Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 6

Fundamentale (Bau-)Prinzipien bei Bauklötzen © Daniel Bleyenberg PIXELIO www.pixelio.de

Fundamentale (Bau-)Prinzipien bei Bauklötzen © Daniel Bleyenberg PIXELIO www.pixelio.de

Inzwischen bereits ein Dauerthema im Mathematik Nachhilfe Blog stellen lineare Gleichungen dar. Das hat natürlich seine Gründe und ist demzufolge alles andere als grundlos. Außenstehende können nämlich sofort immer das Argument anführen, dass man durch das ständig Gleiche ja nichts Neues lernt! IMMER wieder lineare Gleichungen – ist ja auch immer wieder dasselbe. Es gibt hierfür aber dennoch folgende überaus plausible Gründe: Lineare Gleichungen sind die ersten in Mathe thematisierten Gleichungen. Sie stellen daher das Fundament für alle weiteren in Mathematik noch behandelt werdenden Gleichungen dar; die dort thematisierten algebraischen Gesetzmäßigkeiten sind daher auch Fundamentalgesetzmäßigkeiten/Fundamentalprinzipien; lineare Gleichungen weisen bereits viele verschiedene Aufgabentypen auf, die bei komplexeren Aufgaben wiederum auftreten; lineare Gleichungen sind sehr wichtig allgemein für das Verständnis von Gleichungen und Funktionen. Außerdem ist das hier ein Mathematik Nachhilfe Blog 😉 , die Wiederholung, die Repetitio, ist Blog-immanent 😉 .

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet lineare Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der linearen Gleichungen. Überprüfe das Ergebnis mittels der Probe.

a)   4 + 12x = –44

b)   5 + 4x = 17

c)   –9,6 = 2,2 + x

d)   5x – 2 = –10

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der linearen Gleichung.

a)   9 + 28 = 12s + 3

b)   {\frac{2}{5}}x + 5 = {\frac{7}{5}}x

c)   2x = {\frac{6}{7}} – 5x

d)   –{\frac{1}{3}}a = {\frac{3}{4}}a + 10

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das Zahlenrätsel mittels einer Gleichung.

a) Addiert man zum 2-Fachen einer Zahl die Zahl 8, dann ist das das Gleiche, wie wenn das 3-Fache dieser Zahl um die Zahl 21 erhöht wird.

b) Dividiert man die Differenz einer Zahl und 30 durch 0,5, so erhält man die Zahl 50.

c) Multiplitzirt man die Differenz aus einer Zahl und 8 mit der Zahl 4, dann erhält man die Zahl 12.

d) Das Doppelte einer Zahl um 8 vergrößert und die Summe durch 2 dividiert, ergibt die Zahl 4.

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung.

a)   (7a + 28) · (4a – 16) = 0

b)   (2y – 4) · (9y – 21) = 0

c)   (s – 1) · (s + 1) · (4s – 1) = 0

d)   (6 + 3x) · (10 + 2x) · (1 + x) = 0

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet lineare Gleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme jeweils die Lösungsmenge der linearen Gleichung. Überprüfe anschließend die Korrektheit des Ergebnisses mittels Probe.

a)   4 + 12x = –44               |   – 4

12x = –48                    |   : 12

x = –4

L = {–4}

 

Probe:

4 + 12 · (–4) = –44

4 – 48 = –44

–44 = –44

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Lösung einer linearen Gleichung siehe hierzu auch unter dem Reiter Lineare Gleichungen die dort gemachten Ausführungen ergänzend an.

 

b)   5 + 4x = 17              |   – 5

4x = 12                   |   : 4

x = 3

L = {3}

 

Probe:

5 + 4 · (3) = 17

5 + 12 = 17

17 = 17

Die Probe bestätigt, dass die Lösung richtig ist.

 

c)   –9,6 = 2,2 + x          |   – 2,2

x = –11,8

L = {–11,8}

 

Probe:

–9,6 = 2,2 + (–11,8)

–9,6 = –9,6

Die Probe bestätigt, dass die Lösung korrekt ist.

