Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 1

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In Mathe können Gleichungen nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch zwei (oder noch mehr). Solch eine Gleichung nennt man dann Gleichung mit Parameter oder Formvariable. Hierbei ist es wichtig zu wissen: Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Davon hängt ja entscheidend ab, nach welcher Variablen hin man die Gleichung auflösen muss (klingt logisch, oder?). Bei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von Vielecken oder dem Volumen von Prismen muss man mittels Äquivalenzumformungen die Gleichung immer nach der Lösungsvariablen hin umformen. Das ist dann später eine praktische Anwendung von Gleichungen mit Parametern/Formvariablen. Hier zeigt sich aber dann auch: Jede Variable kann die Lösungsvariable sein. Je nach Aufgabenstellung kann das deshalb variieren. 😉

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Formvariablen

 

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Lösungsmenge der Gleichung an. Hierbei ist x die Lösungsvariable.

a) sx – r = 0

b) m – n = 8(x + n)

c) 5y – x = 4x – y

d) sx = t + 4 für (x ≠ 0)

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. x ist hierbei die Lösungsvariable.

a) {\frac{\mathrm r}{\mathrm s\mathrm x}} = t

b) r – {\frac{\mathrm s}{\mathrm x}} = t

c) {\frac{8\mathrm s}{3\mathrm s~-~\mathrm x}} = 1

d) {\frac{\mathrm s}{\mathrm x}}{\frac{\mathrm t}{\mathrm x}} = 12

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib an, für welchen Wert der Formvariablen die Gleichung {\frac{\mathrm x~-~\mathrm s}{\mathrm x~+~\mathrm s}} = {\frac{1}{\mathrm x}} folgende Lösungen hat.

a) L = {4}

b) L = { } bzw. L = {\varnothing}

c) L = {\mathbb Q} \ {1}

d) L = {–6}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Jede Gleichung soll nach der dort vorkommenden Variable hin aufgelöst werden. Was muss über eine mögliche Formvariable gesagt werden?

a) rx + x = t

b) rx + rs = st

c) rx + sx = t

d) r + sx = t

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Gleichungen mit Parametern

 

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Gleichung nach der Lösungsvariablen hin auf. x ist die Lösungsvariable.

a) sx – r = 0 | + r

sx = r | : s

x = {\frac{\mathrm s}{\mathrm r}}

L = {{\frac{\mathrm s}{\mathrm r}}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Gleichungen mit Parametern die dort gemachten Erläuterungen ergänzend an.

 

b) m – n = 8(x + n)

m – n = 8x + 8n | – 8n

m – 9n = 8x | : 8

x = {\frac{\mathrm m~-~9\mathrm n}{8}}

L = {{\frac{\mathrm m~-~9\mathrm n}{8}}}

 

c) 5y – x = 4x – y | + x

5y = 5x – y | + y

6y = 5x | : 5

x = {\frac{6\mathrm y}{5}}

L = {{\frac{6\mathrm y}{5}}}

 

d) sx = t + 4 für (x ≠ 0)

sx = t + 4 | : s

x = {\frac{\mathrm t~+~4}{\mathrm s}}

L = {{\frac{\mathrm t~+~4}{\mathrm s}}}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle für die Gleichung die Lösungsmenge. Die Lösungsvariable ist hierbei x.

a) {\frac{\mathrm r}{\mathrm s\mathrm x}} = t | · x

{\frac{\mathrm r}{\mathrm s}} = t · x | : t

x = {\frac{\mathrm r}{\mathrm s\mathrm t}}

L = {{\frac{\mathrm r}{\mathrm s\mathrm t}}}

 

b) r – {\frac{\mathrm s}{\mathrm x}} = t | · (–1)

–r + {\frac{\mathrm s}{\mathrm x}} = –t | + r

{\frac{\mathrm s}{\mathrm x}} = r – t | · x

s = (r – t) · x | : (r – t)

x = {\frac{\mathrm s}{\mathrm r~-~\mathrm t}}

L = {{\frac{\mathrm s}{\mathrm r~-~\mathrm t}}}

 

c) {\frac{8\mathrm s}{3\mathrm s~-~\mathrm x}} = 1 | · (3s – x)

8s = 1 · (3s – x)

8s = 3s – x | – 3s

5s = –x | · (–1)

x = –5s

L = {–5s}

 

d) {\frac{\mathrm s}{\mathrm x}}{\frac{\mathrm t}{\mathrm x}} = 12 | · x

s – t = 12x | : 12

x = {\frac{\mathrm s~-~\mathrm t}{12}}

L = {{\frac{\mathrm s~-~\mathrm t}{12}}}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme zu der Gleichung {\frac{\mathrm x~-~\mathrm s}{\mathrm x~+~\mathrm s}} = {\frac{1}{\mathrm x}}, die folgende Lösungen hat, jeweils die Formvariable.

{\frac{\mathrm x~-~\mathrm s}{\mathrm x~+~\mathrm s}} = {\frac{1}{\mathrm x}} für x ≠ –s und x ≠ 0

 

a) L = {4}

{\frac{4~-~\mathrm s}{4~+~\mathrm s}} = {\frac{1}{4}} | · (4 + s)

4 – s = {\frac{1}{4}} · (4 + s)

4 – s = 1 + {\frac{1}{4}}s | + s

4 = 1 + {\frac{5}{4}}s | – 1

3 = {\frac{5}{4}}s | : {\frac{5}{4}}

s = {\frac{12}{5}}

 

b) L = { } bzw. L = {\varnothing}

Hier muss mann sich überlegen, wann liefert die Gleichung mit Formvariable keine Lösung. Das ist der Fall, wenn der eine Nenner im Bruchterm mit der Formvariable gleich null wird. Hieraus ergibt sich:

x + s = 0 | – s

x = –s

 

c) L = {\mathbb Q} \ {1}

Hier kann man sich zunächst überlegen, wann die Gleichung bei der Zahl 1 nicht definiert ist. Das ist der Fall, wenn bei dem ersten Bruchterm im Nenner die Zahl –1 steht. Also muss hier der Parameter –1 sein. Jetzt muss sich bei diesem Parameter auch noch links und rechts des Gleichheitszeichens die Zahl 0 ergeben, damit die obige Lösung herauskommt.

