Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 10

Bruchterme sind super © Esther Stosch PIXELIO www.pixelio.de

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Alle Aufgaben in Mathe zu Bruchtermen kann man im Prinzip schon. Alles, was man beim Bruchrechnen gelernt hat, muss man ja hier wiederum abrufen. Daher sind Bruchterme ein dankbares Stoffgebiet – wenn man schon top bei Brüchen war. Das Einzige, was wirklich bei Bruchtermen neu ist, ist die eingeschränkte Lösungsmenge sowie die auftretenden Variablen beim Bruch. Aber das Allerallerwichtigste ist: Alle Rechenoperationen sind bekannt! Das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren und das Dividieren sind schließlich zu 100 % gleich wie beim Bruchrechnen. Ebenso hat man bereits gelernt, wie man z. B. Variablen mittels des Distributivgesetzes auflöst – wenn man dieses bei Bruchtermen anwenden muss. Nichtsdestotrotz muss man natürlich beim Lösen jeder Aufgabe bei Bruchtermen hochkonzentriert sein – wie immer bei Mathe!

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Bruchterme

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze den Bruchterm. Klammere zuvor aus.

a)   {\frac{6\mathrm x~+~8\mathrm y}{30\mathrm x~+~40\mathrm y}}

b)   {\frac{\mathrm a\mathrm b~+~\mathrm b\mathrm c}{\mathrm a\mathrm b~-~\mathrm a\mathrm c}}

c)   {\frac{\mathrm x^2~-~\mathrm x\mathrm y}{\mathrm x^2~+~\mathrm x\mathrm y}}

d)   {\frac{7\mathrm x~+~21}{9\mathrm x~+~27}}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei den Bruchtermen eine Multiplikation durch.

a)   {\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} · {\frac{35\mathrm b}{21\mathrm a^2}}

b)   {\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} · {\frac{\mathrm y^2}{5\mathrm x}} · {\frac{-4}{\mathrm y}}

c)   {\frac{\mathrm a~+~\mathrm b}{9\mathrm a^2}} · (–3a) · a · (–b)

d)   {\frac{2\mathrm x^2}{5\mathrm y^2}} · {\frac{60\mathrm y}{18\mathrm x}}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende bei dem Bruchterm eine Division an.

a)   {\frac{\mathrm a^2\mathrm b^2}{4\mathrm c}} : {\frac{\mathrm a\mathrm b}{5\mathrm c}}

b)   {\frac{5\mathrm b}{8\mathrm a}} : 4b

c)   {\frac{15\mathrm x\mathrm y}{6\mathrm z}} : {\frac{5\mathrm x\mathrm b}{4\mathrm z}}

d)   {\frac{6\mathrm x^2\mathrm y}{5\mathrm c\mathrm d}} : {\frac{8\mathrm x^2\mathrm y}{15\mathrm c^2\mathrm d}}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei den Bruchtermen eine Addition bzw. Subtraktion durch.

a)   {\frac{\mathrm x}{\mathrm a}} + {\frac{\mathrm y}{\mathrm a}}{\frac{\mathrm z}{\mathrm a}}

b)   {\frac{4\mathrm b}{\mathrm x^2}} + {\frac{2\mathrm b}{\mathrm x^2}} – {\frac{3\mathrm b}{\mathrm x^2}}

c)   {\frac{4\mathrm a}{5\mathrm b}} – 2

d)   {\frac{3\mathrm x}{\mathrm a\mathrm b}} + {\frac{2\mathrm y}{\mathrm a\mathrm c}}

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Der Bruchterm soll gekürzt werden. Klammere hierbei vorher aus.

a)   {\frac{6\mathrm x~+~8\mathrm y}{30\mathrm x~+~40\mathrm y}}     (für x ≠ –{\frac{4}{3}}y bzw.   y ≠ –{\frac{3}{4}}x)

Hier kann man bei dem Zähler und Nenner den Faktor „2“ ausklammern.

