Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 5

Logik in Mathe S. © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Logik in Mathe S. © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Eine bestimmte Logik ist bei jedem Stoffgebiet in Mathe zentral. Mathematik ist ja Logik pur. Deshalb nimmt dieses Fach in der Schule auch eine sehr, sehr wichtige Stellung ein. Wie sieht nun aber beispielsweise die Logik beim Stoffgebiet Bruchgleichungen aus? Guckt man sich Bruchgleichungen an, so beginnt die Logik beim Aufstellen der Definitionsmenge der jeweiligen Aufgabe. Hiermit steht und fällt ja die Lösung der Aufgabe! Als Nächstes muss man die Gleichung dahingehend vereinfachen, dass man bei den Brüchen deren Hauptnenner bildet. Anschließend löst man die jetzt ganz normale Gleichung nach der Variablen hin auf. Zum Schluss muss man noch die Lösung mit der Definitionsmenge abgleichen und die Lösung angeben. Das ist die Logik bei Buchgleichungen – um diese Gleichungen richtig zu lösen.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Bruchgleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

a)   {\frac{9}{-3\mathrm x~+~4}} = {\frac{8}{-2\mathrm x~+~6}}

b)   {\frac{-3}{2\mathrm x~+~5}} = {\frac{2}{4\mathrm x~-~2}}

c)   {\frac{22}{\mathrm x}} = {\frac{6}{\mathrm x~-~8}}

d)   {\frac{6}{-\mathrm x~+~2}} = {\frac{2}{\mathrm x~+~2}}

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Buchgleichung.

a)   {\frac{40}{\mathrm x^2~-~9}} = –{\frac{10}{\mathrm x~+~3}} + {\frac{8}{\mathrm x~-~3}}

b)   {\frac{4}{15}} = {\frac{3}{3\mathrm x~+~9}} + {\frac{8~+~\mathrm x}{5\mathrm x~+~15}}

c)   1 = {\frac{\mathrm x~+~9}{4\mathrm x~-~6}} + {\frac{3\mathrm x~-~1}{2\mathrm x~-~3}}

d)   {\frac{1}{-\mathrm x~+~1}} = {\frac{1}{\mathrm x~-~1}}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Lege dar, wie der Bruch der Bruchgleichung schrittweise logisch entfernt wurde.

{\frac{2}{2\mathrm x}} + {\frac{3}{2\mathrm x(\mathrm x~+~4)}} = {\frac{5}{\mathrm x}}

{\frac{2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}} + {\frac{3}{2\mathrm x(\mathrm x~+~4)}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}{\mathrm x\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}}

{\frac{2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}} + {\frac{3}{2\mathrm x(\mathrm x~+~4)}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}}

2 · (x + 4) + 3 = 5 · 2 · (x + 4)

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

a)   {\frac{21}{\mathrm x~-~3}} = {\frac{7\mathrm x}{\mathrm x~-~3}}

b)   {\frac{2(2\mathrm x~+~1)}{\mathrm x(\mathrm x~+~1)}} + {\frac{2}{\mathrm x}} = {\frac{2}{\mathrm x~+~1}}

c)   {\frac{14~-~2\mathrm x}{3}} + 6 =  {\frac{6\mathrm x~+~24}{5}} + 4

d)   {\frac{\mathrm x~-~3}{\mathrm x~+~4}} – {\frac{\mathrm x~+~1}{\mathrm x~-~4}} = {\frac{3\mathrm x}{\mathrm x^2~-~16}}

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchgleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle für die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

a)   {\frac{9}{-3\mathrm x~+~4}} = {\frac{8}{-2\mathrm x~+~6}}

 

–3x + 4 = 0           |  + 3x

4 = 3x                   |  : 3

x = {\frac{4}{3}}

 

–2x + 6 = 0           |  + 2x

6 = 2x                   |  : 2

x = 3

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ {\frac{4}{3}}; 3} oder D = {\mathbb Q} \ {{\frac{4}{3}}; 3}

 

{\frac{9}{-3\mathrm x~+~4}} = {\frac{8}{-2\mathrm x~+~6}}                    |  · (–3x + 4) · (–2x + 6)

9 · (–2x + 6) = 8   · (–3x + 4)

–18x + 54 = –24x + 32               |  + 24x

6x + 54 = 32                               |  – 54

6x = –22                                     |  : 6

x = –{\frac{11}{3}}

L = {–{\frac{11}{3}}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Bruchgleichungen die dort gemachten Darlegungen ergänzend an.

