Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 1

Schicke Schuhe © Rainer Sturm PIXELIO www.pixelio.de

In der Mathematik kann man immer ganz eindeutig sagen, ob beispielsweise zwei Zahlen, zwei Terme, zwei Funktionen oder gar zwei Gleichungen gleich sind. Ist im Fach Mathe nämlich etwas gleich einem anderen, dann ist das miteinander Verglichene immer auch identisch. In unserer alltäglichen, unmathematischen Welt sieht dies jedoch ganz anders aus – vorausgesetzt man nimmt das Wort „gleich“ wortwörtlich. Denn hier kann man oft unendliche Diskussionen entfachen, wenn ein Otto Normalverbraucher von „gleich im Sinne von identisch“ spricht und sein Gesprächspartner ein Mathematiker oder ein Philosoph ist. Ein gemeinsamer Stadt-Spaziergang kann dann auch schon mal in einer Endlosdiskussion ausarten, wenn der Otto Normalverbraucher damit anfängt, dass nach seinem Empfinden alle Menschen mehr und mehr gleich angezogen seien und gleich aussähen. Als Beispiel führt er sogleich auch zwei vor ihnen zu sehende junge Menschen an, die nach seiner Meinung nach das gleiche Outfit und die gleichen Frisuren hätten. „Früher wäre dies“, so fährt er prompt fort, „vollkommen anders gewesen, da damals nicht alle Menschen uniform ausgesehen hätten.“ Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 4

Appetitliches Allerlei © zora120875 PIXELIO www.pixelio.de

Man nehme eine Minusklammer, eine oder mehrere Variable, verschiedene Zahlen und Rechenzeichen. Darauf kombiniere man alle „Zutaten“ auf logische Art und Weise und gebe seinem Konstrukt eine gewisse Bedenkzeit. Eventuell muss man anschließend nach einem wiederholten „Abschmecken“ das ein oder andere noch hinzugeben, damit auch wirklich das gewünschte Endresultat entsteht – ein voll und ganz überzeugendes „Term-Allerlei“. Mathematik kann so einfach sein, wenn man auf die richtige „Zubereitung“ achtet. Und dies gilt auch insbesondere für Terme. Hat man bei Termen wirklich alle möglichen Bestandteile einmal gut „geschluckt“ und gut „verdaut“, dann kann man auch ein noch so schwieriges „Term-Allerlei“ aufstellen. Wie ein erprobter Koch weiß man dann nämlich, welche „Zutaten“ für das jeweilige „Term-Allerlei“ vonnöten sind.

Allerlei witziges Gemüse © Michael Ottersbach PIXELIO www.pixelio.de

Aber auch in der Rolle des Gastes kann man dann sofort feststellen, ob das einem aufgetischte „termische“ Menü qualitativ ist und es einem mundet – oder nicht. Ist es nämlich nicht nach allen einzuhaltenden „Term-Allerlei“-Vorgaben konstruiert worden, weiß man sofort, warum es einen „geschmacklich“ ganz und gar nicht überzeugt. Ob der Koch noch schwierigere „algebraische“ Menüs zur vollsten Zufriedenheit seiner Gäste „zubereiten“ kann, darf dann ebenso zu Recht mehr als angezweifelt werden. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Tic-Tac-Toe – das fairste Spiel der Welt

Tic-Tac-Toe © Thomas Steiner

Eines der beliebtesten Spiele bei Schülern ist Tic-Tac-Toe (das auch unter den Namen „Drei gewinnt“, „Kreuz und Kreis“, „XXO“ und vielen anderen bekannt ist). Es kann nahezu überall gespielt werden, die Regeln sind superleicht – und es macht irrsinnig viel Spaß. Hierzu braucht man nur ein Blatt Papier, einen Stift und zwei Spielwillige. In Nullkommanix ist das Spielfeld aus zwei Längsstrichen und zwei Querstrichen aufgezeichnet und schon kann es losgehen: Derjenige, der anfängt, macht ein X oder einen Kreis/O in eines der 9 Felder. Daraufhin kommt der Mitspieler an die Reihe. In den nun noch 8 freien Feldern muss dieser, je nachdem ob sein Gegenspieler mit einem X oder einem O begonnen hat, einen O oder ein X einzeichnen. Dann kommt wieder der Starter des Spiels dran. Gewonnen hat immer schließlich derjenige Spieler, der als Erstes eine Längs- oder eine Diagonalreihe aus drei XXX oder drei OOO gebildet hat.

