Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 7

Ein rechteckiger Teppich auf einem Boden © Lupo PIXELIO www.pixelio.de

Ein rechteckiger Teppich auf einem Boden © Lupo PIXELIO www.pixelio.de

Bei der Berechnung von Flächen (dem Flächeninhalt) bei Vielecken muss man immer auf zwei Aspekte besonders Acht geben. Der erste und wichtigste Aspekt hierbei ist: die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Vielecks korrekt anzuwenden. Konkret heißt das beispielsweise: bei einem Dreieck, einem Parallelgramm oder einem Trapez die Werte korrekt in die Gleichung einzutragen. Der zweite wichtige Aspekt hierbei ist: Bevor man die Werte in die Flächeninhalts-Formel einträgt, muss man diese eventuell ALLE auf die gleiche Einheit bringen/umrechnen. Konkret heißt das, dass alle Größen beispielsweise die Einheit cm oder m vorweisen. Eigentlich ist die Berechnung eines Flächeninhalts in Mathe nicht schwer. Dennoch bleibt es ein Mathematik-Stoffgebiet – und deshalb treten hier auch immer (vor allem bei diesen beiden genannten Aspekten) Fehler auf!

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet: der Flächeninhalt von Vielecken

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wandle die Einheit jeweils in die nächstkleinere Einheit um.

a)   0,74 ha

b)   6,64 a

c)   32,08 km²

d)   55,87 m²

e)   6,98 ha

f)   0,04 dm²

g)   25,54 km²

h)   5,07 cm²

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Teppich auf dem Boden hat die Länge 1,80 m und die Breite 70 cm.

a) Wie kann man den Flächeninhalt des Teppichs berechnen?

b) Berechne den Flächeninhalt auf zwei Arten (in m² und in cm²)

c) Berechne den Umfang des Teppichs

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Parallelogramm ABCD soll in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden (Einheit 1 cm, waagrecht und senkrecht). Der Flächeninhalt des Parallelogramms soll anschließend berechnet werden, ohne dass man die Längen des Parallelogramms abmisst.

A (3 | 6)

B (1 | 2)

C (5 | 2)

D (7 | 6)

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die fehlende Größes des Trapezes

a)    Seitenlänge a:      3,6 cm

Seitenlänge c:      2,4 cm

Höhe h:                 6 cm

Flächeninhalt AT:    ?

 

b)    Seitenlänge a:      4 cm

Seitenlänge c:      10 cm

Höhe h:                   ?

Flächeninhalt AT:  112 cm²

 

c)    Seitenlänge a:      7 cm

Seitenlänge c:         ?

Höhe h:                 6 cm

Flächeninhalt AT:  60 cm²

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet: der Flächeninhalt bei Vielecken

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Einheit soll jeweils in die nächstkleinere Einheit hin umgewandelt werden.

a)   0,74 ha

0,74 ha (mal 100) = 74 a

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Umrechnen von Größen die dort gemachten Ausführungen an.

 

b)   6,64 a

6,64 a (mal 100) = 664 m²

 

c)   32,08 km²

32,08 km² (mal 100) = 3208 ha

 

d)   55,87 m²

55,87 m² (mal 100) = 5587 dm²

 

e)   6,98 ha

6,98 ha (mal 100) = 698 a

 

f)   0,04 dm²

0,04 dm² (mal 100) = 4 cm²

 

g)   25,54 km²

25,54 km² (mal 100) = 2554 ha

 

h)   5,07 cm²

5,07 cm² (mal 100) = 507 mm²

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Auf einem Boden liegt ein Teppich mit der Länge 1,8 m und der Breite 70 cm.

a) Auf welche Weise kann man den Flächeninhalt des Teppichs berechnen?

b) Der Flächeninhalt des Teppichs soll auf zwei Arten berechnet werden (in m² und cm²).

c) Der Umfang des Teppichs soll berechnet werden.

 

a) Bei dem Teppich handelt es sich um ein Rechteck. Den Flächeninhalt eines Rechtecks kann man immer wie folgt berechnen:

AR = a · b

Der Flächenihalt eines Rechtecks ist Länge mal Breite.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Flächeninhalt 3. Flächeninhalt bei einem Rechteck ergänzend an.

