Quadratische Gleichungen

1. Quadratische Gleichungen und deren Lösungen

Die nächst höheren Gleichungen, die im Fach Mathe nach linearen Gleichungen drankommen, sind quadratische Gleichungen. Quadratische Gleichungen weisen hierbei folgende allgemeine Form auf:

 

ax² + bx + c = 0 (a, b, x ∈ von {\mathbb R} und a ≠ 0)

 

Den Einzelterm ax² bezeichnet man hierbei als quadratisches Glied, den Einzel-Term bx als lineares Glied und c als absolutes Glied.

Fehlt bei einer quadratischen Gleichung das lineare Glied/„bx“ so wird diese als reinquadratisch bezeichnet. Fehlt dieses nicht, so wird eine quadratische Gleichung immer als gemischtquadratisch bezeichnet.

 

Beispiele für reinquadratische Gleichungen:

x² = 16

x² = 0

x² – 9 = 12

5x² – 31 = 19

 

Beispiele für gemischtquadratische Gleichungen:

x² + 8x = 1

x² – 4x – 9 = 0

4x² + 8x = 0

9x² + 4x – 2 = 26 + 5x + 7x²

 

Quadratische Gleichungen haben entweder eine Lösung, zwei Lösungen, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen (das kommt aber nur sehr selten vor). Das gilt sowohl für reinquadratische als auch für gemischtquadratische Gleichungen.

Ist bei der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 der Faktor a = 1, so liegt die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vor. Die gängige Schreibweise in der Normalform lautet dann:

x² + px + q = 0.

 

2 Das rechnerische Lösen von quadratischen Gleichungen

2.1 Das Lösen von reinquadratischen Gleichungen

Eine reinquadratische Gleichung der Form x² = r

 

hat immer zwei Lösungen, wenn r > 0 ist, und zwar x1 = \sqrt{r} und x2 = – \sqrt{r}

 

hat immer eine Lösung, wenn r = 0 ist, und zwar x = 0

 

hat immer keine Lösung, wenn r < 0 ist, und zwar x = { } bzw. {\varnothing}.

 

Beispiel für zwei Lösungen einer reinquadratischen Gleichung

x² = 25    | \sqrt{}

x = ± \sqrt{25}

x = ± 5 und L = {–5; 5}

 

Beispiel für eine Lösung einer reinquadratischen Gleichung

x² = 0    | \sqrt{}

x = ± \sqrt{0}

x = 0 und L = {0}

 

Beispiel für keine Lösung einer reinquadratischen Gleichung

x² = –36    | \sqrt{} 

x = { } bzw. {\varnothing} und L = { } bzw. {\varnothing}

 

2.2 Das Lösen von quadratischen Gleichungen der Form x² + px = 0

Liegt die Form x² + px = 0 bei einer quadratischen Gleichung vor, dann kann man durch Ausklammern von „x“ immer sogleich die beiden Lösungen der Gleichung ermitteln. Denn durch den Summenterm x² + px = 0 erhält man hierdurch das Produkt x (x + p) = 0. Bei einem Produkt gilt nun bekanntlich: Ist einer der beiden Faktoren des Produktes gleich 0, so ist das Produkt gleich 0. Und dies ist bei der Gleichung x (x + p) = 0 immer der Fall,

 

wenn x = 0 ist, oder

 

wenn x = p ist.

 

Daher ist hier L = {0; p}.

 

Beispiele für quadratische Gleichungen der Form x² + px = 0

x² + 6x = 0 

x ( x + 6) = 0

x1= 0; x2= –6 und L = {–6; 0}

12x = 0

x ( x 12) = 0

x1= 0; x2= 12 und L = {0; 12}

 

2.3 Das Lösen von quadratischen Gleichungen der Form (x + d)² = r

Liegt eine quadratische Gleichung der Form (x + d)² = r vor, so kann man ohne Weiteres die Lösungen dieser Gleichungen ermitteln. Das gilt sowohl für quadratische Gleichungen bei denen d positiv/„+“ oder negativ/„d“ ist, da man „d“ ja auch hin zu „+ (d)" umformen kann und demzufolge
(x + (d))² = r erhält.