Aus Sicht der Mathematik gibt es nun 3 mögliche Ausgänge beziehungsweise Spiellösungen. Entweder der X-Setzer gewinnt oder der O-Setzer – oder keiner von beiden, da das Spiel unterschieden ausgeht. Und gerade diese letzte Spiellösung macht das Spiel so ungemein außergewöhnlich und so ungemein faszinierend. Egal ob Starter des Spiels oder Nicht-Starter, beim fehlerfreien Setzen jedes X und jedes O geht das Spiel immer garantiert unentschieden aus! Da beim Tic-Tac-Toe die möglichen Remis-Verläufe durch beide Spieler sehr leicht herbeigeführt werden können, ist das Spiel daher unstrittig „das fairste Spiel der Welt“. Schließlich gibt es dann keinen Gewinner und keinen Verlierer, also keinen, der besser ist oder schlechter – sondern  immerzu nur eine harmonische Gleichheit. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 3

Stundenplan © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Bei der von Mathematik-Lehrern an Schüler gerichteten Frage: „Term oder Therme – auf was habt ihr heute mehr Lust?“ würden sich ohne Frage die meisten Schulbankdrücker ganz klar für die Badeanstalt entscheiden. Im Wasser planschen, mit anderen um die Wette schwimmen oder einfach nur im Entspannungsbad „abhängen“ macht natürlich viel mehr Spaß, als im Mathe-Unterricht zu sitzen – und sich mit Termen „herumzuschlagen“. Phonetisch beziehungsweise lautlich liegen beide Begriffe Term und Therme zwar äußerst nahe beieinander – wie die Schüler-Reaktionen auf die oben gestellte Frage höchstwahrscheinlich gezeigt hätten – liegen sie aber „inhaltlich“ denkbar weit auseinander. Was aber, wenn ein Schüler die Frage „Term oder Therme?“ dahingehend beantworten sollte: „Ich habe mehr Lust auf Terme“ – ohne dabei wirklich die Badeanstalt zu meinen?! Ganz einfach. Dann hat dieser Schüler einfach mehr Spaß an Terme als auf Therme – und der Mathematik-Lehrer hat mit seiner gestellten Fangfrage alles richtig gemacht. Denn dadurch hat er bewiesen, dass Terme noch mehr Spaß machen können als Therme. Nun muss nur noch der Mathe-Lehrer auch alle anderen Schüler davon überzeugen…

Kinder im Schwimmbad © Stephanie Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

 

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Term

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Fasse folgende Terme so weit zusammen wie möglich!

a)   15x +17 + 23x – 17x – 22 + 39x – 13 + 17 – 49x Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 2

Satz des Phytagoras © Gerd Altmann PIXELIO www.pixelio.de

Warum ist es im Fach Mathematik sehr wichtig das Stoffgebiet Term gut verstanden zu haben? Ganz einfach. Ein Term ist das elementare Grundgebilde für Gleichungen und Funktionen. Daher kommen Terme in Mathe ab der Mittelstufe unentwegt vor. Zu sagen: „Ich drücke mich um dieses Stoffgebiet“, heißt demzufolge: „Ich drücke mich um das ganze Fach Mathematik.“ Und das wäre natürlich alles andere als schlau. Irgendwann muss man dort auch mit ziemlich hoher Wahrscheinlichkeit eine Abschlussprüfung machen. Deshalb geht gewissermaßen kein Weg am Stoffgebiet Term vorbei. Aber mit einer gesunden Portion an Lernfleiß muss man sich auch keine Sorgen machen, dass es nicht auch bei dieser „mathematischen Materie“ irgendwann „Klick“ macht. Denn auch das Stoffgebiet Term ist überaus gut lernbar – und das wie immer im Fach Mathe am besten anhand von Aufgaben.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Term

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme den Zahlenwert folgender Terme. Runde die Ergebnisse auf Zehntel.

a)   7,3 + 5 · (8,2 – 1,5)²

b)   –(15,3 – 12,25) + 4²

c)   5,3 · {\frac{(3,2~+~9)}{(15,3~-~9,2)}

d)   {\frac{-(4,8~-~12,4)}{(5,4~-~9,2)} · (–3,2) Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 1

Aufmalen der Variable x © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Überall, wo im Fach Mathe eine Unbekannte beziehungsweise in der Sprache der Mathematik gesprochen eine Variable vorkommt, findet man einen Term vor. Dieses ist nämlich sein Haupterkennungsmerkmal. Das Schwierige hierbei ist aber nicht, einen Term zu erkennen, sondern sein entscheidendes Charakteristikum auch richtig zu verstehen. Denn was bedeutet denn eine auftretende Variable in einem Term? Einen klaren Aufschluss hierzu gibt die Ursprungsbedeutung des Wortes „Variable“. Ein Variabel-Sein heißt nämlich nichts anderes als ein Nicht-genau-Festgelegtsein. Daher kann in die Variable eines Terms immer jede x-beliebige Zahl eingesetzt werden. Schließlich bezieht sich das Variabel- beziehungsweise Nicht-genau-Festgelegtsein auf eine konkrete Zahl.

