Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Ungleichungen, Teil 6

Schritt für Schritt © Jan Wattjes PIXELIO www.pixelio.de

Schritt für Schritt © Jan Wattjes PIXELIO www.pixelio.de

Bei linearen Ungleichungen gilt es, Schritt für Schritt – wie übrigens auch bei allen Stoffgebieten in Mathe – die Aufgabe zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte sind hierbei natürlich je nach Aufgabe verschieden. Das ist natürlich ebenfalls bei allen Mathematik-Stoffgebieten so! Es gibt aber immer bei jedem Stoffgebiet Standartaufgaben. Daher auch bei linearen Ungleichungen. Eine Standartaufgabe ist hier, dass eine komplette lineare Ungleichung dasteht und man diese lösen muss. Zunächst fasst man alle gleichen Einzelterme rechts und links des Ungleichheitszeichens zusammen. Dann separiert man den Einzelterm mit der Variablen von dem Einzelterm ohne die Variable. Steht schließlich die Variable alleine, d. h. nur mit der Zahl/dem Faktor 1 vor der Variablen, auf einer Seite der Ungleichung und auf der anderen Seite der Einzelterm ohne Variable – dann hat man die lineare Ungleichung gelöst. Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Funktionen, Teil 2

Die Normalparabel

Die Normalparabel

Der bekannteste Graph einer quadratischen Funktion ist die sogenannte Normalparabel. Da es hierfür in Mathe extra eine Schablone gibt, kennt man die Normalparabel normalerweise sehr gut – und deren möglichen Verläufe im Koordinatensystem. Hierfür muss man sich zuvor nur die quadratischen Funktionen genau anschauen. Dann weiß man auch, wo man die Normalparabel im Koordinatensystem einzeichnen muss. Man orientiert sich hierbei an der Funktion y = x². Das stellt die nach oben geöffnete Normalparabel, vom Koordinatenursprung ausgehend, dar. Heißt die Funktion jedoch y = x² + 4, so muss man die Funktion um vier Längeneinheiten nach oben verschieben (entlang der y-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² um vier Längeneinheiten nach rechts (entlang der x-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² + 4 um vier Längeneinheiten nach rechts und vier Längeneinheiten nach oben. Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 7

Ein rechteckiger Teppich auf einem Boden © Lupo PIXELIO www.pixelio.de

Ein rechteckiger Teppich auf einem Boden © Lupo PIXELIO www.pixelio.de

Bei der Berechnung von Flächen (dem Flächeninhalt) bei Vielecken muss man immer auf zwei Aspekte besonders Acht geben. Der erste und wichtigste Aspekt hierbei ist: die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Vielecks korrekt anzuwenden. Konkret heißt das beispielsweise: bei einem Dreieck, einem Parallelgramm oder einem Trapez die Werte korrekt in die Gleichung einzutragen. Der zweite wichtige Aspekt hierbei ist: Bevor man die Werte in die Flächeninhalts-Formel einträgt, muss man diese eventuell ALLE auf die gleiche Einheit bringen/umrechnen. Konkret heißt das, dass alle Größen beispielsweise die Einheit cm oder m vorweisen. Eigentlich ist die Berechnung eines Flächeninhalts in Mathe nicht schwer. Dennoch bleibt es ein Mathematik-Stoffgebiet – und deshalb treten hier auch immer (vor allem bei diesen beiden genannten Aspekten) Fehler auf! Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 1

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm PIXELIO www.pixelio.de

In Mathe können Gleichungen nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch zwei (oder noch mehr). Solch eine Gleichung nennt man dann Gleichung mit Parameter oder Formvariable. Hierbei ist es wichtig zu wissen: Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Davon hängt ja entscheidend ab, nach welcher Variablen hin man die Gleichung auflösen muss (klingt logisch, oder?). Bei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von Vielecken oder dem Volumen von Prismen muss man mittels Äquivalenzumformungen die Gleichung immer nach der Lösungsvariablen hin umformen. Das ist dann später eine praktische Anwendung von Gleichungen mit Parametern/Formvariablen. Hier zeigt sich aber dann auch: Jede Variable kann die Lösungsvariable sein. Je nach Aufgabenstellung kann das deshalb variieren. 😉 Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchgleichungen, Teil 4

Stop! Hier ist etwas falsch! © Wortinspektor.com PIXELIO www.pixelio.de

Stop! Hier ist etwas falsch! © Wortinspektor.com PIXELIO www.pixelio.de

Bei Bruchgleichungen kann man sich leicht verrechnen, wenn man nicht ganz konzentriert ist und/oder die Rechenregeln nicht besonders gut kann. Dadurch entsteht dann im Nu eine Bruchgleichungen-Mutation – und ein Bruchgleichungen-Monster. Das ist kein Scherz! Die Gleichung kann sich nämlich bereits bei einem kleinen Fehlerchen entschieden verkomplizieren. Und vor einem steht plötzlich ein Bruchgleichungen-Monster! Hier bekommt man als Schülerin oder Schüler bereits einen „Vorgeschmack“ auf mögliche Algebra-Ungetüme in der Oberstufe. Terme, die hier bereits aufgrund einer mangelhaften Rechenkompetenz fies „mutieren“ können, können später zu einem Mutations-Godzilla werden. Daher sollte man rechtzeitig die richtigen Schlüsse ziehen, wenn es bereits bei Bruchgleichungen bei einem entschieden hakt. Eine temporäre/kurzfristige Nachhilfe kann hier beispielsweise sehr hilfreich sein – und jegliche Mutationsmonster im Nu wieder verjagen! Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 12

