

Mache zum Lösen der Aufgabe eine Skizze.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das Zahlenrätsel. Stelle hierzu eine Bruchgleichung auf.

a) Wenn man zum fünften Teil einer Zahl ihren zehnten Teil addiert, dann erhält man die Zahl {\frac{3}{2}}.

b) Wenn man die Zahl 4 durch eine Zahl dividiert, dann erhält man dasselbe, wie wenn man die Zahl 5 durch die gleiche Zahl dividiert und daraufhin noch die Zahl 2 addiert.

c) Wenn man den Quotienten aus 4 und einer Zahl zu dem Quotienten aus 6 und derselben Zahl addiert, dann erhält man die Zahl 2.

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchgleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

a)   {\frac{1}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{4}{\mathrm x~+~5}}

 

x – 1 = 0          |   + 1

x = 1

 

x + 5 = 0          |   – 5

x = –5

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –5; 1} oder D = {\mathbb Q} \ {–5; 1}

 

{\frac{1}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{4}{\mathrm x~+~5}}          |     · (x – 1) · (x + 5)

1 · (x + 5) = 4 · (x – 1)

x + 5 = 4x – 4           |   – x

5 = 3x – 4                 |   + 4

9 = 3x                       |    : 3

x = 3

L = {3}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Bruchgleichungen die dort gemachten Ausführungen ergänzend an.

 

b)   {\frac{2}{\mathrm x~-~2}} = {\frac{4}{\mathrm x~-~1}}

 

x – 2 = 0                   |   + 2

x = 2

 

x – 1 = 0                   |   + 1

x = 1

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 1; 2} oder D = {\mathbb Q} \ {1; 2}

 

{\frac{2}{\mathrm x~-~2}} = {\frac{4}{\mathrm x~-~1}}           |     · (x – 2) · (x – 1)

2 · (x – 1) = 4 · (x – 2)

2x – 2 = 4x – 8         |   – 2x

–2 = 2x – 8               |   + 8

6 = 2x                       |    : 2

x = 3

L = {3}

 

c)   {\frac{1}{1~-~\mathrm x}} = {\frac{7}{2\mathrm x~+~1}}

 

1 – x = 0                   |   + x

x = 1

 

2x + 1 = 0                 |   – 1

2x = –1                     |    : 2

x = –0,5

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –0,5; 1} oder D = {\mathbb Q} \ {–0,5; 1}

 

{\frac{1}{1~-~\mathrm x}} = {\frac{7}{2\mathrm x~+~1}}         |     · (1 – x) · (2x + 1)

1 · (2x + 1) = 7 · (1 – x)

2x + 1 = 7 – 7x         |   + 7x

9x + 1 = 7                 |    – 1

9x = 6                       |     : 9

x = {\frac{6}{9}}

x = {\frac{2}{3}}

L = {{\frac{2}{3}}}

 

d)   {\frac{12}{1~-~\mathrm x}} = {\frac{8}{\mathrm x~+~4}}

 

1 – x = 0                    |    + x

x = 1

 

x + 4 = 0                    |    – 4

x = –4

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –4; 1} oder D = {\mathbb Q} \ {–4; 1}

 

{\frac{12}{1~-~\mathrm x}} = {\frac{8}{\mathrm x~+~4}}           |     · (1 – x) · (x + 4)

12 · (x + 4) = 8 · (1 – x)

12x + 48 = 8 – 8x      |    + 8x

20x + 48 = 8              |    – 48

20x = –40                  |    : 20

x = –20

L = {–2}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Bruchgleichung an.

a)   {\frac{8}{5\mathrm x}} + {\frac{4}{\mathrm x}}{\frac{7}{10}} = 0

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0} oder D = {\mathbb Q} \ {0}

 

Der Hauptnenner ist hier: 10x. Denn 5 ist im Hauptnenner als Teiler enthalten, ebenso x und 10.

{\frac{8}{5\mathrm x}} + {\frac{4}{\mathrm x}}{\frac{7}{10}} = 0           |     · 10x

8 ·  2 + 4 · 10 – 7 · x = 0

16 + 40 – 7 · x = 0

56 – 7x = 0                 |    + 7x

56 = 7x                       |    : 7

x = 8

L = {8}

 

b)   {\frac{7}{\mathrm x~-~4}} = 2

 

x – 4 = 0                      |    + 4

x = 4

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 4} oder D = {\mathbb Q} \ {4}

 

{\frac{7}{\mathrm x~-~4}} = 2                    |     · (x – 4)

7 = 2 · (x – 4)

