Grafisches Lösungsverfahren

1. Allgemeines zum grafischen Lösungsverfahren

Bei diesem Lösungsverfahren eines linearen Gleichungssystems (LGS) ermittelt man die Lösung zeichnerisch.

Zum Lösen eines LGS mittels des grafischen Lösungsverfahren müssen zuerst die beiden Gleichungen jeweils nach der Variablen y hin separiert sein. Danach muss jede Gleichung in dasselbe Koordinatensystem eingezeichnet werden. Hierbei ergeben sich immer zwei Geraden, da es sich bei einem LGS stets um zwei lineare Funktionen handelt, die zueinander in einer bestimmten Beziehung stehen. Je nachdem, wie die Lage der Geraden zueinander ist, d. h. wie beide im Koordinatensystem zueinander liegen, ergibt sich die Lösung des linearen Gleichungssystems. Drei verschiedene Möglichkeiten können sich hieraus ergeben.

1. Eine Lösung des LGS

Die beiden Geraden schneiden sich an einem Punkt. Sie weisen also einen Schnittpunkt auf.

2. Keine Lösung des LGS

Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt. Das heißt im Umkehrschluss, dass beide Geraden parallel zueinander verlaufen müssen.

3. Unendlich viele Lösungen des LGS

Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte. Im Umkehrschluss heißt das, dass beide Geraden identisch sind und sozusagen aufeinander liegen.

 

2. Das grafische Lösen eines linearen Gleichungssystems mit einer Lösung

Es ist folgendes lineares Gleichungssystem gegeben:

I.   5y + 10x = 10

II.   2y + 2x = –2

Zuerst löst man das LGS nach der Variablen y hin auf bzw. man separiert die Variable y.

I.   5y + 10x = 10     I   – 10x

II.   2y + 2x = –2       I   – 2x

 

I.   5y  = 10 – 10x       I   : 5

II.   2y = –2  – 2x          I   : 2

 

I.   y  = 2 – 2x

II.   y = –1  – x

 

I.   y  = –2x + 2

II.   y = –x – 1

Anschließend zeichnet man beide Gleichungen in dasselbe Koordinatensystem ein.

Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems, zeichnerisch dargestellt

Wie man sehr gut sehen kann, schneiden sich die beiden Geraden an einem Punkt. Der Schnittpunkt beinhaltet hierbei die Lösung des linearen Gleichungssystems. Dieser ist: S (3 I –4).  Die Lösung des LGS ist daher: L {(3 I –4)}.

Mittels Probe kann man stets die Richtigkeit der grafischen Lösung überprüfen. Hierbei setzt man einfach die beiden Punkte in die Ursprungsgleichungen des LGS ein.

I.   5 · (–4) + 10 · (3) = 10

II.   2 · (–4) + 2 · (3) = –2

 

I.   –20 + 30 = 10

II.    –8 + 6 = –2

 

I.   10 = 10

II.    –2 = –2

Beide Gleichungen ergeben ein wahres Ergebnis. Dadurch bestätigt die Probe die Richtigkeit der zeichnerischen Lösung.