{\frac{\mathrm x~-~(-1)}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{1}{\mathrm x}}

{\frac{\mathrm x~+~1}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{1}{\mathrm x}} | · (x – 1) · x

(x + 1) · x = 1 · (x – 1)

x² + x = x – 1

Hier sieht man bereits, dass die Gleichung nicht die obige Lösung ergibt.

x² + x = x – 1 | – x

x² = – 1 | √

x = n. d. (nicht definiert)

Auch weiter bestätigt sich, dass die Gleichung nicht die obige Lösung ergibt. Die angebene Lösung der Aufgabe c) ist daher unter dieser Gleichung mit Parametern nicht möglich.

 

Aber man kann auch die Überlegung heranziehen, dass beide Seiten der Gleichung auf jeden Fall die Zahl 0 ergeben müssen. Ansonsten kann ja die Lösung nicht erfüllt werden.

{\frac{\mathrm x~-~\mathrm s}{\mathrm x~+~\mathrm s}} = {\frac{1}{\mathrm x}} | · (x – 1) · x

(x – s) · x = 1 · (x + s)

x – s = 0 oder x = 0 und x + s = 0

x = s oder x = 0 und x = –s

Auch hier zeigt sich, dass man keine Möglichkeit findet, dass die Gleichung gleich null wird. Daher findet man kein Ergebnis, dass die Aufgabe c) erfüllt.

 

d) L = {–6}

{\frac{-6~-~\mathrm s}{-6~+~\mathrm s}} = {\frac{1}{-6}} | · (–6 + s)

–6 – s = –{\frac{1}{6}} · (–6 + s)

–6 – s = 1 – {\frac{1}{6}}s | + s

–6 = 1 + {\frac{5}{6}}s | – 1

–7 = {\frac{5}{6}}s | : {\frac{5}{6}}

s = –{\frac{42}{5}}

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die Gleichung soll jeweils nach der dort vorkommenden Variablen hin aufgelöst werden. Welche Aussagen muss man über eine Formvariable machen?

a) rx + x = t

 

x ist die Lösungsvariable:

rx + x = t

x · (r + 1) = t | : (r + 1)

x = {\frac{\mathrm t}{\mathrm r~+~1}} für r ≠ –1

L = {{\frac{\mathrm t}{\mathrm r~+~1}}}

 

r ist die Lösungsvariable:

rx + x = t | – x

rx = t – x | : x

r = {\frac{\mathrm t~-~\mathrm x}{\mathrm x}} für x ≠ 0

L = {{\frac{\mathrm t~-~\mathrm x}{\mathrm x}}}

 

t ist die Lösungsvariable:

rx + x = t

t = rx + x

L = {rx + x}

 

b) rx + rs = st

 

r ist die Lösungsvariable:

rx + rs = st

r · (x + s) = st | : (x + s)

r = {\frac{\mathrm s\mathrm t}{\mathrm x~+~\mathrm s}} für x ≠ –s bzw. s ≠ –x

L = {{\frac{\mathrm s\mathrm t}{\mathrm x~+~\mathrm s}}}

 

s ist die Lösungsvariable:

rx + rs = st | – rs

rx = st – rs

rx = s · (t – r) | : (t – r)

s = {\frac{\mathrm r\mathrm x}{\mathrm t~-~\mathrm r}} für r ≠ t

L = {{\frac{\mathrm r\mathrm x}{\mathrm t~-~\mathrm r}}}

 

x ist die Lösungsvariable:

rx + rs = st | – rs

rx = st – rs | : r

x = {\frac{\mathrm s\mathrm t~-~\mathrm r\mathrm s}{\mathrm r}} für r ≠ 0

L = {{\frac{\mathrm s\mathrm t~-~\mathrm r\mathrm s}{\mathrm r}}}

 

c) rx + sx = t

 

r ist die Lösungsvariable:

rx + sx = t | – sx

rx = t – sx | : x

r = {\frac{\mathrm t~-~\mathrm s\mathrm x}{\mathrm x}} für x ≠ 0

L = {{\frac{\mathrm t~-~\mathrm s\mathrm x}{\mathrm x}}}

 

t ist die Lösungsvariable:

rx + sx = t

t = rx + sx

L = {rx + sx}

 

x ist die Lösungsvariable:

rx + sx = t

x · (r + s) = t | : (r + s)

x = {\frac{\mathrm t}{\mathrm r~+~\mathrm s}} für r ≠ –s oder: s ≠ –r

L = {{\frac{\mathrm t}{\mathrm r~+~\mathrm s}}}

 

d) r + sx = t

 

r ist die Lösungsvariable:

r + sx = t | – sx

r = t – sx

L = {t – sx}

 

t ist die Lösungsvariable:

r + sx = t

t = r + sx

L = {r + sx}

 

x ist die Lösungsvariable:

r + sx = t | – r

sx = t – r | : s

x = {\frac{\mathrm t~-~\mathrm r}{\mathrm s}} für s ≠ 0

L = {{\frac{\mathrm t~-~\mathrm r}{\mathrm s}}}

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