Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 3

Eine Funktion in Mathe © Samuel G. PIXELIO www.pixelio.de

Beim Stoffgebiet lineare Funktionen in Mathe lernt man bereits, dass bei Funktionen sowohl immer rechnerisch als auch zeichnerisch Funktionsuntersuchungen gemacht werden können. Lineare Funktionen weisen ja auch, wie alle anderen Funktionen, bestimmte Merkmale/Charakteristika auf. So sind lineare Funktionen beispielsweise normalerweise linear steigend oder fallend (das kann man anhand der Funktionsgleichung ablesen) und sie haben einen Schnittpunkt mit der x- und y-Achse (das kann man beides rechnerisch bestimmen). Der Graph einer linearen Funktion ist hierbei eine Gerade – die dann ebenfalls alle Merkmale/Charakteristika aufweist, welche man rechnerisch bestimmt hat oder bestimmen kann. Aus diesem Grund sind im Fach Mathematik lineare Funktionen auch sehr wichtig, da sie zur Gänze bereits darlegen, was das Besondere an ihnen ist. Bei anderen Funktionen verhält es sich dann genauso.

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet lineare Funktionen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Es sollen folgende linearen Funktionen gezeichnet werden:

a)   y = 0,5x + 3

b)   y = –2x + 1

c)   t = –s + 1,5

d)   y =  {\frac{1}{4}x – 3

Gib jeweils die Steigung der linearen Funktion an. Ermittle ebenso die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Gib auch eine proportionale Funktion samt Funktionsgleichung an, die jeweils die gleiche Steigung hat.

 

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es liegt folgende lineare Funktion vor:   y = m · x + 2         [y = 0,5x + n]. Ermittle jeweils die Zahl für m [n], so dass der Graph der Funktion durch diese Punkt geht.

a)    P (2 | 5)

b)    P (0,2 | 4)

c)    P (3 | 8)

d)    P (–2 | 0)

e)    P (–5 | –2)

 

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Es soll die Funktion x {\mapsto} 0,75x gezeichnet werden. Danach soll der Graph der Funktion um 2 Längeneinheiten nach unten [3 Längeneinheiten nach oben] verschoben werden.

 

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei beiden Funktionen die Stelle x, bei denen der Funktionswert beider Funktionen gleich ist.

a)    f(x) = 0,5x + 5

g(x) = 4x

 

b)    f(x) = 2x

g(x) = –12 + 4x

 

c)    f(x) = 0,75x + 4

g(x) = 5

 

d)    f(x) = 0,5x + 6

g(x) = –2x + 4

 

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet lineare Funktionen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne folgende lineare Funktionen in ein Koordinatensystem ein.

a)   y = 0,5x + 3

b)   y = –2x + 1

c)   t = –s + 1,5

d)   y =  {\frac{1}{4}x – 3

Bei jeder Funktion soll die Steigung ermittelt werden, ebenso der Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen. Darüber hinaus soll eine proportionale Funktion angegeben werden, die jeweils die gleiche Steigung der linearen Funktion hat.

 

a)   y = 0,5x + 3

Bevor man diese Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnet, sollte man die Dezimalzahl vor der Variablen x in eine Bruchzahl umwandeln. Dann kann man nämlich die Funktion viel leichter einzeichnen.

y = 0,5x + 3

y = {\frac{1}{2}x + 3

Die Steigung der Funktion beträgt m = 0,5. Bei der Bruchzahl {\frac{1}{2} kann man die Funktion besser einzeichnen, da man sieht, dass die Funktion 2 Längeneinheiten nach rechts vorweist sowie eine Längeneinheit nach oben. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist P (0 Ι 3). Dort legt man nun das Steigungsdreieck (zwei LE nach rechts und eine LE nach oben) an. Wenn man die Funktion eingezeichnet hat, sieht man, dass der Schnittpunkt mit der x-Achse P (–6 Ι 0) ist. Die Proportionale Funktion lautet: y = 0,5x.

Lineare Funktion f(x) = 0,5x + 3

Die Schnittpunkt mit der y-Achse kann man auch rechnerisch bestimmen. Hierbei gilt immer: x = 0.

y = 0,5 · 0 + 3

y = 0 + 3

y = 3

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist P (0 Ι 3).

 

Ebenso kann man den Schnittpunkt mit der x-Achse rechnerisch bestimmen. Hierbei gilt immer: y = 0

0 = 0,5x + 3            |   – 3

–3 = 0,5x                |   : 0,5

x = –6

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist: P (–6 Ι 0).