 

b)   {\frac{-3}{2\mathrm x~+~5}} = {\frac{2}{4\mathrm x~-~2}}

 

2x + 5 = 0            |  – 5

2x = –5                |  : 2

x = –2,5

 

4x – 2 = 0            |  + 2

4x = 2                  |  : 4

x = 0,5

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –2,5; 0,5} oder D = {\mathbb Q} \ {–2,5; 0,5}

 

{\frac{-3}{2\mathrm x~+~5}} = {\frac{2}{4\mathrm x~-~2}}                        |  · (2x + 5) · (4x – 2)

(–3) · (4x – 2) = 2 · (2x + 5)

–12x + 6 = 4x + 10                    |  + 12x

6 = 16x + 10                              |  – 10

–4 = 16x                                    |  : 16

x = {–{\frac{1}{4}}}

L = {–{\frac{1}{4}}}

 

c)   {\frac{22}{\mathrm x}} = {\frac{6}{\mathrm x~-~8}}

 

x = 0

 

x – 8 = 0                     |  + 8

x = 8

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0; 8} oder D = {\mathbb Q} \ {0; 8}

 

{\frac{22}{\mathrm x}} = {\frac{6}{\mathrm x~-~8}}                            |  · x · (x – 8)

22 · (x – 8) = 6 · x

22x – 176 = 6x                     |   – 6x

16x – 176 = 0                       |   + 176

16x = 176                             |   : 16

x = 11

L = {11}

 

d)   {\frac{6}{-\mathrm x~+~2}} = {\frac{2}{\mathrm x~+~2}}

 

–x + 2 = 0                     |   + x

x = 2

 

x + 2 = 0                        |   – 2

x =  –2

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –2; 2} oder D = {\mathbb Q} \ {–2; 2}

 

{\frac{6}{-\mathrm x~+~2}} = {\frac{2}{\mathrm x~+~2}}                       |  · (–x + 2) · (x + 2)

6 · (x + 2) = 2 · (–x + 2)

6x + 12 = –2x + 4                  |  + 2x

8x + 12 = 4                            |  – 12

8x = –8                                  |  : 8

x = –1

L = {–1}

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

a)   {\frac{40}{\mathrm x^2~-~9}} = –{\frac{10}{\mathrm x~+~3}} + {\frac{8}{\mathrm x~-~3}}

 

x² – 9 = (x – 3) · (x + 3)

 

x – 3 = 0                  |  + 3

x = 3

 

x + 3 = 0                  |  – 3

x = –3

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –3; 3} oder D = {\mathbb Q} \ {–3; 3}

 

{\frac{40}{\mathrm x^2~-~9}} = –{\frac{10}{\mathrm x~+~3}} + {\frac{8}{\mathrm x~-~3}}                  |  · (x – 3) · (x + 3)

40 = 10 · (x – 3) + 8 · (x + 3)

40 = 10x – 30 + 8x + 24

40 = 18x – 6                                      |  + 6

46 = 18x                                            |  : 18

x = {\frac{23}{9}}

L = {{\frac{23}{9}}}

 

b)   {\frac{4}{15}} = {\frac{3}{3\mathrm x~+~9}} + {\frac{8~+~\mathrm x}{5\mathrm x~+~15}}

 

3x + 9 = 3 · (x + 3)

 

5x + 15 = 5 · (x + 3)

 

3x + 9 = 0                      |  – 9

3x = –9                          |  : 3

x = –3

 

5x + 15 = 0                    |  – 15

5x = –15                        |  : 3

x = –3

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –3} oder D = {\mathbb Q} \ {–3}

 

{\frac{4}{15}} = {\frac{3}{3\mathrm x~+~9}} + {\frac{8~+~\mathrm x}{5\mathrm x~+~15}}

{\frac{4}{15}} = {\frac{3}{3\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~3)}} + {\frac{8~+~\mathrm x}{5\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~3)}}