 

Eine quadratische Gleichung der Form (x + d)² = r

hat immer zwei Lösungen, wenn r > 0 ist, und zwar

(x + d)² = r    | \sqrt{} 

(x + d) = ± \sqrt{r}    | – d 

x1,2 = ± \sqrt{r} – d

hat immer eine Lösung, wenn r = 0, und zwar

(x + d)² = 0    | \sqrt{} 

(x + d) = ± \sqrt{0}    |

x = d

hat immer keine Lösung, wenn r < 0

(x + d)² = –r     | \sqrt{} 

(x + d) = { } bzw. {\varnothing} 

x = { } bzw. {\varnothing}

 

Beispiel für zwei Lösungen von quadratischen Gleichungen der Form (x + d)² = r

(x + 4)² = 36    | \sqrt{} 

(x + 4) = ± \sqrt{36}    | – 4

x1,2 = ± 6 – 4

x1 = 6 – 4 = 2; x2 = –6 – 4 = –10 und L = {–10; 2}

(x + (–8))² = 100    | \sqrt{} 

(x + (–8)) = ± \sqrt{100}  

(x + (–8)) = ± 10    |  + 8

x1,2 = ± 10 + 8

x1 = 10 + 8 = 18; x2 = –10 + 8 = –2 und L = {–2; 18}

 

Beispiele für eine Lösung von quadratischen Gleichungen der Form (x + d)² = r

(x + 7)² = 0    | \sqrt{} 

(x + 7) = ± \sqrt{0}

(x + 7) = 0    | – 7

x = – 7 und L = {–7}

(x + (–3))² = 0    | \sqrt{} 

(x + (–3)) = ± \sqrt{0}

(x + (–3)) = 0    | + 3

x = 3 und L = {3}

 

Beispiele für keine Lösung von quadratischen Gleichungen der Form (x + d)² = r

(x + 9)² = –64    | \sqrt{} 

(x + 9) = { } bzw. {\varnothing} 

x = { } bzw. {\varnothing}

(x + (5))² = –81 | \sqrt{} 

(x + (5)) = { } bzw. {\varnothing} 

x = { } bzw. {\varnothing}

 

2.4 Das Lösen von quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung

Liegt eine gemischtquadratische Gleichung der Form x² + px + q = 0 vor, so kann man diese stets in die Form (x + d)² = r umwandeln. Hierbei erfolgt das Umwandeln über eine sogenannte quadratische Ergänzung. Bei einer quadratischen Ergänzung geht man zunächst davon aus, dass x² + px oder –px ein Teil der 1. oder 2. Binomischen Formel ist, und zwar in der aufgelösten Form – bestehend aus Anfangsterm und Mittelterm. Den fehlenden Endterm erhält man nun durch eine quadratische Ergänzung, da man ja weiß, wie sich der Mittelterm der 1. und 2. Binomischen Formel zusammensetzt. Bei der 1. Binomischen Formel lautet der Mittelterm ja „2ab“ und bei der 2. Binomischen Formel „–2ab“. Dadurch kann man nun auch den fehlenden Endterm bilden, indem man einfach den Mittelterm durch (+2a) oder (–2a) teilt und anschließend quadriert – wodurch man b² erhält bzw. ergänzt. Bezogen auf die aufgelöste Form der 1. Binomische Formel/x² + px und bezogen auf den Mittelterm „px“ ergibt sich zunächst durch Division px : 2x = {\frac{px}{2x} = {\frac{p}{2}. Durch ein anschließendes Quadrieren/({\frac{p}{2})² erhält man schließlich diesen fehlenden Endterm in der aufgelösten Form: ({\frac{p}{2})². Vollständig sieht dann die mittels qudratischer Ergänzung entstandene 1. Binomische Formel in der aufgelösten Form folgendermaßen aus:

x² + px + ({\frac{p}{2}

In der unaufgelösten Form ergibt sich daher diese 1. Binomische Formel:

(x + {\frac{p}{2}

 

Beispiele quadratischer Ergänzung bei der 1. Binomischen Formel:

1. x² + 4x hier lautet die quadratische Ergänzung: ({\frac{4}{2})² = (2)²

Daher ergibt sich diese 1. Binomische Formel: (x + 2)²

2. x² + 0,5x hier lautet die quadratische Ergänzung: ({\frac{0,5}{2})² = (0,25)²

Daher ergibt sich diese 1. Binomische Formel: (x + 0,25)²

3. x² + {\frac{1}{4}x hier lautet die quadratische Ergänzung ({\frac{1}{4} : 2)² = ({\frac{1}{8}

