Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Funktionen, Teil 2

Die Normalparabel

Die Normalparabel

Der bekannteste Graph einer quadratischen Funktion ist die sogenannte Normalparabel. Da es hierfür in Mathe extra eine Schablone gibt, kennt man die Normalparabel normalerweise sehr gut – und deren möglichen Verläufe im Koordinatensystem. Hierfür muss man sich zuvor nur die quadratischen Funktionen genau anschauen. Dann weiß man auch, wo man die Normalparabel im Koordinatensystem einzeichnen muss. Man orientiert sich hierbei an der Funktion y = x². Das stellt die nach oben geöffnete Normalparabel, vom Koordinatenursprung ausgehend, dar. Heißt die Funktion jedoch y = x² + 4, so muss man die Funktion um vier Längeneinheiten nach oben verschieben (entlang der y-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² um vier Längeneinheiten nach rechts (entlang der x-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² + 4 um vier Längeneinheiten nach rechts und vier Längeneinheiten nach oben.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Funktionen.

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Mithilfe der Normalparabelschablone soll die Normalparabel verschoben werden.

a) Um 5 Längeneinheiten nach oben.

b) Um 5 Längeneinheiten nach unten.

Gib den Funktionsterm der Funktion an.

Wie sind die Koordinaten des Scheitelpunktes?

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Normalparabel soll entlang der y-Achse verschoben werden. Hierbei soll der Punkt P auf der neuen Funktion liegen. Bei der neuen Funktion soll jeweils der Funktionsterm und der Scheitelpunkt angegeben werden.

a)   P (0 | –1,6)

b)   P (1 | 3,2)

c)   P (–1 | 6)

d)   P (3 | –4)

e)   P (–3 | –6)

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Es soll der Graph der Funktion f gezeichnet werden. Der Scheitelpunkt soll bestimmt werden, ebenso die Gleichung der Symmetrieachse.

a)   f(x) = (x – 3)²

b)   f(x) = (x + 1)²

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Normalparabel ist um 3 Einheiten nach rechts und 2,6 Einheiten nach unten verschoben worden. Liegen folgende Punkte auf der verschobenen Normalparabel?

a)   P_1 (1 | 5,4)

b)   P_2 (4 | 8,6)

c)   P_3 (6 | 6,4)

d)   P_4 (–2 | 22,4)

e)   P_5 (–4 | 52,6)

f)    P_6  (0 | –2,6)

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Quadratische Funktionen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Normalparabel soll mittels Schablone verschoben werden.

a) Um 5 Längeneinheiten nach oben.

b) Um 5 Längeneinheiten nach unten.

Wie lautet der Funktionsterm der Funktion?

Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt?

 

a)

Normalparabel nach oben verschoben

Normalparabel nach oben verschoben

Der Funktionsterm der Funktion ist: x² + 5.

Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind: S (0 | 5).

 

b)

Normalparabel nach unten verschoben

Normalparabel nach unten verschoben

Der Funktionsterm der Funktion lautet: x² – 5.

Der Scheitelpunkt der Funktion ist: S (0 | –5).

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die Normalparabl wird entlang der y-Achse verschoben. Der Punkt P soll auf der neuen Funktion liegen. Gib ebenso den Funktionsterm und Scheitelpunkt an.

Die neue Funktion kann man allgemein so wiedergegeben: f(x) = x² + c.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Quadratische Funktionen die dort gemachten Ausführungen an.

 

a)   P (0 | –1,6)

–1,6 = (0)² + c

c = –1,6

Der Funktionsterm lautet: x² –1,6.

Der Scheitelpunkt ist: S (0 | –1,6).

 

b)   P (1 | 3,2)

3,2 = (1)² + c

3,2 = 1 + c           |     – 1

c = 2,2

Der Funktionsterm lautet hier: x² + 2,2.

Der Scheitelpunkt ist: S (0 | 2,2).

 

c)   P (–1 | 6)

6 = (–1)² + c

6 = 1 + c              |     – 1

c = 5

Der Funktionsterm ist: x² + 5.

Der Scheitelpunkt ist: S (0 | 5).

 

d)   P (3 | –4)

–4 = (3)² + c

–4 = 9 + c            |     – 9

c = –13

Der Funktionsterm lautet hier: x² – 13.

Der Scheitelpunkt ist: S (0 | –13).

 

e)   P (–3 | –6)

–6 = (–3)² + c

–6 = 9 + c            |     – 9

c = –15

Der Funktionsterm ist: x² – 15.

Der Scheitelpunkt ist: S (0 | –15).

