Funktionen

1 Definition und Aufbau einer Funktion

Ausgehend von Termen kann man sehr einfach verstehen, was Funktionen sind. Jeder „x-beliebige“ Term (das heißt aus einer Variablen bestehend) kann man nämlich sofort zu einer Funktion „umfunktionalisieren“ – und somit sehen, wann eine Funktion eine Funktion ist!

Der Graph einer linearen Funktion © Honina

Gegeben sind folgende Terme:

a) x + 7

b) x – 9

c) 3 + x²

d) 4 – x + x³

Setzt man jetzt in jeden dieser Terme von der Zahlenmenge der rationalen ({\mathbb Q}) oder reellen Zahlen ({\mathbb R}) von negativ unendlich bis positiv unendlich irgendeine Zahl in die Variable, so erhält man hierzu immer einen eindeutigen Termwert. Das ist aber genau das, was eine Funktion ausmacht!

Denn eine Funktion ist definiert als eine Vorschrift (ein Term-Gebilde), die jeder Zahl x aus einer Definitionsmenge/einem Definitionsbereich/{\mathbb D} ganz genau eine bestimmte Zahl zuordnet. Diese zugeordnete Zahl nennt man hierbei y. Jedes bestimmte y gehört einer Wertemenge/einem Wertebereich/{\mathbb W} an. Die genaue Zuordnung bzw. Zuordnungsvorschrift gibt man in Form folgender Funktionsgleichung wieder: y = f(x). y nennt man hierbei den Funktionswert. f(x) ist der Funktions-Term (ein bestimmtes Term-Gebilde).

Bezogen auf obige Terme ergibt sich zunächst als Definitionsmenge die maximale Zahlenmenge der rationalen oder reellen Zahlen, da es keine Einschränkung im Definitionsbereich gibt. Denn jede x-beliebige Zahl kann man ja in den jeweiligen Term einsetzen.

Die Definitionsmenge für                    a) = {\mathbb Q} bzw. {\mathbb R}

b) = {\mathbb Q} bzw. {\mathbb R}

c) = {\mathbb Q} bzw. {\mathbb R}

d) = {\mathbb Q} bzw. {\mathbb R}

Die Zuordnungsvorschrift ordnet allen x aus der Definitionsmenge eine ganz bestimmte Zahl zu – und das mittels eines bestimmten Term-Gebildes. In der Zeichensprache der Mathematik würde für die obigen Terme die Zuordnungsvorschrift demzufolge lauten:

Die Zuordnungsvorschrift für              a) x {\mapsto} x + 7

b) x {\mapsto} x – 9

c) x {\mapsto} 3 + x²

d) x {\mapsto} 4 – x + x³

Mathematik-Nachhilfe-Hinweise: der Pfeil/„ {\mapsto}“ heißt wortwörtlich „wird zugeordnet“, also jedes „x“ wird dem Term „…“ zugeordnet. Ist die Definitionsmenge einer Funktion jedoch eingeschränkt, dann können nur die x einem bestimmten Term zugeordnet werden, die in der Definitionsmenge enthalten sind bzw. nicht außerhalb der Definitionsmenge liegen.

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Als Funktionsgleichung für die obigen Terme ergibt sich dann:

Die Funktionsgleichung für                 a) y = x + 7

b) y = x – 9

c) y = 3 + x²

d) y = 4 – x + x³

Bleibt noch der Funktionsterm übrig, den jede Funktion besitzt, wobei der Bogen zum Anfang geschlagen ist.

Der Funktionsterm für                         a) x + 7

b) x – 9

c) 3 + x²

d) 4 – x + x³

Bei jeder Funktion kann die Zuordnung eines bestimmten x-Wertes aus dem Definitionsbereich und der davon abhängige y-Wert des (Funktions-)Wertebereiches eindeutig berechnet werden. Diese eindeutige Berechnung in Form von x/y-Zahlenpaaren gibt man in Form einer Wertetabelle wieder. Jede Wertetabelle einer Funktion kann hierbei bildlich in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Die Darstellung selbst wird als Graph der Funktion bezeichnet.

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