{\frac{2\ {\cdot}\ (3\mathrm x~+~4\mathrm y)}{2\ {\cdot}\ (15\mathrm x~+~20\mathrm y)}}

Jetzt kann man den Bruchterm kürzen bzw. den ausgeklammerten Faktor.

{\frac{3\mathrm x~+~4\mathrm y}{15\mathrm x~+~20\mathrm y}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 2. Das Kürzen von Bruchtermen ergänzend an.

 

b)   {\frac{\mathrm a\mathrm b~+~\mathrm b\mathrm c}{\mathrm a\mathrm b~-~\mathrm a\mathrm c}}     (für ab ≠ ac)

Diesen Bruchterm kann man nicht weiter vereinfachen, da es im Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor gibt, den man ausklammern kann.

 

c)   {\frac{\mathrm x^2~-~\mathrm x\mathrm y}{\mathrm x^2~+~\mathrm x\mathrm y}}     (für x ≠ 0; x ≠ –y bzw. y ≠ –x)

Hier kann man beim Zähler und Nenner das „x“ ausklammern.

{\frac{\mathrm x\ {\cdot}\ (\mathrm x~-~\mathrm y)}{\mathrm x\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~\mathrm y)}}

Darauf kann man das ausgeklammerte „x“ kürzen.

{\frac{\mathrm x~-~\mathrm y}{\mathrm x~+~\mathrm y}}

 

d)   {\frac{7\mathrm x~+~21}{9\mathrm x~+~27}}     (für x ≠ –3)

Hier kann man im Zähler den Faktor „7“ ausklammern und im Nenner den Faktor „9“.

{\frac{7\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~3)}{9\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~3)}}

Wie man sieht, ergibt sich hierdurch jeweils im Zähler und Nenner der gleiche Teilterm „x + 3“. Diesen darf man dann kürzen.

{\frac{7}{9}}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache die Bruchterme mittels Multiplikation.

Brüche multipliziert man, indem man Zähler und Nenner der Brüche miteinander malnimmt. Genauso macht man eine Multiplikation bei Bruchtermen. Vorher kürzt man über Kreuz, falls das möglich ist.

a)   {\frac{3\mathrm a}{7\mathrm b}} · {\frac{35\mathrm b}{21\mathrm a^2}}     (für a ≠ 0; b ≠ 0)

Hier kann man über Kreuz kürzen. Der Faktor „3“ wird zu „1“ und der Faktor „21“ zu „7“. Das „a“ kann man von dem einem Bruch komplett herauskürzen. Der Faktor „35“ wird zu „5“ und der Faktor „7′“ zu „1“. Das „b“ kann man komplett herauskürzen.

{\frac{1}{1}} · {\frac{5}{7\mathrm a}}

Dadurch ergibt sich dann dieser Bruch:

{\frac{5}{7\mathrm a}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zur Multiplikation von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 4. Das Multiplizieren von Bruchtermen an.

 

b)   {\frac{\mathrm x}{\mathrm y}} · {\frac{\mathrm y^2}{5\mathrm x}} · {\frac{-4}{\mathrm y}}     (für x ≠ 0; y ≠ 0)

Hier kann man das „x“ komplett herauskürzen und das „y“ kann man ebenfalls komplett herauskürzen.

{\frac{1}{1}} · {\frac{1}{5}} · {\frac{-4}{1}}

Hierdurch erhält man diesen vereinfachten Bruch:

{\frac{-4}{5}}

Das Minus kann man noch vor den Bruch ziehen.

{\frac{4}{5}}

 

c)   {\frac{\mathrm a~+~\mathrm b}{9\mathrm a^2}} · (–3a) · a · (–b)     (für a ≠ 0)

Hier kann man das „a²“ im Nenner kürzen sowie die zwei „a“ bei den Produkten. Den Fakor „3“ kann man auch kürzen. Der Faktor „9“ im Nenner wird zu einer „3“. Das „–“ und „–“ wird noch zu einem „+“.

{\frac{\mathrm a~+~\mathrm b}{3}} · 1 · 1 · b

Das Produkt mulitpliziert man dann aus.

