Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 1

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

In Mathe können Gleichungen nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch zwei (oder noch mehr). Solch eine Gleichung nennt man dann Gleichung mit Parameter oder Formvariable. Hierbei ist es wichtig zu wissen: Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Davon hängt ja entscheidend ab, nach welcher Variablen hin man die Gleichung auflösen muss (klingt logisch, oder?). Bei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von Vielecken oder dem Volumen von Prismen muss man mittels Äquivalenzumformungen die Gleichung immer nach der Lösungsvariablen hin umformen. Das ist dann später eine praktische Anwendung von Gleichungen mit Parametern/Formvariablen. Hier zeigt sich aber dann auch: Jede Variable kann die Lösungsvariable sein. Je nach Aufgabenstellung kann das deshalb variieren. 😉

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Gleichungen mit Parametern

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung. x ist die Lösungsvariable.

a)   4x – t = 0

b)   x + t = 2x – t

c)   9x – 63t = 0

d)    {\frac{\mathrm x}{5}} –  {\frac{\mathrm t}{6}} = 0

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Gleichung jeweils nach einer Variablen hin auf.

a)   4x + 2a = b

b)    {\frac{\mathrm x}{5}} + t = {\frac{\mathrm x}{4}} + s

c)    {\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} – 4z = 0     (y ≠ 0 und z ≠ 0)

d)   a – b = b – x

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Setze in die Parametergleichung r · x + s = t   für r = 3, s = 2 und t = 6 ein [r = 0; s = 5; t = 5]. ein. Ermittle die die Lösungsmenge der Gleichung.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es ist die Gleichung {\frac{\mathrm t}{\mathrm x~-~\mathrm t}}{\frac{1}{\mathrm x}} gegeben    (x ≠ 0; x ≠ t). Für welchen Wert der Formvariablen ergibt sich folgende Lösungsmenge.

a)   {7}

b)   {0,5}

c)   {2}

d)   {\mathbb Q}

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Parametergleichungen/Formvariablengleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. x ist bei der Gleichung die Lösungsvariable.

a)   4x – t = 0              |    + t

4x = t                   | : 4

x = {\frac{\mathrm t}{4}}

L = {{\frac{\mathrm t}{4}}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Gleichungen mit Parametern die dort gemachten Ausführungen an.

 

b)   x + t = 2x – t        |   – x

t = x – t               |   + t

2t = x

L = {2t}

 

c)   9x – 63t = 0         |   + 63t

9x = 63t              |    : 9

x = 7t

L = {7t}

 

d)    {\frac{\mathrm x}{5}} –  {\frac{\mathrm t}{6}} = 0     |   + {\frac{\mathrm t}{6}}

{\frac{\mathrm x}{5}} = {\frac{\mathrm t}{6}}            |    · 5

x = {\frac{5\mathrm t}{6}}

L = {{\frac{5\mathrm t}{6}}}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die Gleichung soll jeweils nach einer Variablen hin aufgelöst werden.

a)   4x + 2a = b

Hier kann die Gleichung nach x, nach a und b hin umgeformt werden.

 

Nach der Variablen x hin:

4x + 2a = b           |   – 2a

4x = –2a + b         |    : 4

x = {\frac{-2\mathrm a~+~\mathrm b}{4}}

x = –{\frac{\mathrm a}{2}} + {\frac{\mathrm b}{4}}

 

Nach der Variablen a hin:

4x + 2a = b           |   – 4x

2a = b – 4x           |   : 2

a = {\frac{\mathrm b~-~4\mathrm x}{2}}

a = {\frac{\mathrm b}{2}} – 2x

 

Nach der Variablen b hin:

b = 2a + 4x

 

b)    {\frac{\mathrm x}{5}} + t = {\frac{\mathrm x}{4}} + s

Diese Gleichung kann nach der Variablen x, nach s und t hin umgeformt werden.

 

Nach der Variablen x:

{\frac{\mathrm x}{5}} + t = {\frac{\mathrm x}{4}} + s      |   – {\frac{\mathrm x}{5}}

t = {\frac{\mathrm x}{20}} + s          |   – s

–s + t = {\frac{\mathrm x}{20}}        |     · 20

x = –20s + 20t

 

Nach der Variablen s:

{\frac{\mathrm x}{5}} + t = {\frac{\mathrm x}{4}} + s      |   – {\frac{\mathrm x}{4}}

s = t – {\frac{\mathrm x}{20}}

 

Nach der Variablen t:

{\frac{\mathrm x}{5}} + t = {\frac{\mathrm x}{4}} + s      |   – {\frac{\mathrm x}{5}}

t = s + {\frac{\mathrm x}{20}}

 

c)    {\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} – 4z = 0     (y ≠ 0 und z ≠ 0)

Diese Gleichung kann man nach x, y und z hin auflösen.