Deshalb erhält man hier diese 1. Binomische Formel (x + {\frac{1}{8}

Liegt hingegen die aufgelöste Form der 2. Binomischen Formel vor/– px, so ergibt sich bezogen auf den Mittelterm „– px“ mittels Division zunächst px : –2x = – {\frac{px}{2x} = – {\frac{p}{2}. Durch ein anschließendes Quadrieren (–{\frac{p}{2})² bzw. ({\frac{p}{2})² (Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Aufgrund des Quadrierens fällt das „–“ immer weg.) erhält man schließlich diesen fehlenden Endterm in der aufgelösten Form von 2. Binomischen Formel: ({\frac{p}{2})². Vollständig sieht dann die mittels quadratischer Ergänzung erzeugte aufgelöste Form der 2. Binomischen Formel folgendermaßen aus:

– px + ({\frac{p}{2}

In der unaufgelösten Form erhält man deshalb diese 2. Binomische Formel:

(x {\frac{p}{2}

 

Beispiele der quadratischen Ergänzung bei der 2. Binomischen Formel:

1. x² – 6x hier lautet die quadratische Ergänzung: ({\frac{6}{2})² = (3)²

Daher ergibt sich diese 2. Binomische Formel: (x – 3)²

2. x² – 2,8x hier lautet die quadratische Ergänzung: ({\frac{2,8}{2})² = (1,4)²

Daher ergibt sich diese 2. Binomische Formel: (x – 1,4)²

3. x² – {\frac{3}{8}x hier lautet die quadratische Ergänzung: ({\frac{3}{8} : 2)² = ({\frac{3}{16}

Deshalb erhält man hier diese 2 Binomische Formel: (x – {\frac{3}{16}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Beim quadartischen Ergänzen der 1. oder 2. Binomischen Formel ist der Endterm immer ({\frac{p}{2})². Daher muss man beim Aufstellen der unaufgelösten Form der Binomischen Formeln nur noch darauf achten, ob in der aufgelösten Form der Mittelterm px positv/„+“ oder negativ/ „–“ ist. Schließlich hängt ja davon ab, ob schließlich die 1. Binomische Formel/(x + {\frac{p}{2})² oder die 2. Binomische Formel/(x {\frac{p}{2})² entsteht.

 

Quadratisches Ergänzen und Lösen einer quadratischen Gleichung in der Nomalform
Beim Anwenden der quadratischen Ergänzung auf quadratische Gleichungen in der Nomalform/ x² + px + q muss man stets darauf Acht geben, dass man an der Gleichung eine Äquivalenzumformung vornimmt. Konkret heißt das, dass die erzeugte quadratische Ergänzung rechts und links der Gleichung stehen muss –da ansonsten sich die Lösungsmenge der Urspungsgleichung verändert. Allgemein sieht das, wie folgt aus. Gegeben ist diese quadratische Gleichung in der Nomalform:

x² + px + q = 0    | – q

Zuerst wandelt man die Gleichung über eine Äquivalenzumformung so um, dass der q-Term rechts der Gleichung steht.

x² + px = –q

Dann bildet man die quadratische Ergänzung – und zwar rechts und links der Gleichung, damit eine Äquivalenzumformung vorliegt!

x² + px + ({\frac{p}{2})² = –q + ({\frac{p}{2}

x² + px + ({\frac{p}{2})² = ({\frac{p}{2})² – q

Darauf bildet man links die binomische Formel in der unaufgelösten Form.

(x + {\frac{p}{2})² = ({\frac{p}{2})² – q

Anschließend zieht man die Wurzel.

(x + {\frac{p}{2})² = ({\frac{p}{2}– q | \sqrt{}

x + {\frac{p}{2} = ± \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}

Zum Schluss separiert man die Variable x.

x + {\frac{p}{2} = ± \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}} | {\frac{p}{2}

x = {\frac{p}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}

Ist nun der Term-Wert unter der Wurzel > 0 so erhält man für x zwei Lösungen und zwar

x1 = – {\frac{p}{2} + \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}} und X2 = – {\frac{p}{2}\sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}.

Daher ist hier L = {– {\frac{p}{2} + \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}; – {\frac{p}{2} \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}} }.

 

2.41 Zwei Lösungen bei einer quadratischen Gleichung

Beispiel: Gegeben ist folgende quadratische Gleichung: x² + 9x – 52 = 0. Mittels quadratischer Ergänzung ist die Lösungsmenge der Gleichung gesucht.

x² + 9x – 52 = 0    | + 52

x² + 9x + ({\frac{9}{2})² = ({\frac{9}{2})² + 52

(x + {\frac{9}{2})² = ({\frac{81}{4})² + 52

(x + 4,5)² = 20,25 + 52    | \sqrt{}

x + 4,5 = ± \sqrt{\ 20,25+52}}    | – 4,5

x = ± \sqrt{\ 20,25+52}} – 4,5

x = ± 8,5 – 4,5

x1 = 8,5 – 4,5 = 4

x2 = – 8,5 – 4,5 = –13

L = {–13; 4}

Beispiel: Ermittle bei dieser quadratischen Gleichung mittels quadratischer Ergänzung die Lösungsmenge: x² + 2,55x – 4,5 = 0.

