Bruchgleichungen

1. Allgemeines zu Bruchgleichungen

Brüche können auch im Nenner Variablen vorweisen. Ist das in Mathe der Fall, so liegt ein Bruchterm vor. Darüber hinaus können aber auch bei Gleichungen Variablen im Nenner auftreten. Ist das bei einer Gleichung der Fall, dann handelt es sich in der Mathematik um eine Bruchgleichung.

 

Beispiele für Bruchgleichungen:

{\frac{15}{\mathrm x~+~10}} = 5

{\frac{2}{\mathrm x}} = {\frac{7}{\mathrm x~-~5}}

{\frac{1}{\mathrm x}} + {\frac{\mathrm x^2~+~\mathrm x~+~1}{\mathrm x(\mathrm x~+~1)}} = 1

{\frac{\mathrm x~-~2}{\mathrm x~+~1}} + {\frac{\mathrm x~-~6}{\mathrm x~-~1}} = {\frac{2\mathrm x^2}{\mathrm x^2~-~1}}

 

Das Besondere an Bruchgleichungen ist nun, dass ihre Definitionsmenge eine Einschränkung beinhalten kann. Da ja die Variable bei Bruchgleichungen sich im Nenner befindet, müssen von vornherein alle Zahlen von der Lösungsmenge ausgeschlossen werden, die den Nenner gleich null werden lassen. Wie man bereits vom Bruchrechnen weiß, ist nämlich ein Bruch mit einer Null im Nenner nicht definiert. Das gilt natürlich auch für Bruchterme und ebenso für Bruchgleichungen. Bevor man Bruchgleichungen nach der Variablen hin auflöst, bestimmt man daher immer ihre Definitionsmenge.

 

2. Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung

Es ist folgende Bruchgleichung gegeben:

{\frac{5}{\mathrm x~+~2}} = {\frac{2}{\mathrm x}}

Zur Bestimmung der Definitionsmenge muss man jeden Nenner der Bruchgleichung, der eine Variable vorweist, für sich betrachten. Jeden Nenner, auf das dieses zutrifft, setzt man dann als nächstes gleich null. Die hierdurch sich ergebende Gleichung löst man darauf nach der Variablen hin auf. Das ist notwendig, um schließlich genau herauszufinden, welche Zahl den Nenner eventuell gleich null werden lässt.

Bei dem ersten Bruchterm ist im Nenner ein: x + 2; beim zweiten Bruchterm ein: x. Setzt man nun beide gleich null, so kann man die Definitionsmenge der Bruchgleichung ermitteln.

1. Bruchterm mit Variable im Nenner:

x + 2 = 0           | – 2

x = –2

 

2. Bruchterm mit Variable im Nenner:

x = 0

Die beiden Zahlen, die aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden müssen, sind also: –2 und 0.

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –2; 0} oder D = {\mathbb Q} \ {–2; 0}

Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung stellt eine Menge dar, durch die alle in der Bruchgleichung vorkommenden Terme definiert sind.

Jede Lösungsmenge eine Bruchgleichung ist stets eine Teilmenge ihrer Definitionsmenge.

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Nicht jeder Nenner mit einer vorweisenden Variablen ist an einer bestimmten Stelle nicht definiert. Besteht nämlich beispielsweise der Nenner aus einem x² und einer negativen Zahl, so ist dieser trotz Variable im Nenner stets definiert.

 

3. Die Lösungsmenge einer Bruchgleichung

Hat man bei einer Bruchgleichung die Definitionsmenge ermittelt, so löst man sie als nächstes nach der gegeben Variablen hin auf.

{\frac{5}{\mathrm x~+~2}} = {\frac{2}{\mathrm x}}

Als Erstes muss man hierbei den Nenner und somit den Bruch eliminieren, indem man den Hauptnenner der Bruchgleichung bildet.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Bruchterme 3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen an.

 

Der Hauptnenner ist hier: (x + 2) · x

Der Hauptnenner muss nun mit beiden Seiten der Bruchgleichung multipliziert werden.

Hierbei ist es wichtig, dass Folgendes gilt: (x + 2) · x ≠ 0. Nur dann liegt auch wirklich eine Äquivalenzumforumg vor. Schließlich gilt ja für den Definitionsbereich der Bruchgleichung: D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –2; 0} oder D = {\mathbb Q} \ {–2; 0}. Daher können unabhängig vom Ergebnis der Gleichung auf jeden Fall x = –2 und x = 0 keine Lösung der Bruchgleichung sein.