 

b)   y = –2x + 1

Bevor man diese Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnet, sollte man auch kurz die Steigung der Funktion anders darstellen, und zwar so, dass man die ganze Zahl hin zu einem Bruch umformt, so dass im Nenner eine eins steht.

y = –2x + 1

y = –{\frac{2}{1} + 1

Die Steigung m ist: –2. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist: P (0 Ι 1). Am Ordinatenabschnitt legt man das Steigungsdreieck an. 1 LE nach links und 2 LE nach oben. Dann kann man die Funktion einzeichnen. Nun sieht man, dass der Schnittpunkt mit der x-Achse P (0,5 Ι 0) ist. Die proportionale Funktion zu dieser Funktion ist: y = –2x.

Lineare Funktion f(x) = –2x + 1

Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0.

y = –2 · 0 + 1

y = 0 + 1

y = 1

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist P (0 Ι 1).

 

Schnittpunkt mit der x-Achse: y = 0.

0 = –2x + 1                |   + 2x

2x = 1                        |   : 2

x = 0,5

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist:  P (0,5 Ι 0).

 

c)   t = –s + 1,5

Hier ist es wiederum sinnvoll die Funktion umzuwandeln, bevor man diese in ein Koordinatenystem einzeichnet. Das Minus Eins vor der Variable wandelt man in den Faktor minus eins um. Darauf wandelt man die ganze Zahl in eine Bruchzahl um.

t = –s + 1,5

t = (–1) · s + 1,5

t = (–1) · s + 1,5

t = –{\frac{1}{1} + 1,5

Die Steigung m ist –1. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist P (0 Ι 1,5). Beim Schnittpunkt mit der y-Achse geht man 1 LE nach links und 1 LE nach oben, dann hat man das Steigungsdreieck korrekt angelegt. Jetzt kann man die Funktion zeichnen. Man sieht dann, dass der Schnittpunkt mit der x-Achse P (1,5 Ι 0) ist. Die proportionale Funktion, die die gleiche Steigung vorweist, ist: t = –s.

Lineare Funktion f(s) = –s + 1,5

Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0.

t = (–1) · 0 + 1,5

t = 1,5

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist: P (0 Ι 1,5).

 

Schnittpunkt mit der x-Achse: y = 0.

0 = –s + 1,5         |   + s

s = 1,5

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist: P (1,5 Ι 0).

 

d)   y =  {\frac{1}{4}x – 3

Die Steigung m der Funktion ist {\frac{1}{4}. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist: P (0 Ι –3). Am Ordinatenabschnitt legt man auch das Steigungsdreieck an. Hier geht man vier LE nach rechts und 1 LE nach oben. Nach dem Einzeichnen sieht man, dass der Schnittpunkt mit der x-Achse folgender ist: P (12 Ι 0). Die proportionale Funktion, mit der gleichen Steigung ist: y = {\frac{1}{4}x.

Lineare Funktion f(x) = 0,25x – 3

Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0.

y = {\frac{1}{4} · 0  – 3

y = –3

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist: P (0 Ι –3).

 

Schnittpunkt mit der x-Achse: y = 0.

0 = {\frac{1}{4}x  – 3         |   + 3

3 = {\frac{1}{4}x                |   : {\frac{1}{4}

x = 12

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist: P (12 Ι 0).

 

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Es ist diese lineare Funktion gegeben:     y = m · x + 2 [y = 0,5x + n]. Für die Zahl m [n] soll jeweils die Zahl bestimmt werden, dass die Funktion durch folgende Punkte geht.

a)    P (2 | 5)

b)    P (0,2 | 4)

c)    P (3 | 8)

d)    P (–2 | 0)

e)    P (–5 | –2)

 

Um die Aufgabe zu lösen, setzt man einfach den Punkt in die Funktion    y = m · x + 2   ein, und löst die Gleichung nach der Variablen m hin auf. Beim Punkt ist hierbei der erste Wert der x-Wert und der zweite Wert der y-Wert.