 

b) Um den Flächeninhalt in m² oder in cm² berechnen zu können, muss man jeweils eine der beiden Größen umrechnen.

Der Flächeninhalt in m²:

b = 70 cm (durch 10 = 7 dm durch 10) = 0,7 m

AR = 1,8 m · 0,7 m

AR = 1,26 m²

 

Der Flächeninhalt in cm²:

a = 1,8 m (mal 10 = 18 dm mal 10) = 180 cm

AR = 180 cm · 70 cm

AR = 12600 cm²

 

c) Der Umfang des Teppichs setzt sich bei einem Rechteck immer folgendermaßen zusammen:

UR = a + a + b + b

UR = 2a + 2b

 

UR = 2 · 1,8 m + 2 · 0,7 m

UR = 3,6 m + 1,4 m

UR = 5 m

 

3 Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Es soll ein Parallelogramm ABCD in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden (Einheit in cm, 1 cm waagrecht, ein cm senkrecht). Anschließend soll der Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet werden, aber ohne die Strecken abzumessen.

A (3 | 6)

B (1 | 2)

C (5 | 2)

D (7 | 6)

 

Parallelogramm im Koordinatensystem

Parallelogramm im Koordinatensystem

 

Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man wie folgt:

AP = g · h

Auf das Parallelogramm im Koordinatensystem bezogen, entspricht g der Strecke BC/ \overline{\mathrm B\mathrm C} und h entspricht der Höhe des Parallelogramms.

Aus dem eingezeichneten Parallelogramm kann man jeweils \overline{\mathrm B\mathrm C} und h berechnen.

Hierbei muss man bei \overline{\mathrm B\mathrm C} die beiden x-Koordinaten der Punkte C und B voneinander abziehen:

\overline{\mathrm B\mathrm C} = 5 cm – 1 cm

\overline{\mathrm B\mathrm C} = 4 cm

Darüber hinaus muss man für h die y-Koordinaten von A und B oder D und C voneinander abziehen:

h = 6 cm – 2 cm

h = 4 cm

Jetzt kann man den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen:

AP = g · h

AP = 4 cm · 4 cm

AP = 16 cm²

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne jeweils die fehlende Größe bei einem Trapez.

a)    Seitenlänge a:      3,6 cm

Seitenlänge c:      2,4 cm

Höhe h:                 6 cm

Flächeninhalt AT:    ?

 

Hier ist der Flächeinhalt des Trapezes gesucht. Dieser berechnet sich wie folgt:

AT = {\frac{1}{2}} · (a + c) · h

AT = {\frac{1}{2}} · (3,6 cm + 2,4 cm) · 6cm

AT = 18 cm²

 

b)    Seitenlänge a:      4 cm

Seitenlänge c:      10 cm

Höhe h:                   ?

Flächeninhalt AT:  112 cm²

 

Hier ist die Höhe h des Trapezes gesucht. Die Formel muss man daher zunächst nach der Höhe h hin umformen.

AT = {\frac{1}{2}} · (a + c) · h            |     · 2

AT · 2 = (a + c) · h            |     : (a + c)

h = {\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm a~+~\mathrm c}}

h = {\frac{112~\mathrm c\mathrm m^2\ {\cdot}~2}{4~\mathrm c\mathrm m~+~10~\mathrm c\mathrm m}}

h = 16 cm

 

c)    Seitenlänge a:      7 cm

Seitenlänge c:         ?

Höhe h:                 6 cm

Flächeninhalt AT:  60 cm²

 

Hier ist die die Seitenlänge c des Trapezes gesucht. Hier muss man ebenfalls zunächst die Formel nach der Seitenlänge c hin umformen.

AT = {\frac{1}{2}} · (a + c) · h      |     · 2

AT · 2 = (a + c) · h      |     : h

{\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm h}} = a + c            |     – a

c = {\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm h}} – a

c = {\frac{60~\mathrm c\mathrm m^2\ {\cdot}~2}{6~\mathrm c\mathrm m}} – 7 cm

c = 13 cm

 

Hier gibt es den Artikel meines Mathematik Nachhilfe Blogs als PDF zum Download: Mathe-Nachhilfe: Aufgaben zu Vielecken, Teil 7.

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