Umfang

1. Allgemeines zum Umfang bei Vielecken

Ein Vieleck besteht aus Punkten, die eine Fläche bilden. Bei der Fläche eines Vielecks kann man nun nicht nur dessen Flächeninhalt bestimmen, sondern auch dessen Umfang. Der Umfang eines Vielecks ist hierbei immer die äußere Begrenzung der Fläche mittels der Seitenlängen. In der Schule in Mathe lernt man aber auch als Eselsbrücke, dass der gesamte Weg, den man bei einem Vieleck außen herum einmal gedanklich ablaufen kann, immer der Umfang darstellt.

Daher lässt sich der Umfang bei Vielecken auch wiedergebe als die Summe aller Seitenlinien.

 

2. Der Umfang bei Dreiecken

Ein Dreieck besteht bekanntlich aus drei Seitenlängen. Hierbei gibt es Dreiecke, die drei unterschiedliche Seitenlängen vorweisen. Das sind im Prinzip ganz normale Dreiecke. Darüber hinaus gibt es Dreiecke, bei denen zwei Seitenlinien gleich lang sind. Solch ein Dreieck wird als ein gleichschenkliges Dreieck bezeichnet. Des Weiteren gibt es Dreiecke, deren Seitenlängen alle gleich lang sind. Diese Dreiecke nennt man gleichseitige Dreiecke.

 

2.1 Der Umfang bei einem normalen Dreieck

Der Umfang eines normalen Dreiecks

Der Umfang eines normalen Dreiecks berechnet man folgendermaßen:

UD = a + b + c

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlänge a = 10 cm, b = 8 cm und c = 5 cm. Der Umfang des Dreiecks beträgt dann: UD = 10 cm + 8 cm + 5 cm = 23 cm

 

2.2 Der Umfang bei einem gleichschenkligen Dreieck

Der Umfang eines Gleichschenkligen Dreiecks kann man wie bei einem normalen Dreieck berechnen:

UD = a + b + c

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks

Da zwei Seitenlängen bei einem gleichschenkligen Dreieck immer gleich groß sind, ergeben sich folgende drei möglichen Berechnungen des Umfangs:

UD = a + b + c (und a = b) = a + a + c = 2a + c (bzw. 2b + c)

UD = a + b + c (und b = c) = a + b + b = a + 2b (bzw. a + 2c)

UD = a + b + c (und a = c) = b + c + c = b + 2c (bzw. 2a + c)

 

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 6,67 cm, b = 5 cm und c = 5 cm. Da zwei Seitenlängen hier gleich groß sind und es sich demzufolge um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, beträgt der Umfang: UD = 6,67 cm + 2 · 5 cm = 16,67 cm.

 

2.3 Der Umfang bei einem gleichseitigen Dreieck

Genauso wie bei einem normalen Dreieck kann man auch bei einem gleichseitigen Dreieck den Umfang berechnen:

UD = a + b +c

Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks

Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle Seitenlängen gleichgroß sind, kann man auch den Umfang wie folgt berechnen:

UD = a + b +c = 3a = 3b = 3c

 

Beispiel:

Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Seitenlänge 7 cm. Daraus ergibt sich, dass a = 7 cm, b = 7 cm und c = 7 cm ist. Der Umfang beträgt hier also: UD = 3 · 7 cm = 21 cm.

 

3. Der Umfang bei Vierecken

Ein Viereck weist bekanntlich vier Seiten auf. Besitzt ein Viereck unterschiedliche Seitenlängen, so handelt es sich hierbei um ein ganz normales Viereck. Hat ein Viereck zwei oder vier gleiche Seitenlängen, dann liegt ein besonderes Viereck vor.

3.1 Der Umfang bei einem normalen Viereck

Der Unfang eines normalen Vierecks

Der Umfang eines normalen Vierecks berechnet man wie folgt:

UV = a + b + c + d

Beispiel:

Ein Viereck hat die Seitenlängen a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm und d = 5,2 cm. Der Umfang des Vierecks beträgt dann: UV = 4 cm + 5 cm + 3 cm + 5,2 cm = 17,2 cm.

 

3.2 Der Umfang bei einem Rechteck

Der Umfang eines Rechtecks

Der Umfang bei einem Rechteck berechnet man wie folgt:

UR = a + a + b + b = 2a + 2b

 

Beispiel:

Ein Rechteck hat die Länge = 5 cm und die Breite = 3 cm. Der Umfang des Rechtecks beträgt daher: UR = 2 · 5 cm + 2 · 3 cm = 16 cm.

