Erweitern und Kürzen

1. Allgemeines zum Erweitern und Kürzen von Brüchen

Jeder Bruch hat einen bestimmten Wert. Bruchzahlen haben nun die Eigenschaft, dass man diese verändern kann – und das bei gleichbleibendem Wert. Das klingt zunächst ein wenig kompliziert, das Umwandeln von Brüchen ohne „Wertverlust“ ist aber überaus einfach.

Verändert man nun einen Bruch, ohne dass der Wert des Bruchs hierbei verändert wird, so liegt ein sogenanntes Erweitern oder Kürzen eines Bruches vor.

Ganz easy meistert man übrigens das Erweitern und Kürzen von Brüchen, wenn man wie üblich bei Mathe nach dem Verstehen des Stoffgebiet noch jede Menge Übungsaufgaben hinterherschiebt.

 

2. Das Erweitern eines Bruchs

In Mathematik erweitert man einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl (ungleich 0) multipliziert. Bei einer Erweiterung eines Bruchs liegt daher immer eine Multiplikation zugrunde. Das Wichtige hierbei ist, dass der Wert des ursprünglichen Bruch-Werts nicht verändert wird, da man ja den Zähler und den Nenner stets mit der gleichen Zahl malnimmt.

Die Zahl, mit der ein Bruch erweitert wird, nennt man auch Erweiterungsfaktor.

 

Beispiele Erweitern echter und unechter Brüche:

Der Bruch {\frac{1}{3} soll mit 4 erweitert werden.

{\frac{1\ {\cdot}\ 4}{3\ {\cdot}\ 4} = {\frac{4}{12}

Der Bruch {\frac{4}{7} soll mit 6 erweitert werden.

{\frac{4\ {\cdot}\ 6}{7\ {\cdot}\ 6} = {\frac{24}{42}

Erweitere den Bruch {\frac{12}{5} mit der Zahl 9.

{\frac{12\ {\cdot}\ 9}{5\ {\cdot}\ 9} = {\frac{108}{45}

Erweitere den Bruch {\frac{15}{7} mit der Zahl 11.

{\frac{15\ {\cdot}\ 11}{7\ {\cdot}\ 11} = {\frac{165}{77}

Jeden echten oder unechten Bruch kann man problemlose mit einer x-beliebigen Zahl erweitern. Für gemischte Brüche gilt das aber nicht. Bevor man nämlich einen gemischten Bruch erweitern kann, muss man diesen immer zuerst in einen unechten Bruch umwandeln. Macht man dies nicht, so verändert man den Wert des Bruchs!

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zu den Begriffen echter, unechter und gemischter Bruch siehe auch unter Bruchrechnung den Unterpunkt 4. Unechte Brüche an.

 

Beispiele Erweitern gemischter Brüche:

Der Bruch 4{\frac{2}{3} soll mit 5 erweitert werden.

Zuerst muss man den gemischten Bruch in einen unechten umwandeln!

4{\frac{2}{3} = {\frac{4\ {\cdot}\ 3+2}{3} = {\frac{14}{3}

Darauf kann man den Bruch mit 5 erweitern.

{\frac{14\ {\cdot}\ 5}{3\ {\cdot}\ 5} = {\frac{70}{15}

Der Bruch 7{\frac{8}{9} soll mit 8 erweitert werden.

7{\frac{8}{9} = {\frac{7\ {\cdot}\ 8+9}{9} = {\frac{65}{9}

Jetzt kann man den Bruch mit 8 erweitern.

{\frac{65\ {\cdot}\ 8}{9\ {\cdot}\ 8} = {\frac{520}{72}

 

3. Das Kürzen eines Bruchs

In Mathe kürzt man einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl (ungleich null) dividiert. Hierbei muss die zu teilende Zahl sowohl im Zähler als auch im Nenner als Teiler enthalten sein. Das Kürzen eines Bruchs basiert daher immer auf einer Division. Das Wichtige ist auch hier, dass der ursprüngliche Bruch-Wert nach dem Kürzen unverändert bleibt, da man ja den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl dividiert.

Die Zahl, mit der ein Bruch gekürzt wird, nennt man auch Kürzungsfaktor.

 

Beispiele Kürzen echter und unechter Brüche:

Der Bruch {\frac{6}{8} soll gekürzt werden.

Vor dem Kürzen muss man einen gemeinsame Teiler finden. Der gemeinsame Teiler, der in Zähler und Nenner enthalten ist, ist hier „2“.

{\frac{6:2}{8:2} = {\frac{3}{4}.

Kürze den Bruch {\frac{6}{27}.

Der gemeinsame Teiler ist hier „3“.

{\frac{6:3}{27:3} = {\frac{2}{9}

Kürze den Bruch {\frac{77}{14}.

Der gemeinsame Teiler ist hier „7“.

{\frac{77:7}{14:7} = {\frac{11}{2} = 5{\frac{1}{2}

Der Bruch {\frac{154}{55} soll gekürzt werden.

Der gemeinsame Teiler ist hier „11“.

{\frac{154:11}{55:11} = {\frac{14}{5} = 2{\frac{4}{5}

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Ein Bruch ist erst immer so weit wie möglich gekürzt, wenn man im Zähler und Nenner den größten gemeinsamen Teiler (ggT) gefunden hat. Findet man diesen nicht sofort, so kann man aber immer auch einen Bruch schrittweise kürzen.

 

Beispiele für das schrittweise Kürzen eines Bruchs:

Der Bruch {\frac{27}{99} soll gekürzt werden:

Ein gemeinsamer Teiler ist „3“.

{\frac{27:3}{99:3} = {\frac{9}{33}

Wie man sieht, kann man den Bruch darauf wiederum durch „3“ teilen.

{\frac{9:3}{33:3} = {\frac{3}{11}

Hätte man von Anfang an den Bruch {\frac{27}{99} mit dem größten gemeinsamen Teiler, „9“ (Teiler „3“ mal Teiler „3“), gekürzt, wäre das gleiche Ergebnis herausgekommen: {\frac{27:9}{99:9} = {\frac{3}{11}

Kürze den Bruch {\frac{84}{294}.

Ein gemeinsamer Teiler ist „2“.

Kürze den Bruch {\frac{84:2}{294:2} = {\frac{42}{147}

Ein weiterer gemeinsamer Teiler ist „3“.

{\frac{42:3}{147:3} = {\frac{14}{49}

Noch ein weiterer gemeinsamer Teiler ist „7“.

{\frac{14:7}{49:7} = {\frac{2}{7}

Auch hier hätte man sofort dasselbe Ergebnis erhalten, wenn man {\frac{84}{294} durch den größten gemeinsamen Teiler „42“ (Teiler „2“ mal Teiler „3“ mal Teiler „7“) geteilt hätte: {\frac{84:42}{294:42} = {\frac{2}{7}.

 

Beispiele Kürzen gemischter Brüche:

Der Bruch 4{\frac{5}{10}.

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Ein gemischter Bruch kann nur gekürzt werden, wenn man bei dem Bruch einen gemeinsamen Teiler findet. Die ganze Zahl vor dem Bruch bleibt hierbei unverändert.

Der gemeinsame Teiler beim Bruch ist hier die „5“.

4{\frac{5:5}{10:5} = 4{\frac{1}{2}

Kürze den gemischten Bruch 6{\frac{14}{49}.

Der gemeinsame Teiles des Bruchs ist hier „7“.

6{\frac{14:7}{49:7} = 6{\frac{2}{7}