{\frac{\mathrm a\mathrm b~+~\mathrm b^2}{3}}

 

d)   {\frac{2\mathrm x^2}{5\mathrm y^2}} · {\frac{60\mathrm y}{18\mathrm x}}     (für x ≠ 0; y ≠ 0)

Hier kann man ein „x“ bei dem „x²“ kürzen sowie das „x“ über Kreuz im Nenner des anderen Bruchs. Genauso kann man das „y“ kürzen sowie ein „y“ bei dem „y²“. Den Faktor „2“ kann man kürzen. Über Kreuz wird aus dem Faktor „18“ der Faktor „9“. Den Faktor „5“ kann man ebenso kürzen. Über Kreuz wird aus dem Faktor „60“ der Faktor „12“.

{\frac{1\mathrm x}{1\mathrm y}} · {\frac{12}{9}};

{\frac{12\mathrm x}{9\mathrm y}}

Hier kann man Zähler nund Nenner noch mit dem Faktor „3“ kürzen.

{\frac{4\mathrm x}{3\mathrm y}}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei dem Bruch eine Division durch.

a)   {\frac{\mathrm a^2\mathrm b^2}{4\mathrm c}} : {\frac{\mathrm a\mathrm b}{5\mathrm c}}     (für c ≠ 0);

{\frac{\mathrm a^2\mathrm b^2}{4\mathrm c}} · {\frac{5\mathrm c}{\mathrm a\mathrm b}}

Nachdem man den Kehrwert des einen Bruchs gebildet hat, kann man aus dem „a²“ ein „a“ herauskürzen sowie ein „b“ aus dem „b²“. Das „c“ im Nenner kann man ebenso kürzen. Bei dem anderen Bruch kürzt sich im Zähler auch das „c“ heraus, im Nenner das „a“ und „b“.

{\frac{\mathrm a\mathrm b}{4}} · {\frac{5}{1}}

Zum Schluss führt man noch die Multiplikation durch.

{\frac{5\mathrm a\mathrm b}{4}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe zur Division von Bruchtermen hierzu auch unter dem Reiter Bruchterme 5. Das Dividieren von Bruchtermen ergänzend an.

 

b)   {\frac{5\mathrm b}{8\mathrm a}} : 4b     (für a ≠ 0);

{\frac{5\mathrm b}{8\mathrm a}} · {\frac{1}{4\mathrm b}}

Das „b“ beim Zähler des einen Bruchs und das „b“ bem Zähler des anderen Bruchs, nachdem man dessen Kehrwert gebildet hat, kann man jeweils herauskürzen.

{\frac{5}{8\mathrm a}} · {\frac{1}{4}}

Anschließend führt man die Multiplikation durch.

{\frac{5}{32\mathrm a}}

 

c)   {\frac{15\mathrm x\mathrm y}{6\mathrm z}} : {\frac{5\mathrm x\mathrm b}{4\mathrm z}}     (für z ≠ 0);

{\frac{15\mathrm x\mathrm y}{6\mathrm z}} · {\frac{4\mathrm z}{5\mathrm x\mathrm b}}

Das „x“ kann man beim ersten Bruch über Kreuz herauskürzen, ebenso das „z“. Den Faktor „15“ kann man zum Faktor „5“ hin kürzen. Den Faktor „6“ zum Faktor „3“. Beim anderen Bruch kann man das „z“ herauskürzen und das „x“. Der Faktor „4“ wird zum Faktor „2“ und der Faktor „5“ wird zum Faktor „1“.

{\frac{3\mathrm y}{3}} · {\frac{2}{1\mathrm b}}

Dann kann man die Multiplikation durchführen.

{\frac{6\mathrm y}{3\mathrm b}}

Den Faktor „6“ und den Faktor „3“ kann man noch kürzen.

