Gleichungen mit Parametern

1. Allgemeines zu Gleichungen mit Parametern/Formvariablen

Gleichungen können in Mathe nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch mehrere. Am besten kann man solche Gleichungen verstehen, wenn man sich einmal von der Form her gleiche Gleichungen vor Augen führt.

 

Es sind folgende vier Gleichungen samt Lösung gegeben:

a)    (x + 10)² – (x – 10)² = 100;    L = {{\frac{5}{2}}}

b)    (x + 4)² – (x – 4)² = 16;    L = {1}

c)   (x + 2)² – (x – 2)² = 4;    L = {{\frac{1}{2}}}

d)    (x + 1)² – (x – 1)² = 1;    L = {{\frac{1}{4}}}

e)    (x + {\frac{4}{5}})² – (x – {\frac{4}{5}})²;   L = {{\frac{1}{5}}}

 

Alle diese Gleichungen können auf folgende Form hin verallgemeinert werden:

(x + t)² – (x – t)² = t²

 

Denn bei t = 10 ergibt sich die Gleichung:

a)    (x + 10)² – (x – 10)² = 100

 

Bei t = 4 ist die Gleichung:

b)    (x + 4)² – (x – 4)² = 16

 

Bei t = 2 ist die Gleichung:

c)    (x + 2)² – (x – 2)² = 4

 

Bei t = 1 ist die Gleichung:

d)    (x + 1)² – (x – 1)² = 1

 

Bei t = {\frac{4}{5}} ist die Gleichung:

e)   (x + {\frac{4}{5}})² – (x – {\frac{4}{5}})²;   L = {{\frac{1}{5}}}

 

Die bei der Gleichung zusätzlich neben x auftretende Variable t nennt man Parameter oder Formvariable.

Bei den obigen Gleichungen hat der Parameter/die Formvariable jeweils folgenden Wert:

bei a)   t = 10;   b)   t = 4;   c)   t = 2;   d)  t = 1;   e)   t = {\frac{4}{5}}.

 

Aufgrund der Lösungen der Gleichungen liegt die Vermutung nahe, dass die Lösung einer Gleichung diese Form vorweist:   L = {\frac{\mathrm t}{4}}. Bei den Lösungen b) und c) kann man das sofort sehen, bei den Lösungen a), d) und e) muss man die Brüche jeweils erweitern, um das sehen zu können.

Um sicher sagen zu können, dass alle Gleichungen der Form (x + t)² – (x – t)² = t² die Lösung L = {\frac{\mathrm a}{4}} haben, muss man die Gleichung nach der Variablen x hin umformen.

(x + t)² – (x – t)² = t²

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei (x + t)² liegt die 1. Binomische Formel vor und bei (x – t)² die 2. Binomische Formel. Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Binomische Formeln die dort gemachten Ausführungen an.

 

x² + 2tx + t² – (x² – 2tx + t²) = t²

t² + 2tx + t² – x² + 2tx – t² = t²

4tx = t²                  |    : 4t                 (für t ≠ 0)

x = {\frac{\mathrm t^2}{4\mathrm t}}

x = {\frac{\mathrm t}{4}}

 

Probe:

({\frac{\mathrm t}{4}} + t)² – ({\frac{\mathrm t}{4}} – t)² = t²

({\frac{5}{4}}t)² – (–{\frac{3}{4}}t)² = t²

{\frac{25}{16}}t² – {\frac{9}{16}}a = t²

t² = t²

Die Probe bestätigt die Reichtigkeit des Ergebnisses.

 

Jetzt gilt es noch zu überprüfen, was für eine Lösung die Gleichung der Form (x + t)² – (x – t)² = a²  für t = 0 hat.

Bei t = 0 ergibt sich die Gleichung:

(x + 0)² – (x – 0)² = (0)²

x – x = 0

0 = 0

Es gilt also nicht bei t = 0, dass L = {{\frac{\mathrm t}{4}}} ist.

Bei t = 0 ist nämlich L = {\mathbb Q} oder {\mathbb R} (je nach Klassenstufe).

Bei t ≠ 0 ist L = {{\frac{\mathrm t}{4}}}.

 

Bei Gleichungen mit Parameter/Formvariable können immer auch Sonderfälle auftreten. Bei der Gleichung mit der Form (x + t)² – (x – t)² = t² tritt ein Sonderfall bei t = 0 auf. Die Gleichung ist dann nämlich: x² – x² = 0. Sollten Sonderfälle bei einer Gleichung mit Parameter/Formvariable vorkommen, so kann man diese ohne Weiteres aus der Definitionsmenge ausschließen.

Für (x + t)² – (x – t)² = t²  kann daher gelten als Definitionsmenge gelten: D = {t Є {\mathbb Q} Ι t ≠ 0} oder D = {\mathbb Q} \ {0}

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Außer t können die Parameter/Formvariablen noch andere Buchstaben des Alphabets sein.

 

2. Lösungsvariable und Formvariable bei Parametergleichungen

Es ist folgende Gleichung gegeben:

4x + 8y = 24

Für diese Gleichung soll die Lösungsmenge bestimmt werden.

Da hier aber zwei Variablen auftreten, muss noch ganz klar definiert sein:

Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Ansonsten weiß man ja gar nicht, nach welcher Variablen man die Gleichung hin umformen muss.

Beide Aufgaben machen verdeutlichen dies:

a) Gib die Lösungsmenge an. x ist die Lösungsvariable und y die Formvariable.

4x + 8y = 24        |    – 8y

4x = –8y + 24      |    : 4

x = –2y + 6

L = {–2y + 6}

 

b) Gib die Lösungsmenge an: y ist die Lösungsvariable und x die Formvariable.

4x + 8y = 24        |    – 4x

8y = –4x + 24      |     : 8

y = –0,5x + 3

L = {–0,5x + 3}

Wie man sieht, erhält man je nach Aufgabenstellung eine unterschiedliche Lösungsmenge.

Daher muss folgendes bei Gleichungen mit Formvariablen/Parametern gelten:

Bei jeder Gleichung mit zwei und mehr Variablen muss genau definiert sein, was die Lösungsvariable ist und was die Formvariable(n)/Parameter. Nur dann kann man bei der Gleichung auch die Lösungsmenge bestimmen.

Um die Lösungsvariable zu ermitteln, ist es notwendig die Gleichung so umzuformen, dass auf der einen Seite der Gleichung die Lösungsvariable isoliert steht und auf der anderen Seite der Rest der Gleichung. Das ist identisch mit dem Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen hin.

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Reiter Gleichungen 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an.

2 Gedanken zu “Gleichungen mit Parametern

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