x² + 2,55x – 4,5 = 0    | + 4,5

x² + 2,55x = 4,5

x² + 2,55x + ({\frac{2,55}{2})² = ({\frac{2,55}{2})² + 4,5

x² + 2,55x + (1,275)² = (1,275)² + 4,5

(x + 1,275)² = 1,625625 + 4,5    | \sqrt{}

x + 1,275 = ± \sqrt{\ 6,125625}}

x + 1,275 = ± 2,475     | – 1,275 

x = ± 2,475 – 1,275 

x1 = 2,475– 1,275 = 1,2

x2 = –2,475 – 1,275 = –3,75

L = {–3,75; 1,2}

 

2.42 Eine Lösung bei einer quadratischen Gleichung

Ist nun der Term-Wert unter der Wurzel = 0 so erhält man eine Lösung und zwar

x1 = {\frac{p}{2}. Daher ist hier L = { {\frac{p}{2} }.

Beispiel: Bestimme mittels quadratischen Ergänzens die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung: x² + 8x + 16 = 0

x² + 8x + 16 = 0    | – 16

x² + 8x = – 16

x² + 8x +({\frac{8}{2})² = ({\frac{8}{2})² – 16

x² + 8x +(4)² = (4)² – 16

(x + 4)² = 16 – 16

(x + 4)² = 0    | \sqrt{}

x + 4 = 0    | – 4

x = – 4

L = {– 4}

Beispiel: Bestimme bei der gegebenen quadratischen Gleichung mittels quadratischen Ergänzens die Lösungsmenge: x² + 7,2x + 12,96 = 0.

x² + 7,2x + 12,25 = 0    | – 12,96

x² + 7,2x = –12,96

x² + 7,2x + ({\frac{7,2}{2})² = ({\frac{7,2}{2})² – 12,96

x² + 7,2x + (3,6)² = (3,6)² – 12,96

(x + 3,6)² = 12,96 – 12,96

(x + 3,6)² = 0    | \sqrt{}

x + 3,6 = 0    | – 3,6

x = –3,6

L = {– 3,6}

 

2.43 Keine Lösung bei einer quadratischen Gleichung

Ist nun der Term-Wert unter der Wurzel < 0 so erhält man keine Lösung.

Beispiel: Bestimme bei der gegebenen quadratischen Gleichung mittels quadratischen Ergänzens die Lösungsmenge: x² + 4x + 9 = 0.

x² + 4x + 9 = 0    | – 9

x² + 4x = – 9

x² + 4x + ({\frac{4}{2})² = ({\frac{4}{2})² – 9

x² + 4x + (2)² = (2)² – 9

(x + 2)² = 4 – 9

(x + 2)² = – 5    | \sqrt{} 

(x + 2) = \sqrt{-5}

x = nicht definiert. Daher ist hier L = { } bzw. {\varnothing}.

Beispiel: Bestimme bei der gegebenen quadratischen Gleichung mittels quadratischen Ergänzens die Lösungsmenge: x² + 3,6x + 7,2 = 0

x² + 3,6x + 7,2 = 0    | – 7,2

x² + 3,6x = – 7,2

x² + 3,6x + ({\frac{3,6}{2})² = ({\frac{3,6}{2})² – 7,2

x² + 3,6x + (1,8)² = (1,8)² – 7,2

x² + 3,6x + (1,8)² = 3,24 – 7,2

(x + 1,8)² = – 3,96    | \sqrt{} 

(x + 1,8) = \sqrt{-3,96}

x = nicht definiert. Deshalb ist hier L = { } bzw. {\varnothing}.

 

2.5 Das Lösen von quadratischen Gleichungen mittels der pq-Formel

Beim allgemeinen Lösen mittels quadratischer Ergänzung (beim Unterpunkt 2.4) wurde auch automatisch ein weiteres Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen hergeleitet – das Lösen einer quadratischen Gleichung mittels der sogenannten pq-Formel.

Ist nämlich eine quadratische Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 gegeben, so kann man die Lösungsmenge jeweils mittels dieser Formel, der pq-Formel, ermitteln:
x1 = – {\frac{p}{2} + \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}} und

x2 = – {\frac{p}{2}\sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}.

beziehungsweise:

x1,2 = – {\frac{p}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}

Der Term unter der Wurzel/ „{\frac{p}{2} – q“ wird hierbei als Diskriminante/„D“ bezeichnet.