 

{\frac{5}{\mathrm x~+~2}} = {\frac{2}{\mathrm x}}           | · (x + 2) · x

{\frac{5\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~2)\ {\cdot}\ x}{\mathrm x~+~2}} = {\frac{2\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~2) \ {\cdot}\ x}{\mathrm x}}

Jetzt kann man die gleichen Terme im Zähler und Nenner herauskürzen. Dadurch lösen sich die Bruchterme auf.

 

5 · x = 2 · (x + 2)

Jetzt löst man die Gleichung Schritt für Schritt weiter nach der gegeben Variablen hin auf.

5x = 2x + 4           | – 2x

3x = 4                   | : 3

x = {\frac{4}{3}}

L = {{\frac{4}{3}}}

 

Probe:

{\frac{5}{\ {\frac{4}{3}} + 2}} = {\frac{2}{\ {\frac{4}{3}}}}

{\frac{5}{\ {3\frac{1}{3}}}} = {\frac{2}{\ {\frac{4}{3}}}}

{1\frac{1}{2}} = {1\frac{1}{2}}

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

 

4. Sonderfälle bei der Lösung einer Bruchgleichung

Bei einer Bruchgleichung kann je nach Definitionsmenge sich deren Lösungsmenge verändern. Das hat mit dem häufig eingeschränkten Lösungsmengenbereich von Bruchgleichungen zu tun. Dadurch kann es auch vorkommen, dass die Bruchgleichung keine Lösung vorweist oder auch die gesamte Menge der rationalen Zahlen ohne die Zahlen, die bei der Definitionsmenge ausgeschlossen sind.

 

 4.1 Keine Lösung bei einer Bruchgleichung

Es ist folgende Bruchgleichung gegeben:

{\frac{4}{\mathrm x~-~2}} = {\frac{2\mathrm x}{\mathrm x~-~2}}

 

Definitionsmenge:

x – 2 = 0                               | + 2

x = 2

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 2} oder D = {\mathbb Q} \ {2}

 

Lösungsmenge:

{\frac{4}{\mathrm x~-~2}} = {\frac{2\mathrm x}{\mathrm x~-~2}}

Hauptnenner: x – 2

{\frac{4}{\mathrm x~-~2}} = {\frac{2\mathrm x}{\mathrm x~-~2}}             | · (x – 2)

4 = 2x                          | : 2

x = 2

Die Zahl 2 ist bei der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen, daher ist 2 keine Lösung der Gleichung. Folglich weist die Lösungsmenge eine leere Menge auf.

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

Beispiele:

{\frac{4\mathrm x~-~4}{\mathrm x~-~1}} = 3

 

Definitionsmenge:

x  – 1 = 0                 | + 1

x = 1

D = {\mathbb Q} \ {1}

 

Lösungsmenge:

{\frac{4\mathrm x~-~4}{\mathrm x~-~1}} = 3        | · (x – 1)

4x – 4 = 3 · (x – 1)

4x – 4 = 3x – 3             |   – 3x

x – 4 = –3                     |   + 4

x = 1

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

{\frac{14\mathrm x~+~36}{\mathrm x~+~4}}{\frac{5\mathrm x}{\mathrm x~+~4}}

 

Definitionsmenge:

x + 4 = 0                       |   – 4

x = –4

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ –4} oder D = {\mathbb Q} \ {–4}

 

Lösungsmenge:

{\frac{14\mathrm x~+~36}{\mathrm x~+~4}}{\frac{5\mathrm x}{\mathrm x~+~4}}           | · (x + 4)

14x + 36 = 5x               |   – 14x

36 = –9x                       |   : (–9)

x = – 4

L = { } bzw. L = {\varnothing}

 

4.2 Die Menge der rationalen Zahlen mit Einschränkung als Lösung bei einer Bruchgleichung

Es ist diese Bruchgleichung gegeben:

{\frac{\mathrm x}{\mathrm x~-~1}} + {\frac{2}{\mathrm x~-~2}}{\frac{1}{\mathrm x~-~1}} + {\frac{\mathrm x}{\mathrm x~-~2}}

 

Definitionsmenge:

x – 1 = 0                 | + 1

x = 1

 

x – 2 = 0                 | + 2

x = 2

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 1; 2} oder D = {\mathbb Q} \ {1; 2}

 

Lösungsmenge:

Hauptnenner:  (x – 1) · (x – 2)

{\frac{\mathrm x}{\mathrm x~-~1}} + {\frac{2}{\mathrm x~-~2}}{\frac{1}{\mathrm x~-~1}} + {\frac{x}{\mathrm x~-~2}}         | · (x – 1) · (x – 2)

· (x – 2) + 2 · (x – 1) = 1 · (x – 2) + x · (x – 1)

x² – 2x + 2x – 2 = x – 2 + x² – x

x² – 2 = –2 + x²            | – x²

–2 = –2                         | + 2

0 = 0

Die Bruchgleichung ist unabhängig von einer Variablen immer wahr. Daher weist die Lösungsmenge die Menge aller rationalen Zahlen auf – aber mit der Einschränkung der Zahlen, die bei der Definitionsmenge ausgeschlossen wurden.