 

Nach x aufgelöst:

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} – 4z = 0        |   + 4z

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} = 4z              |     · y

x = 4z · y

x = 4yz

 

Nach y hin aufgelöst:

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} – 4z = 0        |   + 4z

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} = 4z              |     · y

x = 4z · y         |    : 4z

y = {\frac{\mathrm x}{4\mathrm z}}

 

Nach z hin aufgelöst:

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} – 4z = 0        |   + 4z

{\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} = 4z              |    : 4

z = {\frac{\mathrm x}{4\mathrm y}}

 

d)   a – b = b – x

Diese Gleichung kann man nach a, b und x hin auflösen.

 

Nach x aufgelöst:

a – b = b – x            |     – b

a – 2b = –x              |     · (–1)

x = –a + 2b

 

Nach a hin aufgelöst:

a – b = b – x            |     + b

a = 2b – x

 

Nach b hin aufgelöst:

a – b = b – x            |     + b

a = 2b – x                |     + x

a + x = 2b                |     : 2

b = {\frac{\mathrm a~+~\mathrm x}{2}}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: In die Parametergleichung r · x + s = t   soll für r = 3, s = 2 und t = 6 ein [r = 0; s = 5; t = 5]. eingesetzt werden. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

r = 3, s = 2; t = 6:

3 · x + 2 = 6            |     – 2

3x = 4                      |     : 3

x = {\frac{4}{3}}

L = {{\frac{4}{3}}}

 

r = 0; s = 5; t = 5:

0 · x + 5 = 5

5 = 5                       |     – 5

0 = 0

Die Gleichung ist immer wahr!

L = {\mathbb Q}

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Für die Gleichung {\frac{\mathrm t}{\mathrm x~-~\mathrm t}}{\frac{1}{\mathrm x}}     (x ≠ 0; x ≠ t) soll die Formvariable ermittelt werden. Folgende Lösungsvariable ist jeweils gegeben:

a)   {7}

b)   {0,5}

c)   {2}

d)   {\mathbb Q}

 

a)   {7}

{\frac{\mathrm t}{7~-~\mathrm t}}{\frac{1}{7}}        |     · (7 – t) · 7

t · 7 = 1 · (7 – t)

7t = 7 – t        |     + t

8t = 7             |     : 8

t = {\frac{7}{8}}

Für t = {\frac{7}{8}} ergibt sich bei der Gleichung die Lösung L = {7}.

 

b)   {0,5}

{\frac{\mathrm t}{0,5~-~\mathrm t}}{\frac{1}{0,5}}           |     · (0,5 – t) · 0,5

t · 0,5 = 1 · (0,5 – t)

0,5t = 0,5 – t           |      + 7

1,5t = 0,5                |       : 1,5

t = {\frac{1}{3}}

Bei t = {\frac{1}{3}} ist die Lösung der Gleichung L = {0,5}.

 

c)   {2}

{\frac{\mathrm t}{2~-~\mathrm t}}{\frac{1}{2}}                 |     · (2 – t) · 2

t · 2 = 1 · (2 – t)

2t = 2 – t                 |      + t

3t = 2                      |      : 3

t = {\frac{2}{3}}

Für t = {\frac{2}{3}} ergibt sich die Lösung L = {2}.

 

d)   {\mathbb Q}

Hier muss man sich zuerst überlegen, wann die Lösungsmenge der Gleichung {\mathbb Q} ist. Die notwendige Bedinung hierfür muss sein, dass rechts und links der Gleichung sich jeweils eine Null ergibt. Nur dann ist ja die Gleichung immer wahr. Hierfür muss ein t gefunden werden, dass das zutrifft.

{\frac{\mathrm t}{\mathrm x~-~\mathrm t}}{\frac{1}{\mathrm x}}     (x ≠ 0; x ≠ t)

Die Gleichung kann man nun zu einem Produkt umformen:

{\frac{\mathrm t}{\mathrm x~-~\mathrm t}}{\frac{1}{\mathrm x}}        |     · (x – t) · x

t · x = 1 · (x – t)

t · x = x – t

Damit die Gleichung gleich null wird, muss, wie gesagt die Glechung rechts und links des Gleichheitszeichens null werden.

Das kann man dann so schreiben:

 t · x = 0                    und              x – t = 0

Die beiden Gleichungen kann man nun nach t hin auflösen.

 t · x = 0                    und              x – t = 0         |   + t

 t · x = 0                    und              t = x

Das Produkt auf der linken Seite der Gleichung ist gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist. In der Sprache der Mathematik ist das ein Oder, das heißt, dass entweder ein Faktor oder ein anderer Faktor gleich null sein kann. Auf die gesamte Gleichung bezogen, ergibt sich dadurch folgende Bedinung.

t = 0   oder x = 0      und             t = x

Wie man sieht, erfüllt zwar, die Zahl 0 die Bedingung, aber die Zahl null gehört nicht zur Definitionsmenge der Gleichung. Daher ergibt sich, dass es kein t gibt, dass die Gleichung die Lösungsmenge {\mathbb Q} vorweist.

 

Hier gibt es den Artikel meines Mathematik Nachhilfe Blogs zum Download als PDF: Mathe-Nachhilfe: Gleichungen mit Parametern, Teil 1.

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