Welche Lösungsmenge eine quadratische Gleichung vorweist, die man mittels pq-Formel ermittelt, hängt nun jeweils von der Diskriminante/„D“ ab.

Ist nämlich die Diskriminante positiv bzw. > 0, dann weist die quadratische Gleichung immer zwei Lösungen auf, und zwar:

x1 = – {\frac{p}{2} + \sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}} und x2 = – {\frac{p}{2}\sqrt{\ ({\frac{p}{2})^2-q}}

Ist hingegen die Diskriminante null, dann weist die quadratische Gleichung immer eine einzige Lösung auf, und zwar:

x = – {\frac{p}{2}

Wenn nun die Diskriminante negativ ist, dann gibt es für die quadratische Gleichung keine Lösung. Deshalb gilt dann hier:

x = nicht definiert

 

2.51 Zwei Lösungen bei einer quadratischen Gleichung

Beispiel: Gegeben ist folgenden quadratische Gleichung: x² – 7x + 6 = 0. Mittels pq-Formel ist die Lösungsmenge der Gleichung gesucht.

p ist hier –7 und und q = 6.

x1,2 = {\frac{7}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{7}{2})^2-6}}

x1,2 = {\frac{7}{2} ± \sqrt{\ 12,25-6}}

x1,2 = {\frac{7}{2} ± \sqrt{\ 6,25}}

x1,2 = {\frac{7}{2} ± {\frac{5}{2}

x1 = 3,5 – 2,5 = 1; x2 = 3,5 + 2,5 = 6

L = {1; 6}

Beispiel: Gegeben ist folgende quadratische Gleichung: x² – 2,2x + 0,4 = 0.

Mittels pq-Formel ist die Lösungsmenge der Gleichung gesucht.

p ist hier – 2,2 und q = 0,4.

x1,2 = {\frac{2,2}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{2,2}{2})^2-0,4}}

x1,2 = 1,1 ± \sqrt{\ 1,21-0,4}}

x1,2 = 1,1 ± \sqrt{\ 0,81}}

x1,2 = 1,1 ± 0,9

x1 = 1,1 – 0,9 = 0,2; ´ x2 = 1,1 + 0,9 = 2

L = {0,2; 2}

 

2.52 Eine Lösung bei einer quadratischen Gleichung

Beispiel: Gegeben ist folgende quadratische Gleichung: x² + 4x + 4 = 0. Mittels pq-Formel ist die Lösungsmenge der Gleichung gesucht.

p ist hier 4 und q = 4.

x1,2 = – {\frac{4}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{4}{2})^2-4}}

x1,2 = – 2 ± \sqrt{\ 4-4}}

x1,2 = – 2 ± \sqrt{\ 0}}

x1,2 = – 2 ± 0

x = – 2

L = {–2}

 

Beispiel: Gegeben ist folgende quadratische Gleichung: x² – 3,2x + 2,56 = 0.Mittels pq-Formel ist die Lösungsmenge der Gleichung gesucht.

p ist hier –3,2 und q = 2,56.

x1,2 = {\frac{3,2}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{3,2}{2})^2-2,56}}

x1,2 = 1,6 ± \sqrt{\ 2,56-2,56}}

x1,2 = 1,6 ± \sqrt{\ 0}}

x1,2 = 1,6 ± 0

x = 1,6

L = {1,6}

 

2.53 Keine Lösung bei einer quadratischen Gleichung

Beispiel: Gegen ist folgende quadratische Gleichung: x² + 2x + 5 = 0. Mittels pq-Formel ist die Lösungsmenge der Gleichung gesucht.

p ist hier 2 und q = 5.

x1,2 = – {\frac{2}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{2}{2})^2-5}}

x1,2 = –1 ± \sqrt{\ 1-5}}

x1,2 = –1 ± \sqrt{\ -4}}

x = nicht definiert.

L = { } bzw. {\varnothing}.

 

Beispiel: Gegeben ist folgende quadratische Gleichung: x² – 2,4x + 7,2 = 0. Mittels pq-Formel ist die Lösungsmenge der Gleichung gesucht.

p ist hier –2,4 und q = 7,6.

x1,2 = {\frac{2,4}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{2,4}{2})^2-7,6}}

x1,2 = 1,2 ± \sqrt{\ 1,2-7,6}}

x1,2 = 1 ± \sqrt{\ -6,4}}

x = nicht definiert.

L = { } bzw. {\varnothing}.

3 Gedanken zu “Quadratische Gleichungen

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