7 = 2x – 8                     |    + 8

15 = 2x                         |     : 2

x = 7,5

L = {7,5}

 

c)   {\frac{15}{\mathrm x}} – 4 = {\frac{3}{\mathrm x}}

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0} oder D = {\mathbb Q} \ {0}

 

{\frac{15}{\mathrm x}} – 4 = {\frac{3}{\mathrm x}}                     |     · x

15 – 4 · x = 3

15 – 4x = 3                   |     – 15

–4x = –12                     |     : (–4)

x = 3

L = {3}

 

d)   {\frac{1}{\mathrm x}} + {\frac{1}{3\mathrm x}} = {\frac{2}{3}}

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0} oder D = {\mathbb Q} \ {0}

 

{\frac{1}{\mathrm x}} + {\frac{1}{3\mathrm x}} = {\frac{2}{3}}         |     · 3x

1 · 3 + 1 = 2 · x

3 + 1 = 2x

4 = 2x               |    : 2

x = 2

L = {2}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bei einem Schwimmbad kann die Wassermenge mittels zweier Rohre reguliert werden.Wenn das Schwimmbad mit dem einem Rohr aufgefüllt wird, dann braucht man hierzu 6 Tage; wenn das Schwimmbad mit dem anderen Rohr aufgefüllt wird, dann braucht man hierzu 7 Tage. Wie viele Tage dauert es, wenn das Schwimmbad mit beiden Rohren aufgefüllt wird?

Anmerkung: Die Variable der aufzustellenden Gleichung ist die Anzahl der Tage, t, die man mittels beider Rohre für das Schwimmbad braucht. Beim Aufstellen der Gleichung liegt die Formel der physikalischen Arbeit (W) zugrunde. Diese ist: W = P · t. Die Arbeit ist gleich der Arbeit (P) zu einer bestimmten Zeit (t). Deshalb ist hier A = P_1 · t + P_2 · t. Das heißt für 1 Schwimmbad, W = 1, benötigt man P_1 · t + P_2 · t.

Fertige hierzu auch eine Skizze an.

Skizze Schwimmbad

Skizze Schwimmbad

A = P_1 · t + P_2 · t

P_1 = {\frac{1}{6}}    denn bei Rohr 1 gilt ja:  A = P_1 · t    (A = 1 und t = 6; die Gleichung nach P_1 aufgelöst, ergibt P_1 = {\frac{1}{6}}.)

P_2 = {\frac{1}{7}}   denn bei Rohr 2 gilt ja:  A = P_2 · t   (A = 1 und t = 7; die Gleichung nach P_2 aufgelöst, ergibt P_2 = {\frac{1}{7}}.)

1 = {\frac{1}{6}} · t + {\frac{1}{7}} · t

1 = ({\frac{1}{6}}{\frac{1}{7}}) · t

1 = {\frac{13}{42}} · t            |    : {\frac{13}{42}}

t = 3 {\frac{3}{13}}

t = 3,23 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Das Auffüllen des Schwimmbads mittels zweier Rohre dauert 3,23 Tag.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Zahl ist gesucht? Stelle hierfür eine Bruchgleichung auf.

a) Wenn man zum 5. Teil einer Zahl ihren 10. Teil addiert, so erhält man die Zahl {\frac{3}{2}}.

{\frac{\mathrm x}{5}} + {\frac{\mathrm x}{10}} = {\frac{3}{2}}          |     · 10

Der Hauptnenner ist hier 10.

x · 2 + x = 3 · 5

2x + x = 15

3x = 15             |     : 3

x = 5

Die gesuchte Zahl ist 5.

 

b) Wenn man die Zahl 4 durch eine Zahl dividiert, so erhält man dasselbe, wie wenn man die Zahl 5 durch diesselbe Zahl dividiert und darauf noch die Zahl 2 addiert.

{\frac{4}{\mathrm x}} = {\frac{5}{\mathrm x}} + 2            |     · x       (für x ≠ 0)

4 = 5 + 2x           |     – 5

–1 = 2x               |      : 2

x = –0,5

Die gesuchte Zahl ist –0,5.

 

c) Wenn man den Quotienten aus 4 und einer Zahl zu dem Quotienten aus 6 und derselben Zahl addiert, dann erhält man die Zahl 2.

{\frac{4}{\mathrm x}} + {\frac{6}{\mathrm x}} = 2          |     · x     (für x ≠ 0)

4 + 6 = 2 · x

10 = 2x             |     : 2

x = 2

Die gesuchte Zahl ist 2.

 

Hier gibt es den Artikel des Mathematik Nachhilfe Blogs zum Download: Mathe-Nachhilfe: Bruchgleichungen, Teil 4.

Please follow and like us:

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.