 

a)    P (2 | 5)

 5 = m · 2 + 2            |   – 2

3 = 2m                       |   : 2

m = 1,5

y = 1,5x + 2

 

5 = 0,5 · 2 + n

5 = 1 + n                   |   – 1

n = 4

y = 0,5x + 4

 

b)    P (0,2 | 4)

4 = m · 0,2 + 2           |   – 2

2 = 0,2m                     |   : 0,2

m = 10

y = 10x + 2

 

4 = 0,5 · 0,2 + n

4 = 0,1 + n                 |   – 0,1

n = 3,9

y = 0,5x + 3,9

 

c)    P (3 | 8)

8 = m · 3 + 2               |   – 2

6 = 3m                         |   : 3

m = 2

y = 2x + 2

 

8 = 0,5 · 3 + n

8 = 1,5 + n                   |   – 1,5

n = 6,5

y = 0,5x + 6,5

 

d)    P (–2 | 0)

0 = m · (–2) + 2            |   – 2

–2 = –2m                      |   : (–2)

m = 1

y = x + 2

 

0 = 0,5 · (–2) + n

0 = –1 + n                     |   + 1

n = 1

y = 0,5x + 1

 

e)    P (–5 | –2)

 –2 = m · (–5) + 2         |   – 2

–4 = –5m                      |   : (–5)

m = {\frac{4}{5}

y = {\frac{4}{5}x + 2

 

–2 = 0,5 · (–5) + n

–2 = 0,5 · (–5) + n

–2 = –2,5 + n

n = 0,5

y = 0,5x + 0,5

 

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Funktion x {\mapsto} 0,75x  soll in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Anschließend soll der Graph der Funktion um 2 Längeneinheiten nach unten [3 Längeneinheiten nach oben] verschoben werden.

Damit man die Funktion besser einzeichnen kann, wandelt man die Dezimalzahl vor der Variablen hin zu einer Bruchzahl um. Die Zuordnungsvorschrift x {\mapsto} 0,75x kann man hierbei folgendermaßen als Funktion schreiben.

y = 0,75x

y = {\frac{3}{4}x

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend die Ausarbeitungen hierzu unter dem Reiter Funktionen an.

 

Die Funktion f(x) = 0,75x

 

Die Funktion um 2 Längeneinheiten nach unten verschoben sieht folgendermaßen aus:

Die Funktionen f(x) = 0,75x und g(x) = 0,75x – 2

 

Die Funktion f(x) = 0,75x

 

Die Funktion um 3 Längeneinheiten nach oben verschoben, sieht folgendermaßen aus:

Die Funktionen f(x) = 0,75x und g(x) = 0,75x + 3

 

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Stelle x an, bei der die beiden Funktionen den gleichen Funktionswert haben.

Den gleichen Funktionswert haben die Funktionen immer dort, wo diese beiden sich schneiden. Es handelt sich daher um den Schnittpunkt der beiden Funktionen. Diesen ermittelt man, indem man die Funktionen gleichsetzt und anschließend die eine Lösungskoordinate in eine der beiden Gleichungen einsetzt. Hierdurch erhält man die zweit Lösungskoordinate. Dadurch erhält man schließlich den Schnittpunkt und somit den gemeinsamen Funktionswert beider Funktionen.

a)    f(x) = 0,5x + 5

g(x) = 4x

 

f(x) = g(x)

0,5x + 5 = 4x           |   – 0,5x

5 = 3,5x                    |   : 3,5

x = {\frac{10}{7}

 

y = 4 · {\frac{10}{7}

y = {\frac{40}{7}

Der gemeinsame Schnittpunkt beider Funktionen ist: S ({\frac{10}{7} Ι {\frac{40}{7}).

 

b)    f(x) = 2x

g(x) = –12 + 4x

 

f(x) = g(x)

2x = –12 + 4x             |   – 4x

–2x = –12                    |   : (–2)

x = 6

 

y = 2 · 6

y = 12

Der gemeinsame Punkt beider Funktionen ist: S (6 Ι 12).

 

c)    f(x) = 0,75x + 4

g(x) = 5

 

f(x) = g(x)

0,75x + 4 = 5           |   – 4

0,75x = 1                 |   : 0,75

x = {\frac{4}{3}

 

y = 5

Der Schnittpunkt beider Funktionen ist: S ({\frac{4}{3} Ι 5).

 

d)    f(x) = 0,5x + 6

g(x) = –2x + 4

 

f(x) = g(x)

0,5x + 6 = –2x + 4          |   + 2x

2,5x + 6 = 4                    |   – 6

2,5x = –2                         |   : 2,5

x = –{\frac{4}{5}

 

y = 0,5 · (–{\frac{4}{5}) + 6

y = –{\frac{2}{5} + 6

y = {\frac{28}{5}

Der gemeinsame Schnittpunkt beider Funktionen ist: S (–{\frac{4}{5} Ι {\frac{28}{5}).

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