Gleichungen mit Termen © M. Großmann © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Gleichungen mit Termen © M. Großmann © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Der kleinste Grundbaustein einer Gleichung und einer Funktion ist ein Term. Gleichungen und Funktionen bestehen daher immer aus Termen bzw. aus Einzeltermen. Hierbei weist ein Term normalerweise immer eine Variable auf. Aber das ist nicht ein absolutes Muss. Ein Term kann auch keine Variable vorweisen, sprich eine „nackte“ Zahl sein. Bei einer Gleichung oder einer Funktion sind die Einzelterme stets mittels sinnvollen Rechenzeichen miteinander verbunden. Terme innerhalb einer Gleichung oder einer Funktion können daher mit einem „+“ mit einem „–“ oder mit einem „·oder auch mit einem „:“ (üblicherweise steht in Mathe statt einem „:“ eher ein Bruch) miteinander verbunden sein. Aber auch andere Mathematik-Symbole wie ein „²“ oder einer „\sqrt{}“ oder einem „Ι4Ι“ (und noch jede Menge andere) können hier auftreten – solange die Verknüpfung aus der Logik der Mathematik sinnvoll ist! Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 4

Das Wort Test © derateru PIXELIO www.pixelio.de

Das Wort Test © derateru PIXELIO www.pixelio.de

Bei linearen Gleichungen gibt es in Mathe natürlich auch zu lösende Textaufgaben/Sachaufgaben. Das stellt naturgemäß eine erhöhte Schwierigkeit dar. Textaufgaben/Sachaufgaben sind schwieriger, da man zuerst noch die Gleichung aufstellen muss. Hierbei ist es zentral, die wichtigen Wörter in die richtigen Rechenzeichen „umzuwandeln“. Addieren und subtrahieren, heißt dann korrekt „+“ und „–“, aber auch vergrößern/vermehren und verringern, heißt richtig „umgewandelt“ „+“ und „–“. Alles mit dem Wort „fach“ (wie beispielsweise das 5-Fache einer Zahl) stellt eine Multiplikation dar (das 5-Fache einer Zahl ist 5 · x). Bleibt noch das Wort „geteilt“ übrig, das schließlich ein „:“ ist. Da Begriffe aus der Mathematik nicht nur bei Textaufgaben/Sachaufgaben eine zentrale Rolle spielen, sondern allgemein für das Verständnis einer Aufgabe superwichtig sind, sollte man diese – wie Vokabeln lernen! Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 9

Mathe-Hefter Bruchrechnen und andere Schulhefter © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Mathe-Hefter Bruchrechnen und andere Schulhefter © Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Bei der Addition und der Subtraktion von Bruchtermen ist es in Mathe sehr wichtig, sich vorher genau den Nenner der Bruchterme anzuschauen. Davon hängt ja ab, ob man die Bruchterme sofort addieren oder subtrahieren darf oder nicht. Ist der Nenner gleich, dann darf man das nämlich sofort machen. Das ist genauso wie beim Bruchrechnen. Ein Bruch darf dann auch sofort mit einem anderen Bruch addiert oder subtrahiert werden, wenn die Brüche den gleichen Nenner vorweisen (die Brüche sind dann gleichnamig). Haben diese aber nicht den gleichen Nenner, so muss man erst einen gemeinsamen Nenner bilden. Man sagt: Man muss die Brüche gleichnamig machen. Das gilt natürlich auch für Bruchterme! Gleichnamig macht man hierbei Brüche oder Bruchterme, indem man zuvor den gemeinsamen Hauptnenner der Brüche bildet. Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Prismen, Teil 1

Würfel © Gisela Peter PIXELIO www.pixelio.de

Würfel © Gisela Peter PIXELIO www.pixelio.de

Irgendwann geht es in der Schule in Mathe auch in der Geometrie weiter. Das finden viele Schülerinnen und Schüler zwar urst (Ostdeutsch für „sehr“) langweilig, denn in Mathematik macht, wenn überhaupt, eigentlich Rechnen, Rechnen und noch einmal Rechnen Spaß. Geometrie setzt man eher mit Malen und Zeichnen gleich. Daher ist der Spaßfaktor auch bei vielen SchülerInnen gleich null. Wie dem auch sei. Ab der 8. Klasse muss man jedenfalls in Mathe nicht nur ein beliebiges Viereck zeichnen können, sondern auch Körper – dreidimensionale Figuren. Ja, so etwas gibt es leider auch! Wir Menschen leben ja schließlich in einem Raum und nicht auf einer Scheibe! Das Mittelalter und die Antike hat man schließlich auch in der Mathematik hinter sich gelassen. Weiterlesen

Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 4

Routine beim Rechnen © teles5 PIXELIO www.pixelio.de

Routine beim Rechnen © teles5 PIXELIO www.pixelio.de

Lineare Gleichungssysteme sollte man in Mathe anfangs nach dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Einsetzungsverfahren mannigfach lösen. So bekommt man die nötige Routine für das Lösen von Gleichungssystemen an sich und auch ein Auge für das jeweils passende Lösungsverfahren, das am schnellsten zu der gewünschten Lösung führt. Das ist aber nicht das wirklich entscheidende bei diesen beiden Lösungsverfahren. Viel wichtiger ist die Routine beim Lösen. Dann ist man nämlich schließlich auch fit für das eigentlich wichtigste Lösungsverfahren für lineare Gleichungen: das Additionsverfahren (und Subtraktionsverfahren). Das Lösungsverfahren ist schließlich zum einen etwas schwieriger als die anderen beiden, dafür aber auch viel besser geeignet – für komplexere Gleichungssysteme. Bei den anderen beiden wird das dann schnell bei umfangreicheren Gleichungssystemen sehr unübersichtlich und demzufolge supernervig. Weiterlesen