{\frac{4}{15}} = {\frac{3}{3\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~3)}} + {\frac{8~+~\mathrm x}{5\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~3)}}          |  · 15 · (x + 3)

4 · (x + 3) = 3 · 5 + (8 + x ) · 3

4x + 12 = 15 + 24 + 3x

4x + 12 = 39 + 3x                             |  – 3x

x + 12 = 39                                       |  – 12

x = 27

L = {27}

 

c)   1 = {\frac{\mathrm x~+~9}{4\mathrm x~-~6}} + {\frac{3\mathrm x~-~1}{2\mathrm x~-~3}}

 

4x – 6 = 0                    |  + 6

4x = 6                          |  : 4

x = {\frac{3}{2}}

 

2x – 3 = 0                    |  + 3

2x = 3                          |  : 2

x = {\frac{3}{2}}

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ {\frac{3}{2}}} oder D = {\mathbb Q} \ {{\frac{3}{2}}}

 

1 = {\frac{\mathrm x~+~9}{4\mathrm x~-~6}} + {\frac{3\mathrm x~-~1}{2\mathrm x~-~3}}

1 = {\frac{\mathrm x~+~9}{2\ {\cdot}\ (2\mathrm x~-~3)}} + {\frac{3\mathrm x~-~1}{2\mathrm x~-~3}}

{\frac{1}{-\mathrm x~+~1}} = {\frac{1}{\mathrm x~-~1}}                          |  · 2 · (2x – 3)

1 · 2 · (2x – 3) = x + 9 + 2 · (3x – 1)

4x – 6 = x + 9 + 6x – 2

4x – 6 = 7x + 7                            |   – 4x

–6 = 3x + 7                                  |   – 7

–13 = 3x                                       |   : 3

x = –{\frac{13}{3}}

L = {–{\frac{13}{3}}}

 

d)   {\frac{1}{-\mathrm x~+~1}} = {\frac{1}{\mathrm x~-~1}}

 

–x + 1 = 0               |   + x

x = 1

 

x – 1 = 0                 |   + 1

x = 1

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 1} oder D = {\mathbb Q} \ {1}

 

{\frac{1}{-\mathrm x~+~1}} = {\frac{1}{\mathrm x~-~1}}

{\frac{1}{-1\ {\cdot}\ (\mathrm x~-~1)}} = {\frac{1}{\mathrm x~-~1}}        |  · (–1) · (x – 1)

1 = 1 · (–1)

1 = –1

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib an, wie der Bruch der Bruchgleichung schrittweise logisch eliminiert wurde.

{\frac{2}{2\mathrm x}} + {\frac{3}{2\mathrm x(\mathrm x~+~4)}} = {\frac{5}{\mathrm x}}

 

{\frac{2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}} + {\frac{3}{2\mathrm x(\mathrm x~+~4)}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}{\mathrm x\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}}

Zuerst wurden Zähler und Nenner der Brüche mit dem Hauptnenner erweitert.

 

{\frac{2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}} + {\frac{3}{2\mathrm x(\mathrm x~+~4)}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}{2\mathrm x\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~4)}}

Beim letzen Bruch wurde das Vertauschungsgesetz/Kommunitativgesetz angewendet.

 

2 · (x + 4) + 3 = 5 · 2 · (x + 4)

Darauf wurde gekürtzt und der Nenner des Bruches entfernt.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Bruchgleichungen.

a)   {\frac{21}{\mathrm x~-~3}} = {\frac{7\mathrm x}{\mathrm x~-~3}}

 

x – 3 = 0                |   + 3

x = 3

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 3} oder D = {\mathbb Q} \ {3}

 

{\frac{21}{\mathrm x~-~3}} = {\frac{7\mathrm x}{\mathrm x~-~3}}            |  · (x – 3)

21 = 7x                       |  : 7

x = 3

Die Lösung gehört nicht zur Definitionsmenge!