{\frac{2\mathrm y}{\mathrm b}}

 

d)   {\frac{6\mathrm x^2\mathrm y}{5\mathrm c\mathrm d}} : {\frac{8\mathrm x^2\mathrm y}{15\mathrm c^2\mathrm d}}     ( für c ≠ 0; d ≠ 0);

{\frac{6\mathrm x^2\mathrm y}{5\mathrm c\mathrm d}} · {\frac{15\mathrm c^2\mathrm d}{8\mathrm x^2\mathrm y}}

Das „x²“ kann man über Kreuz herauskürzen und das „y“ ebenso, das „c“ und das „d“. Den Faktor „6“ kann man über Kreuz zu dem Faktor „3“ hin kürzen. Den Faktor „5“ zu dem Faktor „1“. Bei dem anderen Bruch kann man ein „c“ herauskürzen, das „d“ und das „x²“ und das „y“. Den Faktor „15“ kann man über Kreuz zum Faktor „3“ kürzen, den Faktor „8“ zum Faktor „4“.

{\frac{3}{1}} · {\frac{3\mathrm c}{4}}

Darauf kann man die Multiplikation durchführen.

{\frac{9\mathrm c}{4}}

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache die Brüche mittels Addition bzw. Subtraktion.

a)   {\frac{\mathrm x}{\mathrm a}} + {\frac{\mathrm y}{\mathrm a}}{\frac{\mathrm z}{\mathrm a}}     (für a ≠ 0)

Hier kann man die Brüche sofort Addieren bzw. Subtrahieren, da die Brüche alle gleichnamig sind.

{\frac{\mathrm x~+~\mathrm y~-~\mathrm z}{\mathrm a}}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Addition und Subtraktion von Bruchtermen siehe hierzu auch unter dem Reiter Bruchterme 3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen ergänzend an.

 

b)   {\frac{4\mathrm b}{\mathrm x^2}} + {\frac{2\mathrm b}{\mathrm x^2}} – {\frac{3\mathrm b}{\mathrm x^2}}     (für x ≠ 0)

Hier sind alle Brüche ebnso bereits gleichnamig, deshalb kann man sofort eine Addition bzw. Subtraktion durchführen

{\frac{3\mathrm b}{\mathrm x^2}}

 

c)   {\frac{4\mathrm a}{5\mathrm b}} – 2     (für b ≠ 0)

Hier muss man die ganze Zahl erst gleichnamig machen.

{\frac{4\mathrm a}{5\mathrm b}} – (2 · {\frac{5\mathrm b}{5\mathrm b}});

{\frac{4\mathrm a}{5\mathrm b}}{\frac{10\mathrm b}{5\mathrm b}}

Danach kann man die Subtraktion durchführen.

{\frac{4\mathrm a~-~10\mathrm b}{5\mathrm b}}

 

d)   {\frac{3\mathrm x}{\mathrm a\mathrm b}} + {\frac{2\mathrm y}{\mathrm a\mathrm c}}     (für a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0)

Beide Brüche muss man hier erst gleichnamig machen, indem man einen gemeinsamen Hauptnenner bildet. Dieser Hauptnenner ist „abc“.

{\frac{3\mathrm x}{\mathrm a\mathrm b}} · {\frac{\mathrm c}{\mathrm c}} + {\frac{2\mathrm y}{\mathrm a\mathrm c}} · {\frac{\mathrm b}{\mathrm b}};

{\frac{3\mathrm x\mathrm c}{\mathrm a\mathrm b\mathrm c}} + {\frac{2\mathrm y\mathrm b}{\mathrm a\mathrm c\mathrm b}};

{\frac{3\mathrm c\mathrm x}{\mathrm a\mathrm b\mathrm c}} + {\frac{2\mathrm b\mathrm y}{\mathrm a\mathrm b\mathrm c}}

Darauf kann man die Addition durchführen.

{\frac{3\mathrm c\mathrm x~+~2\mathrm b\mathrm y}{\mathrm a\mathrm b\mathrm c}}

 

Diesen Artikel des Mathematik Nachhilfe Blogs kann man hier als PDF downloaden: Mathe-Nachhilfe: Bruchterme, Teil 10.

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