L = {\mathbb Q} \ {1; 2}

 

Beispiele:

{\frac{2}{\mathrm x}}{\frac{2}{\mathrm x}}

 

Definitionsmenge:

x = 0

D = {\mathbb Q} \ {0}

 

Lösungsmenge:

{\frac{2}{\mathrm x}}{\frac{2}{\mathrm x}}                |   · x

2 = 2               |   – 2

0 = 0

L = {\mathbb Q} \ {0}

 

{\frac{5\ {\cdot}\ (\mathrm x~-~7)}{\mathrm x~-~7}} = 5

 

Definitionsmenge:

x – 7 = 0      |   + 7

x = 7

D = {\mathbb Q} \ {7}

 

Lösungsmenge:

{\frac{5\ {\cdot}\ (\mathrm x~-~7)}{\mathrm x~-~7}} = 5             |   · (x – 7)

· (x – 7) = 5 · (x – 7)

5x – 35 = 5x – 35         |   – 5x

–35 = –35                     |   + 35

0 = 0

L = {\mathbb Q} \ {7}

 

5. Textaufgaben/Sachaufgaben bei Bruchgleichungen

Bei Bruchgleichungen gibt es auch Textaufgaben/Sachaufgaben. Zum einen können das Zahlenrätsel sein oder Aufgaben, bei denen eine bestimmte Arbeit verrichtet wird und man hierbei die geleistete Arbeitet aus der Leistung in Abhängigkeit zur Zeit berechnen muss.

 

5.1 Zahlenrätsel als Bruchgleichungen

Bei Bruchgleichungen, die ein Zahlenrätsel beinhalten, gilt das Gleiche wie bei Zahlenrätsel bei normalen Gleichungen. Zuerst muss man die Bruchgleichung aufstellen.

a) Wenn man zum sechsten Teil einer Zahl den zwölften Teil der Zahl addiert, dann erhält man {\frac{3}{4}}.

{\frac{\mathrm x}{6}} + {\frac{\mathrm x}{12}} = {\frac{3}{4}}       |   · 12

Das ist hier die gesuchte Bruchgleichung (da diese jedoch die Variable nicht immer Nenner hat, ist es strenggenommen keine Bruchgleichung, sondern eine lineare Gleichung).

Der Hauptnenner der Gleichung ist 12.

x · 2 + x = 3 · 3

2x + x = 9

3x = 9          |   : 3

x = 3

L = {3}

Die gesuchte Zahl ist 3.

 

b) Wenn man 24 durch eine Zahl dividiert, dann erhält man diesselbe Zahl, wie wenn man 18 durch die um 2 verringerte Zahl dividiert.

{\frac{24}{\mathrm x}} = {\frac{18}{\mathrm x~-~2}}              |   · x · (x – 2)

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0; 2} oder D = {\mathbb Q} \ {0; 2}

Der Hauptnenner ist hier x · (x – 2)

24 · (x – 2) = 18 · x

24x – 48 = 18x            |    – 24x

–48 = –6x                    |    : (–6)

x = 8

L = {8}

Die gesuchte Zahl ist 8.

 

c) Wenn man 10 durch das Quadrat einer Zahl dividiert und dazu den Ouotienten aus 5 und der Zahl addiert, dann erhält man dasselbe Ergebnis, wie wenn man den Quotienten aus 3 und der Zahl bildet.

{\frac{10}{\mathrm x^2}} + {\frac{5}{\mathrm x}} = {\frac{3}{\mathrm x}}      |   ·

D = {x Є {\mathbb Q} Ι x ≠ 0} oder D = {\mathbb Q} \ {0}

Der Hauptnenner ist hier x².

10 + 5 · x = 3 · x

10 + 5x = 3x       |    – 5x

10 = –2x             |     : (–2)

x = –5

L = {–5}

Die gesuchte Zahl ist –5.

 

6. Vorgehensweise beim Lösen von Bruchgleichungen

Beim Lösen einer Bruchgleichung ist es wichtig, dass all diese Punkte der Reihe nach erfüllt werden.

  1. Bestimme als Erstes die Definitionsmenge der Bruchgleichung.
  2. Eliminiere den Nenner der Bruchgleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.
  3. Kürze die Nenner, so dass eine normale Gleichung entsteht.
  4. Löse die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen auf.
  5. Bestimme die Lösungsmenge in Abhängigkeit zur Definitionsmenge.

4 Gedanken zu “Bruchgleichungen

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