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne den Graph der Funktion f. Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion sowie die Gleichung der Symmetrieachse.

Beide Funktionen sind jeweils entlang der x-Achse verschobene Normalparabeln. Man kann das anhand der Funktionsgleichung sofort sehen.

a)   f(x) = (x – 3)²

Normalparabel nach rechts vorschoben

Normalparabel nach rechts vorschoben

Der Scheitelpunkt der Funktion ist: S (3 | 0).

Die Symmetrieachse ist: x = 3.

 

b)   f(x) = (x + 1)²

Normalparabel nach links verschoben

Normalparabel nach links verschoben

Der Scheitelpunkt der Funkton ist: S (–1 | 0).

Die Gleichung der Symmetrieachse ist: x = –1.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgagbe: Verschiebe die Normalparabel um 3 Einheiten nach rechts und 2, 6 Einheiten nach unten. Ermittle, ob auf der neuen Funktion die folgenden Punkte liegen.

Bevor man hier eine sogenannte Punktprobe machen kann, muss man die Funktionsgleichung der neuen Funktion aufstellen. Hierbei ist es wichtig, dass man die Verschiebungen der Normalparabel im Koordinatensystem in die korrekte algebraische Form umwandelt.

3 Einheiten nach rechts ist: (x – 3)²

2,6 Einheiten nach unten ist: –2,6

Hieraus ergibt sich diese Funktionsgleichung: f(x) = (x – 3)² – 2,6.

 

a)   P_1 (1 | 5,4)

5,4 = (1 – 3)² – 2,6

5,4 = (–2)² – 2,6

5,4 = 4 – 2,6

5,4 = 1,4

Der Punkt P_1 liegt nicht auf der Funktion.

 

b)   P_2 (4 | 8,6)

8,6 = (4 – 3)² – 2,6

8,6 = (1)² – 2,6

8,6 = 1 – 2,6

8,6 = –1,6

Der Punkt P_2 liegt nicht auf der Funktion.

 

c)   P_3 (6 | 6,4)

6,4 = (6 – 3)² – 2,6

6,4 = (3)² – 2,6

6,4 = 9 – 2,6

6,4 = 6,4

Der Punkt P_3 liegt auf der Funktion.

 

d)   P_4 (–2 | 22,4)

22,4 = (–2 – 3)² – 2,6

22,4 = (–5)² – 2,6

22,4 = 25 – 2,6

22,4 = 22,4

Der Punkt P_4 liegt auf der Funktion.

 

e)   P_5 (–4 | 52,6)

52,6 = (–4 – 3)² – 2,6

52,6 = (–7)² – 2,6

52,6 = 49 – 2,6

52,6 = 46,4

Der Punkt P_5 liegt nicht auf der Funktion.

 

f)    P_6  (0 | –2,6)

 –2,6 = (0 – 3)² – 2,6

–2,6 = (–3)² – 2,6

–2,6 = 9 – 2,6

–2,6 = 6,4

Der Punkt P_6 liegt nicht auf der Funktion.

 

Diesen Artikel des Mathematik Nachhilfe Blogs kann man hier als PDF downloaden: Mathe-Nachhilfe: Quadratische Funktionen, Teil 2.

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3 Gedanken zu “Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Funktionen, Teil 2

  1. Danke für den sehr interessanten Eintrag. Alles ist hier gut erklärt.
    Unter diesem Link http://mathe-hilfe.net/funktionen-3d-graphen.php finden Sie ein Programm, das ermöglicht, Graphen von Funktionen zweier Variablen zu zeichnen. Die Applikation ist nützlich bei der Lösung von Matheaufgaben. Ich wende mich an Sie mit der Bitte, das Programm zu testen, das Sie
    unter diesem Link finden. Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar. Gruß.

    • Hallo Herr Hemel,

      vielen Dank für Ihren netten Kommentar auf meinem Mathematik Nachhilfe Blog.

      Vielen Dank auch für den Hinweise des Mathe-Programms, mit dem es möglich ist, bestimmte Funktionen zu zeichnen. Wenn ich Zeit dafür habe, werde ich das Programm auch einmal selbst testen und ihnen dann auch ein Feedback geben.
      Auf den ersten Blick jedenfalls scheint das Mathematik-Programm von der Benutzeroberfläche sehr einfach gehalten zu sein, was ja schon mal sehr gut ist und auch eine sehr ansprechende Grafik zu haben. So ist zumindest mein erster Eindruck.

      Bis bald mal!
      Grüße aus Berlin!

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