Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 8

Fußballplatz auf dem Land © Hartmut910 PIXELIO www.pixelio.de

Fußballplatz auf dem Land © Hartmut910 PIXELIO www.pixelio.de

Beim Flächeninhalt von Vielecken im Fach Mathematik muss man entweder die Fläche exakt mittels Formel berechnen oder zeichnerisch ermitteln, bei der wiederum auch eine Rechnung gemacht werden muss. Die zwei Verfahren zum Bestimmen des Flächeninhalts unterscheiden sich hierbei in ihrer Exaktheit. Die rechnerische Methode ist immer ganz, ganz exakt, die zeichnerische nicht. Interessant hierbei ist aber, dass das zeichnerische Ermitteln des Flächeninhalts realitätskonform ist, sprich ein Abbild der Realität ist, der rechnerische Weg hingegen nicht. Kein Flächeninhalt, den man rein rechnerisch bestimmt, kommt so in der Realität 100 % identisch auch vor. Alle Flächen, die man sieht, sei es Rechtecke, Parallelogramme, Trapeze oder andere Vielecke verlaufen nämlich nicht exakt so, wie man sie am Computer (!) zeichnen kann!

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet: der Flächeninhalt von Vielecken

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Welcher Sportplatz ist größer? Sportplatz 1 ist 88 Meter lang und 67 Meter breit, Sportplatz 2 ist 84 Meter lang und 69 Meter breit.

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne das Paralellogramm ABCD in ein Koordinatensystem (1 cm = 1 Längeneinheit). Ermittle darauf den Flächeninhalt des Parallelogramms, ohne Messen einzelner Längen.

A (4 | 8)

B (11 | 8)

C (12 | 10)

D (5 | 10)

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne ein Dreieck ABC und ermittle durch Messen dessen Flächeninhalt und Umfang.

a = 4,2 cm;   β = 42º;   γ = 48º

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es ist folgendes Trapez gegeben. Das gleiche Trapez soll auf Karopapier übertragen werden und die Längen abgemessen werden. Anschließend soll dessen Flächeninhalt berechnet werden, indem man die hierzu notwendigen Längen abmisst.

Trapez auf Karopapier

Trapez auf Karopapier

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet: der Flächeninhalt von Vielecken

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es soll berechnet werden, welcher Fußballplatz größer ist. Der erste Sportplatz ist 88 Meter lang und 67 Meter breit, der zweite Sportplatz ist 84 Meter lang und 69 Meter breit.

Bei einem Fußballplatz liegt immer eine rechteckige Fläche vor, sprich ein Rechteck.

Der Fächeninahlt eines Rechtecks berechnet man hierbei wie folgt:

AR = a · b

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken siehe auch unter dem Reiter Flächeninhalt 3. Flächeninhalt bei einem Rechteck an.

 

Der 1. Fußballplatz hat folgende Fläche:

A1 = 88 m · 67 m

A1 = 5896 m²

 

Der 2. Fußballplatz hat diese Fläche:

A2 = 84 m · 69 m

A2 = 5796 m²

Der erste Fußballplatz hat die größte Fläche.

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Es soll ein Parallelogramm ABCD gezeichnet werden (1 cm = 1 Längeneinheit). Anschließend soll der Flächeininhalt berechnet werden, ohne hierbei die Längen des Parallelogramms abzumessen.

A (4 | 8)

B (11 | 8)

C (12 | 10)

D (5 | 10)

Parallelogramm in einem Koordinatenystem

Parallelogramm in einem Koordinatenystem

 

Den Flächeninhalt eines Parallelogramms kann man folgendermaßen berechnen:

AP = g · h

Die Länge der Grundseite ergibt sich hier in der Aufgabe auf diese Weise, indem man die beiden x-Koordinaten der Punkte B und A voneinander abzieht (natürlich kann man aber auch die Punkte C und D voneinander abziehen):

g = Bx – Ax

g = 11 cm – 4 cm

g = 7 cm

Die Höhe des Parallelogramms in Abhängigkeit zur Grundseite kann man einfach berechnen, wenn man beispielsweise die y-Koordinate von den Punkten D und A voneinander abzieht oder von den Punkten C und B.

h = Dy – Ay

h = 10 cm – 8 cm

h = 2 cm

Darauf kann man den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen:

AP = g · h

AP = 7 cm · 2 cm

AP = 14 cm²

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es soll ein bestimmtes Dreieck gezeichnet werden und anschließend durch Messen dessen Flächeninhalt und Umfang bestimmt werden.

a = 4,2 cm;   β = 42º;   γ = 48º

Gezeichnetes Dreieck ABC

Gezeichnetes Dreieck ABC

Das Dreieck zeichnet man am besten so in ein kariertes Papier, dass die Seite a entlang den Karos verläuft. Dadurch ergibt sich der Punkt B und der Punkt C des Dreiecks. An die Punkte legt man dann schließlich die beiden gegebenen Winkel β und  γ an. Der Schnittpunkt beider Winkel ergibt den Punkt A des Dreiecks.

Von der Seite a ausgehend, kann man durch Messen die Höhe ha bestimmen. Die Höhe ha verläuft hierbei rechtwinklig zur Grundseite a durch den Punkt A. Durch Messen ergibt sich ungefähr Folgendes:

ha = 2,1 cm

Allgemein gilt ja für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks:

AD = 0,5 · g · h

Auf dieses Dreieck bezogen gilt:

AD = 0,5 · a · ha

AD = 0,5 · 4,2 cm · 2,1 cm

AD = 4,41 cm²

 

Allgemein berechnet man den Umfang eines Dreiecks wie folgt:

UD = a + b + c

Durch Messen ergibt sich für die Seite b des Dreiecks ungefähr:

b = 2,8 cm

Und für die Seite c ergibt sich durch Messen ungefähr folgende Länge:

c = 3,1 cm

Daraus kann man nun den Umfang des Dreiecks berechnen:

UD = 4,2 cm + 2,8 cm + 3,1 cm

UD = 10,1 cm

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Nachfolgendes Trapez soll auf ein Karopapier übertragen werden. Hierbei sollen die Längen abgemessen werden. Daraufhin soll dessen Flächeninhalt berechnet werden, indem man die hierzu notwendigen Längen abmisst.

Trapez auf Karopapier

Trapez auf Karopapier

Durch Messen erhält man gegen den Uhrzeigersinn und von der unteren waagrechten Seite beginnend, ungefähr folgende Maße:

a = 6,5 cm

b = 3,3 cm

c = 3,5 cm

d = 2,7 cm

 

Für die Bechnung des Flächeninhalts eines Trapezes benötigt man noch deren Höhe. Durch Messen ergibt sich hier:

h = 2,5 cm

Der Flächeinhalt eines Trapezes berechnet sich wie folgt:

AT = 0,5 · (a + c) · h

Auf dieses Beispiel bezogen, ergibt sich daher folgender Flächeninhalt:

AT = 0,5 · (6,5 cm + 3,5 cm) · 2,5 cm

AT = 0,5 · 10 cm · 2,5 cm

AT = 12,5 cm²

 

Als Download gibt es hier diesen Artikel des Mathematik Nachhilfe Blogs: Mathe-Nachhilfe: Flächeninhalt von Vielecken, Teil 8.

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