Potenzfunktionen

1. Allgemeines zu Potenzfunktionen

Der Graph der bekanntesten Potenzfunktion ist die sogenannte Normalparabel. Diese besitzt folgende Funktionsgleichung: f(x) = x². Alle weiteren Funktionen, die aus einer Potenz bestehen und bei denen die Variable die Basis ist, nennt man Potenzfunktionen.

Hieraus ergibt sich, dass auch die Funktion f(x) = x1 eine Potenzfunktion ist – deren Graph eine Gerade ist, und zwar die 1. Winkelhalbierende.

Das sind alles Potenzfunktionen:

x {\mapsto} x^1, die Funktiongleichung ist y = x¹

x {\mapsto} x^2, die Funktionsgleichung ist y = x²

x {\mapsto} x^3, die Funktionsgleichung ist y = x³

x {\mapsto} x^4, die Funktionsgleichung ist y = x^4

x {\mapsto} x^5, die Funktionsgleichung ist y = x^5

x {\mapsto} x^6, die Funktiosgleichung ist y = x^6

1.1 Der Graph von Potenzfunktionen

Die Potenzfunktion x {\mapsto} x^1 hat folgenden Graphen:

Graph der Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 1

Wertetabelle Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 1

Der Graph der Potenzfunktion x {\mapsto} x^1 mit x є {\mathbb R} steigt von links nach rechts.

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung/P (0/0). Es gilt nämlich: f(x) = x und f(–x) = –x

Beispiel: f(2) = 2 und f(–2) = –2

Die Funktionsgleichung ist y = x¹

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Fallen und Ansteigen eine Funktion siehe auch unter dem Reiter Monotonie 1. Allgemeines zur Monotonie an.

 

Die Potenzfunktion x {\mapsto} x^2 hat diesen Graphen:

Graph der Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 2

Wertetabelle Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 2

Der Graph der Potenzfunktion x {\mapsto} x^2 mit x є {\mathbb R} fällt von links nach rechts bis zum Ursprung/P (0/0). Darauf steigt er.

Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Es gilt nämlich: f(x) = x² und f(–x) = x².

Beispiel: f(2) = (2)² = 4 und f(–2) = (–2)² = 4

Der Graph schmiegt sich in der Nähe des Ursprungs/P (0/0) an die x-Achse an.

Die Funktionsgleichung ist y = x².

 

Die Potenzfunktion x {\mapsto} x^3 hat diesen Graphen:

Potenzfunktion mit dem Exponenten hoch 3

Wertetabelle Potenzfunktion mit dem Exponentenhoch 3

Der Graph der Potenzfunktion x {\mapsto} x^3 mit x є {\mathbb R} steigt von links nach rechts stetig an.

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung/P (0/0). Es gilt nämlich: f(x) = x³ und f(–x) = –x³

Beispiel: f(2) = (2)³ = 8 und f(–2) = (–2)³ = –8

Der Graph schmiegt sich in der Nähe des Ursprungs/P (0/0) an die x-Achse an.

Die Funktionsgleichung ist y = x³.

 

Definition:

Eine Funktion, die die Zuordnungsvorschrift x {\mapsto} xn vorweist und somit die Funktionsgleichung f(x) = xn besitzt, nennt man Potenzfunktion (n є N^*).

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist R.

 

2. Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Allgemeine Merkmale von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

  • Jede Potenzfunktion x {\mapsto} x^n mit geradem Exponenten weist einen Graphen auf, der symmetrisch zur y-Achse ist.
  • Alle diese Potenzfunktionen haben drei gemeinsame Punkte: P1 (0/0), P2 = (1/1) und P3 = (–1/1).
  • Ist x < 0, so sind die Funktionen streng monoton fallend, ist x > 0, dann sind die Funktionen streng monoton steigend.

 

3. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Allgemeine Merkmale von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten.

  • Jede Potenzfunktion x {\mapsto} x^n mit ungeradem Exponenten hat einen Graphen, der punktsymmetrisch zum Ursprung/P (0/0) ist.
  • Alle diese Potenzfunktionen habe folgende drei gemeinsame Punkte: P_1 (0/0), P_2 (1/1) und P_3 (–1/–1).
  • Die Funktionen sind an jeder Stelle streng monoton steigend.

Ein Gedanke zu “Potenzfunktionen

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