 

d)   5x – 2 = –10               |   + 2

5x = –8                      |   : 5

x = –1,6

L = {–1,6}

 

Probe:

5 · (–1,6) – 2 = –10

–8 – 2 = –10

–10 = –10

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der linearen Gleichungen.

a)   9 + 28 = 12s + 3

37 = 12s + 3            |   – 3

34 = 12s                  |   : 12

s = {\frac{17}{6}}

L = {{\frac{17}{6}}}

 

b)   {\frac{2}{5}}x + 5 = {\frac{7}{5}}x           |   – {\frac{2}{5}}x

5 = {\frac{5}{5}}x

x = 5

L = {5}

 

c)   2x = {\frac{6}{7}} – 5x              |   + 5x

7x = {\frac{6}{7}}                     |   : 7

x = {\frac{6}{49}}

L = {{\frac{6}{49}}}

 

d)   –{\frac{1}{3}}a = {\frac{3}{4}}a + 10                 |   – {\frac{3}{4}}a

{\frac{13}{12}}a = 10                      |   : (–{\frac{13}{12}})

a = –{\frac{120}{13}}

L = {–{\frac{120}{13}}}

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Das Zahlenrätsel soll mittels einer Gleichung gelöst werden.

a) Wenn man zum 2-Fachen einer Zahl die Zahl 8 hinzuaddiert, dann ergibt sich dasselbe, wie, wenn das 3-Fache der Zahl um 21 vermehrt wird.

2x + 8 = 3x + 21            |   – 2x

8 = x + 21                      |   – 21

x = –13

L = {–13}

 

b) Wenn man die Differenz einer Zahl  und 30 durch 0,5 dividiert, dann erhält man die Zahl 50.

(x – 30) : 0,5 = 50

(x – 30) : {\frac{1}{2}} = 50

(x – 30) · 2 = 50

2x – 60 = 50             |   + 60

2x = 110                   |   : 2

x = 55

L = {55}

 

c) Wenn man die Differenz aus einer Zahl und 8 mit der Zahl 4 multipliziert, dann erhält man die Zahl 12.

(x – 8) · 4 = 12

4x – 32 = 12           |   + 32

4x = 44                   |   : 4

x = 11

L = {11}

 

d) Wenn man eine Zahl verdoppelt und um 8 vergrößert und die Summe durch 4 dividiert, dann erhält man 4.

(2x + 8) : 2 = 4            |   · 2

2x + 8 = 8                    |   – 8

2x = 0                          |   : 0

x = 0

L = {0}

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme für die Gleichungen die Lösungsmenge.

a)   (7a + 28) · (4a – 16) = 0

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ein Produkt ist gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist! Das ist bei dieser Aufgabe sehr wichtig. Dann kann man nämlich sehr schnell die Lösung der Gleichung ermitteln.

 

7a + 28 = 0               |   – 28

7a = –28                   |   : 7

a = –4

 

4a – 16 = 0               |   + 16

4a = 16                     |   : 4

a = 4

 

L = {–4; 4}

 

b)   (2y – 4) · (9y – 21) = 0

2y – 4 = 0             |   + 4

2y = 4                   |   : 2

y = 2

 

9y – 21 = 0           |   + 21

9y = 21                 |   : 9

y = {\frac{7}{3}}

 

L = {2; {\frac{7}{3}}}

 

c)   (s – 1) · (s + 1) · (4s – 1) = 0

 

s – 1 = 0            |   + 1

s = 1

 

s + 1 = 0            |   – 1

s = –1

 

4s – 1 = 0           |   + 1

4s = 1                 |   : 4

s = 0,25

 

L = {–1; 0,25; 1}

 

d)   (6 + 3x) · (10 + 2x) · (1 + x) = 0

 

6 + 3x = 0            |   – 6

3x = –6                |   : 3

x = –2

 

10 + 2x = 0          |   – 10

2x = –10              |   : 2

x = –5

 

1 + x = 0              |   – 1

x = –1

 

L = {–5; –2; –1}

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