Gummibärchenpackung © Lukas Ehlert PIXELIO www.pixelio.de

Sehr gut lässt sich das Haupterkennungsmerkmal eines Terms auch an einer Gummibärchen-Packung erklären. Hierbei stellt der Inhalt der Packung die Variable x dar, da wir nicht genau wissen, wie viele Gummibärchen sich darin befinden. „x“ ist in diesem Beispiel auch zugleich der Term, da nichts weiter bei der Termaufstellung miteinfließt. In die Variable x können wir nun jede x-beliebige Zahl einsetzen. Schließlich ist die genaue Gummibärchen-Anzahl ja unbekannt. So könnte die Zahl 1 genauso wie die Zahl 5000000 eingesetzt werden – auch wenn beide Zahlen aufgrund der Packungsgröße und dem normalen Gewicht von 200 g absolute Gaga-Zahlen sind. Trotz allem kann und darf man eine x-beliebige Zahl in den Gummibärchenpackungs-Term x einsetzen – wenn keine Zahlenmenge explizit ausgeschlossen wurde. Sinn machen bei einer normalgewichtigen Gummibärchentüte aber verständlicherweise nur ganze Zahlen, da Gummibärchentorsos darin nicht enthalten sind. Als erfahrener Gummibärchenesser sagt mir außerdem mein Gefühl, dass mehr als 100 nicht drin sein dürften. Denn – Hand aufs Herz – spätestens beim Erbsen- bzw. Gummibärchenzählen hat der Spaß an der Mathematik auch bei mir ein Ende. Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Statistik, Teil 2

Weiterer schulischer Weg © Dieter Schütz PIXELIO www.pixelio.de

„Ich bin nur Durchschnitt“ ist in unserer leistungsorientierten Gesellschaft eine negative Äußerung. Aber warum? Offenbar verhält es sich so, dass man mit einer durchschnittlichen Leistung etwas nicht wirklicht „gut“ macht beziehungsweise „gut“ kann. Aber ist demzufolge ein Durchschnittlichsein gleichzusetzen mit Mittelmäßigkeit? Die Antwort hierzu ist ein klares Nein. Denn Durchschnittlichkeit ist nicht an sich etwas Schlechtes. Wie eigentlich immer im Leben kommt es auch bei der Aussage „Ich bin nur Durchschnitt“ nämlich darauf an, auf was genau sie sich bezieht, das heißt auf die „Qualität“ des Durchschnittswertes. Je besser nämlich alle bei etwas Bestimmten sind, desto höher und „qualitativer“ ist das Durchschnittsergebnis – und umgekehrt. Daher lässt man am besten die Mathematik darüber entscheiden, ob man selbst wirklich Durchschnitt ist oder nicht. Da schließlich der Durchschnitt in Mathe immer ganz genau bestimmt werden kann, kann man hier auch stets augenscheinlich sehen, ob bei einer angeblichen Mittelmäßigkeit auch wirklich eine Mittelmäßigkeit vorliegt.

Zeugnis bei einem Gymnasium © Nils Fabisch PIXELIO www.pixelio.de

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet: Statistik

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei folgenden Zahlen den Mittelwert/das arithmetische Mittel und den Zentralwert/Median.

a)   76, 19, 35, 38, 85, 43 54, 73, 22, 37, 63

b)   39, 87, 18, 25, 47, 55, 71, 44, 79, 59 Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Statistik, Teil 1

Gebrüder Grimm auf 1000-DM-Geldschein © Frank Güllmeister PIXELIO www.pixelio.de

Die bekannteste in Anführungszeichen Strichliste in der Literaturgeschichte stammt aus einem Märchen, das jeder kennt: „Das tapfere Schneiderlein“. In dem Grimm’schen Märchen trägt nämlich die Hauptfigur der Geschichte, ein armer Schneider, an seinem Gürtel die aufgestickten hochmissverständlichen Worte: „Sieben auf einen Streich.“ Unendlich stolz, weil er während des Essens von Pflaumenmus mit einem einzigen Tuchlappen-Schlag sieben lästige Fliegen ins Jenseits beförderte, verewigt das Schneiderlein diese „Heldentat“ auf seinem Gürtel. Doch jene Strichliste in Worten wird jedoch prompt natürlich dahingehend falsch verstanden, dass das Schneiderlein 7 Männer „auf einen Streich“ getötet habe. Dadurch beginnt das große Abenteuer des vermeintlich tapferen Schneiderleins, das – wie kann es in einem Grimm’schen Märchen anders sein – für den ungewollten Superhero schließlich trotzdem ausgesprochen gut zu Ende geht.

Erbensenernte-Strichliste © berwis PIXELIO www.pixelio.de

Sieben Kerben im Gürtel, die gleich einer Strichliste dort verewigt worden wären, hätten übrigens sicherlich auch schon genügt, damit das Schneiderlein ebenso fälschlicherweise zum Superhelden erklärt worden wäre.

 

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet: Statistik

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittelte bei der unten auf dem Bild aufgezeichneten Strichliste zur Weite eines Kaugummiweitspuckwettbewerbs jeweils die Grundgesamtheit (n), die absolute Häufigkeit (H) und die relative Häufigkeit (h). Weiterlesen

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