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

b)   {\frac{2(2\mathrm x~+~1)}{\mathrm x(\mathrm x~+~1)}} + {\frac{2}{\mathrm x}} = {\frac{2}{\mathrm x~+~1}}

 

x = 0

 

x + 1 = 0                  |  – 1

x = –1

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –1; 0} oder D = {\mathbb Q} \ {–1; 0}

 

{\frac{2(2\mathrm x~+~1)}{\mathrm x(\mathrm x~+~1)}} + {\frac{2}{\mathrm x}} = {\frac{2}{\mathrm x~+~1}}                  |  · x · (x + 1)

2 · (2x + 1) + 2 · ( x + 1) = 2 · x

4x + 2 + 2x + 2 = 2x

6x + 4 = 2x                                   |  – 6x

4 = –4x                                         |  : (–4)

x = –1

Die Lösung ist nicht zur Lösungsmenge gehörig!

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

c)   {\frac{14~-~2\mathrm x}{3}} + 6 =  {\frac{6\mathrm x~+~24}{5}} + 4              |  – 4

{\frac{14~-~2\mathrm x}{3}} + 2 = {\frac{6\mathrm x~+~24}{5}}                    |  · 15

5 · (14 – 2x) + 15 · 2 = 3 · (6x + 24)

70 – 10x + 30 = 18x + 72

100 – 10x = 18x + 72                      |  + 10x

100 = 28x + 72                                |  – 72

28 = 28x                                          |  : 28

x = 1

L = {1}

 

d)   {\frac{\mathrm x~-~3}{\mathrm x~+~4}} – {\frac{\mathrm x~+~1}{\mathrm x~-~4}} = {\frac{3\mathrm x}{\mathrm x^2~-~16}}

{\frac{\mathrm x~-~3}{\mathrm x~+~4}} – {\frac{\mathrm x~+~1}{\mathrm x~-~4}} = {\frac{3\mathrm x}{(\mathrm x~+~4})\ {\cdot}\ (\mathrm x~-~4})}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Hier liegt im Nenner des letzten Bruches die 3. Binomische Formel vor. Siehe hierzu auch unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Erklärungen ergänzend an.

 

x + 4 = 0                     |  – 4

x = –4

 

x – 4 = 0                     |  + 4

x = 4

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –4; 4} oder D = {\mathbb Q} \ {–4; 4}

 

{\frac{\mathrm x~-~3}{\mathrm x~+~4}} – {\frac{\mathrm x~+~1}{\mathrm x~-~4}} = {\frac{3\mathrm x}{(\mathrm x~+~4})\ {\cdot}\ (\mathrm x~-~4})}         |  · (x + 4) · (x – 4)

(x – 4) · (x – 3) – (x + 4 ) · (x + 1) = 3x

x² – 3x – 4x + 12 – (x² + x + 4x + 4) = 3x

x² – 7x + 12 – (x² + 5x + 4) = 3x

x² – 7x + 12 – x² – 5x – 4 = 3x

–12x + 8 = 3x                                               |  + 12x

8 = 15x                                                         |  : 15

x = {\frac{8}{15}}

L = {{\frac{8}{15}}}

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2 Gedanken zu “Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 5

    • Hallo David,

      vielen Dank für Deinen Kommentar.

      Das ist sicherlich ein origeneller Reim, der auch in Mathe zu Bruchgleichungen passt, welchen ich selbst aber niemals verwenden würde. Es ist ja so, dass es leider auch sehr viele Menschen gibt, die obdachlos sind bzw. die als Penner bezeichnet werden. Diese Menschen sind an sich schon sehr schlimm dran und haben ganz bestimmt ein hartes Leben. Schüllerinnen und Schüler, die man nun bei Brüchen oder Bruchgleichungen mit diesem Reim konfrontiert, bekommen meiner Meinung nach durch solch eine Verwendung die supernegative Bedeutung von Penner weiter vermittelt bzw. unter die Nase gerieben. Das muss ja nicht sein. Dadurch bleibt ja das Bild solcher armer Menschen weiterhin sehr negativ gegenüber anderen Menschen. Wörter sollte man eh nicht einfach so verwenden, weil sie sich reimen und irgendwie zu einem bestimmten Sachverhalt passen! Man muss immer auch schauen, ob das Ganze auch humanistisch in der ursprünglichen Bedeutung des Wortes ist. Und das ist hier meiner Meinung nach entschieden verletzt bzw. nicht gegeben. Ich weiß, jeder kann im Prinzip seine eigene Meinung haben, aber hier finde ich das nicht legitim, das so zu machen.

      Grüße,
      Ralf

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