Doppelbrüche

1. Allgemeines zu Doppelbrüche

In der Mathematik können Brüche nicht nur aus einem einzigen Bruchstrich bestehen, sondern auch mehrere Bruchstriche vorweisen. Ist dies der Fall, so liegt ein sogenannter Doppelbruch vor. Bei einem Doppelbruch wird daher immer ein Bruch durch einen anderen Bruch geteilt. Schließlich ist ein Bruchstrich ja nur ein anderer Ausdruck für ein Geteiltzeichen/„:“.

 

Beispiele für Doppelbrüche:

\frac{1}{\frac{8}{125}}, \frac{6}{\frac{7}{93}}, \frac{\frac{8}{9}}{7}, \frac{\frac{14}{19}}{5}, \frac{\frac{7}{6}}{\frac{10}{93}}, \frac{\frac{12}{17}}{\frac{28}{107}}

 

2. Das Auflösen von Doppelbrüchen

Doppelbrüche lassen sich in Mathe ganz leicht auflösen. Man muss die jeweiligen Doppelbrüche nur jeweils zu einer Division zwischen zwei Brüchen hin umwandeln.

 

2.1 Doppelbrüche mit ganzer Zahl als Zähler

Liegt ein Doppelbruch vor, der nur eine Zahl als Zahl als Zähler vorweist und einen Bruch im Nenner, so kann man diesen folgendermaßen auflösen:

 

Beispiele:

\frac{5}{\frac{4}{7}} = 5 : \frac{4}{7}} = \frac{5}{1}} : \frac{4}{7}} = \frac{5}{1}} · \frac{7}{4}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 7}{1\ {\cdot}\ 4} = \frac{35}{4}} = 8\frac{3}{4}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Jede natürliche Zahl kann auch als Bruchzahl geschrieben werden. Siehe hierzu auch unter Bruchrechnung 2.2 Das Verhältnis natürliche Zahl und Bruchzahl an.

\frac{12}{\frac{9}{14}} = 12 : \frac{9}{14}} = \frac{12}{1}} : \frac{9}{14}} = \frac{12}{1}} · \frac{14}{9}} = {\frac{12\ {\cdot}\ 14}{1\ {\cdot}\ 9} = \frac{168}{9}} = \frac{56}{3}}= 18\frac{2}{3}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Division von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Multiplikation und Division 3. Die Division von Brüchen an.

\frac{47}{\frac{29}{78}} = 47 : \frac{29}{78}} = \frac{47}{1}} : \frac{29}{78}} = \frac{47}{1}} · \frac{78}{29}} = {\frac{47\ {\cdot}\ 78}{1\ {\cdot}\ 29} = \frac{3666}{29}} = 126\frac{12}{29}}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zur Umwandlung von unechten Brüchen hin zu gemischten Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung 4.1 Das Umrechnen eine unechten Bruchs in einen gemischten Bruch an.

 

2.2 Doppelbrüche mit ganzer Zahl im Nenner

Doppelbrüche können auch nur eine ganze Zahl im Nenner vorweisen. Diese Doppelbrüche löst man dann wie folgt auf.

 

Beispiele:

\frac{\frac{7}{8}}{5} = \frac{7}{8}} : 5 = \frac{7}{8}} : \frac{5}{1}} = \frac{7}{8}} · \frac{1}{5}} = {\frac{7\ {\cdot}\ 1}{8\ {\cdot}\ 5} = \frac{7}{40}}

\frac{\frac{15}{27}}{8} = \frac{15}{27}} : 8 = \frac{15}{27}} : \frac{8}{1}} = \frac{15}{27}} · \frac{1}{8}} = {\frac{15\ {\cdot}\ 1}{27\ {\cdot}\ 8} = \frac{15}{216}} = \frac{5}{72}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Kürzen von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen, 3. Das Kürzen eines Bruchs an

\frac{\frac{38}{45}}{35} = \frac{38}{45}} : 35 = \frac{38}{45}} : \frac{35}{1}} = \frac{38}{45}} · \frac{1}{35}} = {\frac{38\ {\cdot}\ 1}{45\ {\cdot}\ 35} = \frac{38}{1575}}

 

2.3 Doppelbrüche mit Bruch in Zähler und Nenner

Doppelbrüche weisen natürlich oft auch im Zähler und im Nenner einen Bruch auf. Solche Doppelbrüche löst man folgendermaßen auf:

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{7}{13}} = \frac{5}{12}} : \frac{7}{13}} = \frac{5}{12}} · \frac{13}{7}} = {\frac{5\ {\cdot}\ 13}{12\ {\cdot}\ 7} = \frac{65}{84}}

\frac{\frac{12}{19}}{\frac{8}{25}} = \frac{12}{19}} : \frac{8}{25}} = \frac{12}{19}} · \frac{25}{8}} = {\frac{12\ {\cdot}\ 25}{19\ {\cdot}\ 8} = \frac{300}{152}} = \frac{75}{38}} = 1\frac{37}{38}}

\frac{\frac{25}{27}}{\frac{12}{41}} = \frac{25}{27}} : \frac{12}{41}} = \frac{25}{27}} · \frac{41}{12}} = {\frac{25\ {\cdot}\ 41}{27\ {\cdot}\ 12} = \frac{1025}{324}} = 3\frac{53}{324}}

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wie man sieht, werden alle verschiedene Arten von Doppelbrüchen auf die gleiche Weise aufgelöst. Hierzu muss man deshalb im Prinzip nur die Division und Multiplikation von Brüchen beherrschen.

Später, ab einer höheren Klassenstufe, wenn man nur noch viele frühere auf dem Papier gemachten Rechenoperationen mit dem Taschenrechner durchführt, wird man oftmals auch vergessen haben, wie man Doppelbrüche auflöst. Das Gleiche gilt natürlich für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von normalen Brüchen. Das ist aber nicht weiter schlimm, da man ja mit dem Taschenrechner, wie gesagt, Doppelbrüche und andere Brüche in Nullkommanix auflösen und das richtige Ergebnis ermitteln kann.

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