 

3.3 Der Umfang bei einem Quadrat

Der Umfang eines Quadrats

Der Umfang bei einem Quadrat rechnet man folgendermaßen:

UQ = a + a + a + a = 4a

 

Beispiel:

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 7 cm. Der Umfang des Quadrats beträgt daher: UQ = 4 · 7 cm = 28 cm.

 

3.4 Der Umfang bei einem Parallelogramm

Der Umfang eines Parallelogramms

Der Umfang bei einem Parallelogramm beträgt:

UP = a + b + c + d (da a = c und b = d) = 2a + 2b (bzw. 2c + 2d)

Beispiel:

Ein Parallelogramm hat die Seitenlängen a = 6 und b = 5 cm. Der Umfang des Parallelogramms ist daher: UP = 2 · 6 cm + 2 · 5 cm = 22 cm.

 

3.5 Der Umfang bei einem Trapez

Umfang eines Trapezes

Der Umfang bei einem Trapez beträgt:

U_\mathrm T = a + b + c + d

Beispiel:

Ein Trapez hat die Seitenlängen a = 8 cm, b = 5 cm, c = 4 cm und d = 4 cm. Der Umfang des Trapezes ist daher: U_\mathrm T = 8 cm + 5 cm + 4 cm + 4 cm = 21 cm.

 

3.6 Der Umfang bei einem Drachenviereck

Umfang eines Drachenvierecks

Der Umfang bei einem Drachenviereck berechnet sich folgendermaßen:

U_\mathrm D_\mathrm r = a + b + c + d (da a = c und b = d) = 2a + 2b (bzw. 2c + 2d)

Beispiel:

Ein Drachenviereck hat die Seitenlängen a = 3 cm und b = 7 cm. Der Umfang des Drachenvierecks ist daher: U_\mathrm D_\mathrm r = 2 · 3 cm + 2 · 7 cm = 20 cm.

9 Gedanken zu “Umfang

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    • Hallo Olaf,

      vielen Dank für Deinen Kommentar!

      Wenn Du Dir meinen Mathematik Nachhilfe Blog mal genauer anschaust, dann wirst Du unweigerlich feststellen, dass dieser eine Vielzahl von Aufgaben zu ganz verschiedenen Stoffgebieten enthält. Diese Mathe-Aufgabe kann man dann selbst zu Hause oder mit Freunden versuchen zu lösen. Damit man aber auch eine Kontrolle hat, ob man die Aufgaben auch wirklich richtig gelöst hat, sind zu allen Aufgaben auch immer die Lösungen am Ende mit dabei. Damit habe ich ja Deiner Bitte entsprochen.
      Schaue einfach mal unter den vielen miteinander verlinkten Keywords nach oder gib selbst in dem Suchfeld des Mathematik Nachhilfe Blogs ein Keyword ein, dann wirst Du jede Menge an Aufgaben finden inklusive Lösungen.

      Grüße,
      Ralf

    • Hallo Osman,

      vielen, vielen Dank für Deinen sehr netten Kommentar!

      Der Sinn des Mathematik Nachhilfe Blogs ist es ja, Schülerinnen und Schülern, aber auch allen anderen Menschen, die ein Mathe-Problem haben, eine Hilfestellung zu geben. Eine Hilfestellung heißt hier, dass das Problem, das eine Person hat, hierdurch gelöst wird. Bei Dir war das offenbar der Fall. Deshalb freut mich das auch sehr!
      Natürlich sollte bei der Problemlösung, die hier auf dem Mathematik Nachhilfe Blog angestrebt wird, auch immer ein Aha-Erlebnis eintreten. Das wäre dann supersupertoll. Ein Aha-Erlebnis, dass man dann das Stoffgebiet, bei dem man in Mathe Schwierigkeiten hatte, nun besser durchdrungen hat.
      Dieses Aha-Erlebnis sollte sich dann natürlich 😉 auf andere Stoffgebiete ausdehnen. Das wäre dann ein Traum! Und der Mathematik Nachhilfe Blog hätte bei dieser Person dann sein oberstes Ziel erreicht – die Förderung des eigenständigen mathematischen Denkens.

      Viele Grüße aus Berlin,
      Ralf

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