Biquadratische Gleichungen

1. Allgemeines zu biquadratischen Gleichungen

Hat eine Gleichung zwei Variablen die jeweils die Potenz hoch zwei enthalten, wie beispielsweise die Gleichung x^4 – 10x^2 + 9 = 0, dann liegt in Mathe eine sogenannte biquadratische Gleichung vor. Denn die Gleichung kann man ja auch mittels einer algebraischen Umformung/Anwendung eines Potenzgesetzes so schreiben:

4(x^2)^2 – 10x^2 + 9

(so zeigt sich eindeutig das Zwei-  bzw. Biquadratische solcher Gleichungen).

Dadurch, dass eine biquadratische Gleichung gewissermaßen eine quadratische Gleichung mitenthält, kann man diese auch auf jene zurückführen.

 

2. Das Lösen biquadratischer Gleichungen

Eine biquadratische Gleichung löst man, indem man mittels einer Substitution die biquadratische Gleichung auf eine quadratische Gleichung hin umwandelt.

Man substituiert/ersetzt hierbei, indem man diese Gleichung andwendet:

x^2 = z

Die Substitution macht man dann konkret Folgendermaßen:

x^4     wird zu     z^2                       und

x^2      wird zu     z

x^4 – 10x^2 + 9       wird zu     z^2 – 10z + 9

Die durch Substitution erhaltene quadratische Gleichung kann man nun mittels der p-q-Formel oder mittels quadratischen Ergänzens lösen.

Falls die quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen hat, muss man darauf die Substitution wieder rückgängig machen. Das macht man folgendermaßen

x^2 = z             |   \sqrt{}

x = ± \sqrt{\mathrm z}

 

2.1 Vier Lösungen bei einer biquadratischen Gleichung

Es ist diese biquadratische Gleichung gegeben:

x^4 – 10x^2 + 9 = 0.

Mittels Substitution erhät man diese quadratische Gleichung:

z^2 – 10z + 9

 

Mittels p-q-Formel ergeben sich folgende Lösungen:

z1,2 = {\frac{10}{2} ± \sqrt{\ ({\frac{10}{2})^2-9}}

z1,2 = 5 ± \sqrt{\ (5)^2-9}}

z1,2 = 5 ± \sqrt{\ 25-9}}

z1,2 = 5 ± \sqrt{\ 16}}

z1,2 = 5 ± 4

 

z1 = 5 + 4

z1 = 9

 

z2 = 5 – 4

z2 = 1

 

Mittels quadratischen Ergänzens erhält man diese Lösungen:

z^2 – 10z + 9 = 0           |     – 9

z^2 – 10 = –9

z^2 – 10 + 25 = –9 + 25

(z – 5)² = 16                 |   \sqrt{}

z – 5 = ± 4                    |    + 5

 

z1 = 5 + 4

z1 = 9

 

z2 = 5 – 4

z2 = 1

 

Das Auflösen der Substituition:

x = ± \sqrt{\mathrm 9}

x1,2 = ± 3

 

x1 = 3

x2 = –3

 

x = ± \sqrt{\mathrm 1}

x3,4 = ± 1

 

x3 = 1

x4 = –1

 

Die Lösungsmenge der biquadratischen Gleichung x^4 – 10x^2 + 9 = 0 ist:

L = = {–3; –1; 1; 3}

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